数学の地図 中学から高校・大学までつながる30のテーマ（一覧）

数や図形、関数など30のテーマを、中学から高校・大学へたどれます。今の単元と先の学びのつながりを見渡し、気になる回や基礎の単元解説から読み進めてください。

いま習っている数学は、この先どこへつながるのでしょうか。連載「数学の地図」では、数、式、図形、確率などの同じテーマを、中学から理系の高校数学、大学数学へと追います。計算の手順が、性質を調べる道具や定義を考える問いへ変わる道筋をたどっていきます。

最初から順番に読むほか、授業で気になった単元から開いてもかまいません。よくあるのは、ノートの関数のグラフを眺めながら、何のために描くのかと手が止まる場面です。そんなときは関数や変化の割合の回を選び、まず中学の節を読んでみてください。高校以降の節は見通しを持つために眺め、難しい言葉が出たら今の学習へ戻りましょう。各回の末尾には前後の回と、関連する中学の単元解説への入口があります。

1. 第01回 正負の数から実数の構成へ　数とは何かを中学・高校・大学でたどる
   扱う範囲: 正負の数・絶対値・数直線 → 実数・有理数と無理数・数の分類 → 実数の構成（切断・完備性）と数の体系（自然数から複素数へ）
2. 第02回 文字式から多項式環へ　式を「もの」として扱う視点の変わり方
   扱う範囲: 文字式・同類項・展開と因数分解 → 整式の割り算・因数定理・剰余の定理 → 多項式環・既約多項式・体の拡大の入口
3. 第03回 一次方程式から代数学の基本定理へ　方程式が解けるとはどういうことか
   扱う範囲: 一次方程式・連立方程式・二次方程式の解の公式 → 高次方程式・複素数・解と係数の関係 → 代数学の基本定理・五次方程式に公式が無いこと（ガロアの着想）
4. 第04回 比例・一次関数から写像へ　「関数」という言葉の意味の広がり
   扱う範囲: 比例・反比例・一次関数のグラフ → 関数の定義域と値域・合成関数・逆関数 → 写像・単射全射・線形写像
5. 第05回 二次関数から最適化へ　放物線が教える「最大・最小」の考え方
   扱う範囲: 二乗に比例する関数 y=ax² → 二次関数の平方完成・最大最小・判別式 → 多変数の最大最小（偏微分・ラグランジュの未定乗数法の考え方）
6. 第06回 平方根から指数・対数、そして自然対数の底 e へ
   扱う範囲: 平方根・無理数の近似 → 指数の拡張・指数関数・対数関数と常用対数 → 自然対数の底 e の定義・指数関数の微分・連続複利の考え方
7. 第07回 相似と三角比から三角関数、フーリエ級数へ
   扱う範囲: 相似・縮図・影の長さ → 三角比・正弦定理と余弦定理・三角関数のグラフ → 加法定理の意味・フーリエ級数（音や波を三角関数の和で表す）
8. 第08回 三平方の定理から内積とノルムへ　「長さ」と「直交」の一般化
   扱う範囲: 三平方の定理・座標上の 2 点間の距離 → ベクトルの内積・なす角・成分表示 → 内積空間・ノルム・直交基底（関数の内積まで）
9. 第09回 円と円周角から円の方程式、複素数平面へ
   扱う範囲: 円周角の定理・接線 → 円の方程式・円と直線の位置関係・複素数平面での回転 → 複素関数の入口（1 の n 乗根・写像としての複素数）
10. 第10回 樹形図の確率から条件付き確率、確率論へ
    扱う範囲: 同様に確からしい・樹形図と表 → 独立試行・条件付き確率・期待値・二項分布 → 確率空間・確率変数・大数の法則と中心極限定理の意味
11. 第11回 度数分布と箱ひげ図から統計的推測、統計学へ
    扱う範囲: 度数分布表・ヒストグラム・代表値・四分位範囲と箱ひげ図 → 分散と標準偏差・正規分布・区間推定と仮説検定 → 統計学（推定量の性質・検定の考え方・相関と因果）
12. 第12回 変化の割合から微分、極限と連続へ
    扱う範囲: 一次関数の変化の割合・平均の速さ → 微分係数・導関数・接線・増減 → ε-δ 論法による極限と連続・微分可能性の厳密な定義
13. 第13回 面積と体積の公式から積分、ルベーグ積分の入口へ
    扱う範囲: 面積・体積の公式・おうぎ形 → 定積分と面積・体積・区分求積法 → リーマン積分の定義・積分できない関数・ルベーグ積分の考え方
14. 第14回 規則性の問題から数列・漸化式、級数へ
    扱う範囲: 規則を見つける・n 番目を文字で表す → 等差・等比数列・漸化式・数学的帰納法 → 級数の収束・差分方程式・フィボナッチ数と黄金比
15. 第15回 約数と倍数から整数論、暗号へ
    扱う範囲: 素因数分解・最大公約数・最小公倍数 → 整数の割り算と合同式・ユークリッドの互除法・不定方程式 → 合同式の体系・フェルマーの小定理・RSA 暗号の仕組み
16. 第16回 作図から軌跡と領域、位相の入口へ
    扱う範囲: 垂直二等分線・角の二等分線の作図 → 軌跡・不等式の表す領域・定規とコンパスで作図できない問題 → 位相（つながり方で図形を見る・一筆書きとオイラーの公式）
17. 第17回 空間図形から空間ベクトル、行列と線形代数へ
    扱う範囲: 立体の見取図・展開図・体積 → 空間ベクトル・平面と直線の方程式 → 行列・線形変換・行列式の意味（体積の拡大率）
18. 第18回 連立方程式から行列と固有値へ　「同時に成り立つ」をまとめて扱う
    扱う範囲: 連立二元一次方程式（加減法・代入法） → 行列・連立一次方程式の解の個数・行基本変形 → 階数・固有値と固有ベクトル・対角化の意味
19. 第19回 割合と比から指数的な増え方、微分方程式へ
    扱う範囲: 割合・百分率・比例 → 指数関数的な増加と減少・対数グラフ → 微分方程式（人口・放射性崩壊・冷却）と解の意味
20. 第20回 場合の数から順列・組合せ、組合せ論へ
    扱う範囲: 樹形図・表で数える → 順列・組合せ・二項定理・パスカルの三角形 → 組合せ論（包除原理・鳩の巣原理・母関数の入口）
21. 第21回 文章題から数学的モデリング、応用数学へ
    扱う範囲: 速さ・割合・濃度の文章題 → 関数で現象を表す・最適化の問題 → 数学的モデリング（仮定を立てて式にし、検証して直す）と応用数学
22. 第22回 三角形の合同の証明から数学的帰納法、論理と公理へ
    扱う範囲: 合同条件を用いた証明・仮定と結論 → 命題と条件・必要十分条件・背理法・数学的帰納法 → 公理と定義から定理を導く数学（集合と論理・ユークリッドの公理）
23. 第23回 関数のグラフから媒介変数・極座標、曲線の数学へ
    扱う範囲: 比例・一次関数・二次関数のグラフ → 媒介変数表示・極座標・いろいろな曲線 → 曲線の長さと曲率（微分幾何の入口）
24. 第24回 概数と誤差から近似計算、数値解析へ
    扱う範囲: 概数・四捨五入・有効数字・平方根の近似 → 一次近似・近似値と誤差・テイラー展開の入口 → 数値解析（ニュートン法・コンピュータの計算誤差）
25. 第25回 循環小数から極限、無限集合と濃度へ
    扱う範囲: 循環小数と分数・0.999…=1 → 数列の極限・無限等比級数 → 無限集合・可算と非可算・カントールの対角線論法
26. 第26回 線対称と点対称から図形の移動、群論へ
    扱う範囲: 線対称・点対称・平行移動と回転 → 図形の移動の合成・三角関数と回転 → 群（対称性を数学で扱う）・正多面体の対称群・ルービックキューブと群
27. 第27回 座標から多次元空間、曲面と多様体の入口へ
    扱う範囲: 座標平面・点の位置 → 空間座標・ベクトル空間・次元 → n 次元空間・曲面の座標（球面と地図）・多様体の考え方
28. 第28回 速さ・時間・道のりから運動の数学、物理との接点へ
    扱う範囲: 速さ・時間・道のりの関係・グラフ → 位置・速度・加速度と微分積分 → 運動方程式・エネルギー保存の数学・数学と物理の役割の違い
29. 第29回 数のパズルから整数と離散、グラフ理論へ
    扱う範囲: 数当て・魔方陣・数の性質のパズル → 整数問題・場合の数・論理 → 離散数学（グラフ理論・最短経路・コンピュータサイエンスとのつながり）
30. 第30回 中学・高校・大学で数学の学び方はどう変わるか　つまずきの正体と乗り越え方
    扱う範囲: 中学（計算と図形の手順）→ 高校（抽象化・記号・証明）→ 大学（定義から組み立てる・自分で問いを立てる）の学び方の違いと、各段階で起きるつまずきへの対処

中学の内容を確かめたいときは、中学数学 全22単元の解説一覧から、今の学習に合う単元を選んでください。