概数と誤差から近似計算、数値解析へ｜武蔵野個別指導塾

平方根の近似を手がかりに、四捨五入、接線による計算、ニュートン法をたどります。答えの桁数と確かさを区別し、どこまで信用できるかを自分で確かめる視点を育てましょう。

概数と誤差から近似計算、数値解析へ

電卓の答えは、どこまで書けばよいのでしょうか

よくあるのは、工作用の板を測る作業台の脇で、対角線の長さを求めたノートと電卓を見比べ、「数字がまだ続いていますが、全部書くのですか」と迷う場面です。平方根の記号で表した答えは正確でも、ものさしにそのまま印を付けることはできません。実際に長さを使うには、小数に直し、どこかの桁で区切る必要があります。

ここで出会うのが近似です。近似とは、目的に応じて、扱いたい数や関数などを別の扱いやすいもので表すことです。単に計算を省くためだけの工夫ではありません。正確な値との隔たりを調べ、その隔たりが使い道に対して十分小さいかを判断するところまでが、近似を使う学習です。

中学では四捨五入や平方根の値、高校では接線を使った計算、大学ではコンピュータによる反復計算へと進みます。いずれの段階にも、「答えを出すこと」と「答えの確かさを調べること」という対になる課題があります。この二つを並べて見ると、概数の問題が、先の数学へ続く入口に見えてきます。

中学数学では、丸めた数の後ろに範囲を見る

概数は、およその大きさを表す数です。四捨五入は概数を作る方法の一つで、残したい桁の一つ下の数字を見て、切り捨てるか切り上げるかを決めます。例えば、長さの測定値を小数第1位までの概数にして12.3 cmと表したとします。通常の四捨五入で正の数を丸めたなら、丸める前の数値 x の範囲は次のようになります。

12.25 ≦ x < 12.35

左端を含み、右端を含まないのは、12.25は12.3へ、12.35は12.4へ丸められるからです。この範囲を数直線に描くと、12.3という一つの表示の後ろに、幅のある区間が隠れていることがわかります。ただし、これは丸める前の測定値の範囲です。測る道具や読み取りにずれがある場合、実物の真の長さまで同じ範囲にあるとは、この表示だけでは決まりません。

真の値を a、近似値を b とすると、ここでは b−a を誤差と呼び、その大きさ |b−a| を絶対誤差と呼びます。上の四捨五入で生じる絶対誤差は0.05以下です。同じずれでも、対象の大きさに対する重みは違います。そこで a ≠ 0 のとき、絶対誤差を |a| で割った |b−a|/|a| を相対誤差と呼びます。長い距離と短い部品の寸法を比べるような場面では、この割合の見方が役立ちます。

有効数字は、測定値や近似値について、意味のある桁を示すために使います。例えば0.0123を有効数字3桁とする場合、先頭側の0は大きさの位置を示し、1、2、3が有効な数字です。12.30を有効数字4桁として書けば、最後の0も小数第2位まで表したことを伝えます。ただし、末尾に0を付けるだけで測定の精度が上がるわけではありません。何をどの精度で測ったのかという前提と一緒に読む必要があります。

次に、平方根の近似を考えましょう。√2は、2乗すると2になる正の数です。整数や有限小数でぴったり書けなくても、値を挟むことはできます。

1.41² = 1.9881、1.42² = 2.0164

正の数の範囲では、数が大きくなるほど2乗も大きくなります。そのため、この計算から1.41 < √2 < 1.42とわかります。さらに桁を細かくして、次のように調べられます。

1.414² = 1.999396、1.415² = 2.002225

これで1.414 < √2 < 1.415です。単に電卓の表示を写すのと違い、自分で求めた小数が√2をどの幅で挟むかを説明できました。なお、この区間だけでは小数第2位まで四捨五入した結果は判断できても、小数第3位までの結果は決まりません。境目の1.4145より小さいかどうかを、さらに確かめる必要があるからです。

ここで、√2と1.414を等号で結ばない習慣も身に付けましょう。√2は正確な数の名前で、1.414はその近似値です。近似的に等しいことを表す記号なら、√2 ≈ 1.414と書けます。記号一つの違いですが、「同じ数」と「近い数」を分ける姿勢が、高校以降の計算を支えます。

高校数学では、曲線を近くの直線で置き換える

中学の方法では、候補の数を2乗して平方根を挟みました。高校で微分を学ぶと、関数の値を近くのわかっている値から予想できます。関数 f が a で微分可能なとき、a の近くでの変化は、そこでの接線の傾き f′(a) を使って捉えられます。h を小さな変化として、一次近似は次の形です。

f(a+h) ≈ f(a)+f′(a)×h

右辺は h の一次式なので、複雑な関数を直線の式に置き換えています。「hが小さければ何でもよい」と覚えるより、どの点 a を基準にしたのかを明らかにしましょう。基準点では関数の値と接線の値が一致し、傾きも一致します。そこから少し動いたときの変化を、同じ傾きの直線で受け止めるのが一次近似です。

例として√4.1を求めます。f(x)=√xとすれば、f(4)=2で、導関数は f′(x)=1/(2√x) です。したがって f′(4)=1/4となります。4.1は4から0.1だけ増えた数なので、次の計算ができます。

√4.1 ≈ 2+(1/4)×0.1 = 2.025

電卓で平方根の計算をしなくても、簡単なかけ算と足し算で近似値を出せました。それでも、2.025を正確な平方根だと扱うことはできません。実際に2乗すると2.025²=4.100625であり、4.1より少し大きくなります。正の数を比べているので、2.025は√4.1より大きい近似値だと判断できます。

ここから誤差の上限も求められます。2.025−√4.1に、和の2.025+√4.1をかけると、平方の差によって0.000625になります。つまり、次の等式が成り立ちます。

2.025−√4.1 = 0.000625/(2.025+√4.1)

√4.1 > 2なので分母は4より大きく、誤差は0.00015625より小さいとわかります。近似の式を使うだけで終わらず、2乗して確かめ、誤差を挟むところまで進めました。微分で作った予想を、中学で学んだ因数分解と不等式が支えているわけです。

一次近似の誤差をもう少し詳しく知る入口が、テイラー展開です。これは、ある点での関数の値や導関数の値を使って、関数を多項式と残りの部分に表す考え方です。二次の項まで考えると、接線だけでは表せなかった曲がり方を取り込めます。f″ は導関数をさらに微分した関数、つまり2階導関数を表します。

f(a+h) ≈ f(a)+f′(a)×h+f″(a)×h²/2

平方根の関数では f″(4)=−1/32なので、先ほどの計算に加わる項は−0.00015625です。二次までの近似値は2.02484375となり、一次近似の2.025を少し下げる向きに補正します。この例では真の値に近づきますが、どんな関数でも、どこで使っても、項を増やせば必ず改善するという決まりではありません。使う範囲と、残りの部分の大きさが問題になります。

「微分可能なら一次近似が使える」という主張も、正確には、hを0へ近づけたとき、近似の誤差を |h| で割った値が0へ近づくという意味です。特定のhで何桁まで正しいかは、それだけではわかりません。大学では、この「近づく」を条件と上限で説明する方向へ進みます。

大学数学では、計算の手順と誤差を一緒に設計する

数値解析は、方程式の解や関数の値などを数値として求める方法と、その精度や計算の性質を調べる分野です。大学の理系の学びでは、紙の上で式を変形する力に加え、有限回の計算でどの程度確かな答えが得られるかを問います。その代表的な方法の一つがニュートン法です。

ニュートン法は、f(x)=0の解を求めるため、現在の近似値で引いた接線と横軸の交点を次の近似値にする反復法です。反復とは、同じ規則の計算を、得られた値に対して繰り返すことです。現在の値を xₙ と書くと、更新の規則は次の式になります。

xₙ₊₁ = xₙ−f(xₙ)/f′(xₙ)

この計算には、少なくともその点で導関数が存在し、f′(xₙ) ≠ 0であることが必要です。また、この条件だけで反復が望む解に近づくとは限りません。出発点によっては解から離れたり、別の解に近づいたりします。手順が短いことと、どこでも成功することは別です。

√2を求めるなら、f(x)=x²−2と置きます。導関数は2xなので、更新式を整理すると、xₙ₊₁=(xₙ+2/xₙ)/2です。出発点を x₀=1.5とすると、次の値は17/12、その次は577/408になります。小数で表せば、それぞれおよそ1.416667、1.414216です。さらに1回進めると、およそ1.414213562になります。中学で小数を細かく区切っていた問題を、接線から得た規則で解き直しています。

なぜ速く近づくのでしょうか。r=√2とし、現在の値を正の数xとすると、次の値とrとの差は、式の整理によって (x−r)²/(2x) と表せます。現在の誤差が2乗される形です。xがrに近く、分母が0から離れていれば、小さな誤差はさらに小さくなります。今回の正の出発点では、次の値はr以上になり、その後はrを下回らずに減少します。更新式の性質から、近づき方を説明できるのです。

近づくことにも定義があります。近似値の列 xₙ が r に収束するとは、どんな正の許容誤差 ε を選んでも、ある番号以降のすべての xₙ が |xₙ−r| < ε を満たすことです。数回だけよい値が出るという意味ではありません。いくら厳しい許容誤差を指定しても、それより後ではずっと条件を満たせる、という約束です。これは、初めに出会った「値を狭い範囲に入れる」を、無限に続く列へ広げた定義です。

実際のコンピュータでは、無限に計算を続けられません。また、一般的な浮動小数点数という表現では、数の大きさを表す指数部分と、有効な桁を表す部分を有限の桁で保持します。2進法の有限桁で表せない数は丸められるため、10進法で簡潔な0.1も、通常は内部で近似値として扱われます。表示される桁を増やす操作だけでは、内部の数が正確になるわけではありません。

ここでは、反復を途中で止めることや式の項を省くことで生じる打切り誤差と、有限桁への丸めで生じる丸め誤差を区別します。近い二つの数を引くと、有効な桁が失われ、もとの丸め誤差が結果に対して目立つ場合もあります。これが桁落ちです。計算の回数を増やすほど無条件に信頼できる、とは言えない理由がここにあります。

工学で部品の形状を計算するときも、必要な精度に達したところで反復を止める判断が要ります。√2の例なら、x > 0について |x−√2|=|x²−2|/(x+√2) なので、x²−2の大きさから誤差を評価できます。xが1以上なら分母は2より大きく、絶対誤差は |x²−2|/2より小さいと保証できます。一般の方程式では同じ保証が自動的に使えるわけではなく、関数ごとの性質を調べます。

三つの段階をつなぐのは、値と確かさの組です

中学では、四捨五入された表示からもとの数の範囲を考え、2乗の計算で平方根を挟みました。高校では、近くの点の値と傾きを使って新しい値を予想しました。大学では、その予想を繰り返す手順を作り、近づく条件や計算機内部の誤差まで扱いました。対象が広がっても、近似値だけを単独で読むことには限界があります。

一緒に知りたいのは、「何を近似した値か」「どの方法で得たか」「どの程度のずれがあるか」です。小数が長く並ぶ答えと、誤差の上限が示された短い答えでは、後者のほうが判断に使いやすい場合があります。答えの見た目の細かさと、保証される精度は分けて考えましょう。

さらに、測定の誤差と計算の誤差も区別できます。もとの長さが曖昧なら、計算だけを細かくしても実物の寸法が同じだけ確かになるわけではありません。一方、入力が正確でも、計算途中の丸め方が結果に影響することはあります。どの段階で不確かさが入ったのかを追うと、やり直すべき場所が見つかります。

進学とともに変わるのは、誤差を調べる道具です。数直線、不等式、微分、反復計算が順に加わります。変わらないのは、目的に必要な精度と、実際に得られた精度を照らし合わせる姿勢です。概数はそのための最初の言葉になります。

つながりを使った学び方

まず、問題に出てくる数を、正確な数と近似値に分けて印を付けます。√2は正確な数を表す記号であり、小数表示に直さなくても意味が決まっています。一方、測って丸めた値には、測定と丸めの前提があります。計算を始める前に、この違いを言葉にしてみましょう。

次に、近似値を出したら、元の条件に戻して確かめます。平方根なら2乗し、方程式なら代入します。ただし、代入後のずれが小さいことと、解そのものとの距離が小さいことは、一般には同じではありません。中学生はまず上下を挟み、高校生は因数分解や関数の傾きと結び付けて、そのずれから何が言えるかを調べます。

さらに、丸める場所を答案に残します。途中の各段階で細かく丸めた場合と、必要な桁を残して最後に丸めた場合を比べれば、計算の道筋が答えに関わるとわかります。「答えを小数第何位まで書くか」と「途中で何桁持っておくか」は別の判断です。誤差の評価が難しい段階でも、途中の値を書き残すことから始められます。

最後に、使った近似の条件を一言添えます。一次近似なら基準点とそこからの変化、ニュートン法なら出発点と止めた理由です。式だけでなく条件を説明する練習が、初めて見る問題で手法を選ぶ助けになります。

塾では、答えの一致だけで採点を終えず、等号と近似の記号、丸めた桁、代入して確かめた結果を一緒に読みます。誤りがあれば、計算ミスなのか、近似を使う範囲の問題なのかを分け、次に試す一手を具体にします。学年を先取りする量より、今使える道具でどこまで説明できるかを確かめます。

家庭では、お子さまに長い小数を読み上げてもらうより、「その値は元の値より大きいと思う、小さいと思う」と尋ねるところから話せます。答えを急いで教えず、図や2乗の計算を使って説明する時間を取ってみてください。保護者が微分や数値解析を教える必要はなく、確かめ方に耳を傾けることが対話になります。

よくある質問

近似値を使うと、数学として不正確になりませんか

近似値であることと、誤差について言えることを明示すれば、正確な議論ができます。「この値と等しい」という主張と、「この区間にある」という主張は、どちらも数学で扱えます。用途に必要な範囲まで絞れたかが判断の基準です。

電卓の桁を全部書けば安心でしょうか

表示された桁がすべて測定の意味を持つとは限りません。また、内部で丸められた結果を表示している場合もあります。問題で求められた表し方と、入力の精度を確認しましょう。計算用に保持する桁と、相手に伝える桁を分けると整理できます。

ニュートン法は中学生にも使えますか

平方根の更新式そのものは、四則計算で試せます。ただし、式が接線から導かれる理由を理解するには微分が役立ちます。まず繰り返して得た値を2乗し、2に近づく様子を調べ、学びが進んだときに理由を読み直す入り方ができます。

作業台で必要なのは、電卓に並ぶ数字を最後まで写すことよりも、印を付ける位置をどこまで確かに決められるかです。同じ問いが、関数の接線にも、コンピュータの計算にも続いています。いま概数で迷った場所には、将来の数値解析につながる問いがすでにあります。武蔵野個別指導塾の近似の学習では、答えの横にある「どこまで確かか」という説明にも、赤鉛筆が入ります。