作図から軌跡と領域、位相の入口へ｜武蔵野個別指導塾

コンパスで描く円弧の意味から、軌跡と領域、一筆書きまでをたどります。作図の手順を点の条件として読み直し、図と式を行き来する学び方を試してみましょう。

作図から軌跡と領域、位相の入口へ

コンパスの跡には理由がある

よくあるのは、雨の日の塾の廊下で、授業を待つ間にノートを開き、「この円弧は、あとで消すのになぜ描くのですか」と尋ねる場面です。垂直二等分線の作図は覚えたけれど、コンパスを開く幅が変わると急に不安になる。完成した線だけを見れば定規で引けそうなので、回り道をしている気持ちになるのも自然です。

けれども、その円弧は単なる下書きではありません。「この点から同じ距離にある場所」を紙の上に集めたものです。円弧が交わる場所には、別々の条件を同時に満たす点が現れます。作図では、目で位置を見積もる代わりに、条件から位置を決めています。

この見方は、高校で学ぶ軌跡や領域へ続きます。さらに大学では、距離や角度を保つという条件を外したとき、何が図形に残るのかを考えます。作図と位相は同じ問題ではありませんが、「何を条件として残すか」という問いで結ばれています。まずは、消してしまいがちな円弧を読み直してみましょう。

中学数学では等しい距離を線にする

作図で使う定規は、まっすぐな線を引く道具として扱います。目盛りで長さを測って中点を決める方法とは区別します。コンパスは、中心から一定の距離にある点を描く道具です。円をこのように捉えると、道具の動かし方に数学的な意味が生まれます。

線分 AB の垂直二等分線は、AB の中点を通り、AB と垂直に交わる直線です。作図では、A と B を中心として、同じ半径の円弧を描きます。半径を AB の長さの半分より大きくすると、円は異なる 2 点で交わります。その交点を P、Q とし、P と Q を結ぶ直線を引きます。

なぜこれでよいのでしょうか。P は両方の円の上にあるので、PA=PB です。Q についても QA=QB が成り立ちます。つまり、P も Q も A と B から等しい距離にあります。この条件を満たす点全体が垂直二等分線になるため、P と Q を通る直線が求める線です。

この性質は、三角形の合同を使って説明できます。AB の中点を M とすると、PA=PB、AM=BM、PM は共通なので、三角形 PAM と PBM は合同です。M で隣り合う角が等しく、合わせて一直線の角になるため、それぞれ直角です。逆に垂直二等分線上の点についても、直角を挟む辺の等しさから合同を示せば、A と B までの距離が等しいとわかります。点が M と一致する場合は、AM=BM がそのまま理由になります。

具体的に AB=6、円の半径を 5 としてみます。AM=3 で、直角三角形 PAM に三平方の定理を使うと、PM²=5²−3²=16、したがって PM=4 です。交点は AB の両側にあり、どちらも中点から垂直な方向へ 4 だけ離れます。半径を別の適切な長さに変えると交点の位置は変わりますが、交点を結ぶ直線は同じです。作図の結果を決めているのは、半径そのものより「両方の半径が等しい」という条件なのです。

角の二等分線も、等しさを利用します。角の頂点 O を中心とする円弧を描き、角の両辺との交点を C、D とします。続いて C と D を中心とする同じ半径の円弧を描き、角の内部で交わる点 E を選びます。半直線 OE を引けば、元の角を等しく分けられます。ここでは、大きさが 0°より大きく 180°より小さい角を考えています。

理由は、OC=OD、CE=DE、OE が共通であることです。三角形 OCE と ODE は 3 組の辺がそれぞれ等しいので合同になり、∠COE=∠EOD が導かれます。円弧は、合同の証明に必要な辺の等しさを用意していたわけです。見た目が左右対称だから、という説明から一歩進んでいます。

角の内部では、二等分線上の点は、両辺を含む直線までの距離も等しくなります。点と直線の距離とは、その点から直線へ下ろした垂線の長さです。頂点までの距離と取り違えないことが大切です。垂直二等分線では「点と点の距離」、角の二等分線では「点と直線の距離」に注目しています。同じ「等距離」でも、何からの距離なのかを言葉にすると、作図の使い分けが整理できます。

高校数学では点の条件を式で表す

高校で学ぶ軌跡とは、ある条件を満たす点の集合です。点が動く様子を想像すると入りやすいのですが、実際に動かして観察するだけでは、軌跡全体を示したことにはなりません。条件を満たす点がどこにあるかを調べ、さらに、得られた図形のどの点も元の条件を満たすことを確かめます。

垂直二等分線を座標で調べてみましょう。A=(−3,0)、B=(3,0) と置き、P=(x,y) とします。PA=PB の両辺を二乗すると、次の式になります。

(x+3)²+y²=(x−3)²+y²

展開して同類項を整理すると 12x=0、つまり x=0 です。これは y 軸を表します。逆に x=0 の点なら、A と B までの距離の二乗はどちらも 9+y² なので、距離も等しくなります。距離が負にならないため、二乗した値の一致から元の距離の一致へ戻れます。これで、軌跡が y 軸全体であると示せました。

中学の円弧の交点は、この直線上の点を選ぶ仕組みでした。高校では x と y を使うことで、同じ条件を満たすすべての点をまとめて扱えます。図と式のどちらかが上位なのではなく、同じ対象を違う方法で表していると考えてください。

等号を不等号に変えると、線から領域へ広がります。「B よりも A に近い点」は PA<PB を満たします。距離を二乗して整理すると 12x<0、したがって x<0 です。境目の x=0 は等距離の点なので含みません。「A までの距離が B までの距離以下」なら x≦0 となり、境目も含みます。図に線を描いたあと、その線を答えに含めるかまでが条件の一部です。

たとえば、原点からの距離が 2 以下で、かつ A に近い側にあるという条件を考えます。境目も許すなら、領域は x²+y²≦4 と x≦0 を同時に満たす部分です。点 (−1,1) は 1+1=2≦4 なので入りますが、点 (1,0) は x≦0 を満たさず入りません。点 (0,2) は両方の境界に当たり、条件に等号があるので含まれます。円と半平面を別々に描き、重なる部分を見ると整理できます。

ここで「式で表せること」と「定規とコンパスで作図できること」の違いにも触れておきましょう。古典的な作図では、目盛りのない定規とコンパスを使い、直線や円を描き、その交点を取る操作を有限回行います。どれほど巧妙に道具を動かしても、この規則では厳密に作図できない長さがあります。

代表例が、与えられた立方体の体積を 2 倍にする立方体の一辺です。元の一辺を 1 とすると、新しい一辺 t は t³=2 を満たす必要があります。この正の解は存在しますが、単位の長さだけから定規とコンパスで厳密に作図することはできません。描き方をまだ思いついていない、という意味ではなく、許された操作の性質から不可能と証明されます。

理由の入口は、直線どうしの交点には一次方程式、直線と円の交点などには二次方程式が現れることです。作図で得られる数は、有理数から四則演算と平方根を取る操作を有限回重ねた範囲に入ります。大学の代数学では、この範囲にある数の有理数上の次数は 2 の累乗になると示します。次数とは、その数を解に持つ有理数係数の零でない多項式のうち、最も低い次数です。t³=2 の解の次数は 3 なので、ここに入れません。

角の三等分も、任意の角について必ず実行できる作図法はありません。ただし、三等分できる特定の角はあります。また、道具の規則を変えれば可能性も変わります。「できない」という結論を読むときは、何を与えられ、どの操作が許されるかを一緒に確かめる必要があります。

大学数学ではつながり方を取り出す

作図では距離や角度が重要でした。大学で学ぶ位相は、それらの細かな量から離れ、連続性やつながり方などを調べる分野です。円周を引き伸ばして楕円の輪にしたとき、長さや曲がり方は変わります。それでも、輪として切れずにつながる性質は保たれます。そのような違いと共通点を、見た目の印象に頼らず扱うための言葉を用意します。

位相の定義を、少し丁寧に述べます。ある集合 X の部分集合の集まりで、空集合と X 自身を含み、その集まりから任意に選んだ集合の合併と、有限個選んだ集合の共通部分が、再びその集まりに入るものを、X 上の位相といいます。この集まりに属する部分集合を開集合と呼びます。合併は選んだ集合のどれかに入る点を集める操作、共通部分はすべてに入る点を集める操作です。

ふだんの座標平面では、集合のどの点を取っても、その点を中心とする十分小さな円の内部をまるごと集合内に収められるとき、その集合を開集合とします。たとえば x²+y²<4 は開集合ですが、x²+y²≦4 は開集合ではありません。後者の円周上の点では、どんなに小さい円を描いても外へはみ出します。高校で気にした境界の扱いが、ここでも意味を持ちます。

さらに、写像とは、出発側の各要素に対して到着側の要素をちょうど 1 つ対応させる規則です。位相を入れた集合の間の写像が連続であるとは、到着側のどの開集合についても、そこへ移る出発側の点を集めた集合が開集合になることをいいます。数直線上の関数で学ぶ連続性を、距離の公式を最初から用意しない場所にも広げた定義です。

2 つの空間の間に、すべての点を一対一に対応させる連続な写像があり、逆向きの対応も連続なら、その空間どうしは同相といいます。円周と楕円の輪は同相です。一方、円周と線分は同相ではありません。線分は内部の点を取り去ると左右に分かれますが、円周はどの 1 点を取り去ってもひと続きのままです。ここでの連結とは、空間を、空でない互いに重ならない 2 つの開集合に分けられないことをいいます。点を除いたあとの空間で、この性質を比べています。

つながり方を点と線だけで取り出したものが、グラフ理論のグラフです。ここでは有限個の頂点と、それらを結ぶ辺からなる図を考えます。関数のグラフとは言葉の使い方が違います。辺の長さや曲がり具合を変えても、どの頂点が結ばれているかは変わりません。一筆書きは、そのグラフのすべての辺をちょうど 1 回ずつ通る道順を求める問題です。同じ頂点を複数回通ることは許されます。

頂点につながる辺の端の数を、その頂点の次数と呼びます。自分自身に戻る辺は端を 2 つ持つとして数えます。辺を持つ頂点どうしが道でつながっているグラフでは、一筆書きができる条件は、次数が奇数の頂点が 0 個または 2 個であることです。0 個なら出発点へ戻る道順があり、2 個なら、その 2 頂点が出発点と終点になります。途中の頂点では入る辺と出る辺が対になる、という観察がこの条件の理由につながります。

オイラーの公式も、図の見た目を越えて残る関係です。辺が途中で交差しないよう平面に描かれた、有限で連結なグラフでは、頂点の数 V、辺の数 E、面の数 F に対して V−E+F=2 が成り立ちます。面には外側の広がった部分も含めます。四角形の周だけなら V=4、E=4、F=2 です。対角線を 1 本加えると E=5、F=3 となり、どちらも値は 2 です。

一筆書きは通る順序、オイラーの公式は平面を区切る構造を扱うので、同じ判定法ではありません。位相とグラフ理論が接する入口として並べて見ると、距離を捨てても別の精密さが残るとわかります。情報分野の通信網でも、機器を頂点、接続を辺とすれば、接続が切れたときに別の経路が残るかを調べられます。実際の通信には容量なども関わりますが、まず接続関係を取り出すことで、調べる問題を明確にできます。

三つの段階を結ぶのは条件の選び方

中学の作図では、円弧を描くことで距離の条件を紙の上に実現しました。高校の軌跡では、それを式に翻訳し、すべての点を扱いました。領域になると、条件を満たす場所は線の上だけでなく面へ広がります。ここまでは、距離や角度が答えを決める重要な材料です。

大学の位相では、どれだけ離れているかを固定せずに、連続性を扱う枠組みを作ります。これは、作図の精度を下げることではありません。答えたい問いが変わったので、残す情報を選び直しています。駅どうしの接続を知りたいときと、線路の正確な長さを知りたいときでは、必要な図が異なるのと同じです。

その一方で、条件を曖昧にしない姿勢は変わりません。軌跡の式を求めても、元の条件と行き来できなければ余計な点が入ることがあります。オイラーの公式も、平面に交差なく描かれていることや連結であることを外せば、そのままでは使えません。公式の前提を読む力は、円弧の半径を適切に選ぶところから育てられます。

いまの問題に戻るときは、「何を同じにしているか」「何を変えてよいか」を考えてみてください。コンパスの幅を変えても垂直二等分線が変わらない理由と、円周を楕円に変えてもつながり方が保たれる理由は異なります。その違いまで説明できれば、図形を見る視点が増えたことになります。

つながりを使った学び方

最初に、作図の各操作の横へ、その操作で生まれる等しさを書きます。A を中心に円弧を描いたなら「A からの距離が一定」、同じ幅で B からも描いたなら「交点は A と B から等距離」と添えます。操作を暗唱する練習から、手順と理由を結ぶ練習へ進めます。

次に、完成した線の上へ別の点を置き、同じ条件が成り立つ理由を説明します。逆向きに、条件を満たす点が線の外にあり得るかも考えます。中学生なら合同な三角形を探し、高校生なら座標を使って確かめます。どちらの方法でも、必要な条件が図のどこにあるかを示すことが目標です。

さらに、条件を少し変えて答えを予想します。「距離が等しい」を「距離が小さい」に変えたら、線のどちら側になるでしょうか。等号を足すと境界は入るでしょうか。先に図で予想し、あとから式に代入して確かめると、計算結果を図へ戻す練習になります。位相に関心がある人は、輪と線分から点を取り去る図も描き、残りがつながっているか比べてみましょう。

塾では、できあがった作図だけでなく、途中の円弧と説明を一緒に見ます。交点が作れないなら半径の条件、線が決まっても理由が言えないなら等しい辺の対応へ戻ります。高校の領域問題なら、境界の点と領域の内外の点を本人に選んでもらいます。誤りの場所に合わせて、操作、図、式のどこを補うかを決めます。

家庭では、お子さまに手順をすべて言わせるより、「その交点は、何と何が等しいの」と短く尋ねると会話を始めやすくなります。すぐに言葉が出なくても、ノートの円弧を指でたどる時間を残してください。家庭で証明を完成させようと抱え込まず、説明が止まった箇所に印を付けて授業へ持っていけば、次に確かめる点が具体的になります。

よくある質問

作図が少しずれたら、考え方も間違いですか

道具の扱いによるずれと、手順の誤りは分けて確かめます。同じ半径で描くはずの円弧が違う半径なら修正が必要ですが、針先や線の太さによるずれだけで理由まで否定されるわけではありません。正しい条件を保つ手順を説明し、作業の精度も少しずつ整えましょう。

作図できない長さは、図に描けないのですか

近似した長さを描くことはできます。作図不可能という言葉は、決められた道具と有限回の操作で厳密に得られないという意味です。近い値を使うことと、厳密に構成することは目的が違います。測って描く方法が役立つ場面もありますが、それで古典的な作図問題を解いたことにはなりません。

一筆書きができれば、オイラーの公式も使えますか

一筆書きだけでは判断できません。一筆書きでは辺のつながりと次数を調べます。V−E+F=2 を使うには、連結なグラフを平面に辺の交差なく描き、外側も面として数えます。線が交差する図では、交差点が頂点なのか、単に通り過ぎる場所なのかも区別しましょう。

コンパスの跡を残したノートには、答えに至る理由が見えています。そこへ「等距離」「境界を含む」といった言葉を書き足すと、図は考えを確かめる道具になります。いま覚えている作図は、高校の式や大学の定義から孤立していません。武蔵野個別指導塾の作図の授業は、一本の線を引いた理由まで言葉にする時間です。