関数のグラフから媒介変数・極座標、曲線の数学へ｜武蔵野個別指導塾

円を一つの関数で描きにくい理由から、点を動かして曲線を表す方法へ進みます。曲線の長さと曲がり具合までたどり、座標を打つ練習の先にある数学を見渡してみましょう。

関数のグラフから媒介変数・極座標、曲線の数学へ

方眼紙の上で円を描こうとすると

よくあるのは、雨の日の塾の廊下で、傘の先から落ちた水の輪を見ていた生徒が、ノートに円を描き、「これも関数のグラフですか」と尋ねる場面です。直線も放物線も座標の上に描いてきたのですから、円にも同じ書き方がありそうです。ところが、円を上から下へ縦に切ると、一つの x に対して上側と下側の二つの点が見つかります。

関数 y=f(x) では、決めた一つの x に対応する y は一つです。円全体をそのまま一つの y=f(x) のグラフとして表そうとすると、ここで困ります。しかし、円が数学で扱えないわけではありません。横の位置だけを先に決める方法から、横と縦の位置を一緒に動かす方法へ、表し方を広げればよいのです。

この記事では、まず中学で描くグラフの意味を確かめます。そこから高校の媒介変数と極座標に進み、大学で扱う曲線の長さや曲がり具合までを見渡します。方眼紙に点を打つ作業は、複雑な道筋を正確に記述する数学の出発点です。

中学のグラフは条件を満たす点の集まり

座標平面の点を (x,y) と書くとき、x は横の位置、y は縦の位置を表します。関数のグラフとは、その関数の関係を満たす点すべてを集めたものです。表に書いた数個の点だけがグラフなのではありません。表に載せていない値にも対応する点があり、それらを含めて考えています。

比例 y=2x を例にします。x に -1、0、1、2 を入れると、y は順に -2、0、2、4 です。したがって、(-1,-2)、(0,0)、(1,2)、(2,4) はどれもグラフ上にあります。これらの点は一直線に並びます。さらに x=1/2 なら y=1 なので、整数の座標の間にも点があります。

ここで大事なのは、点を数個打って定規を当てたから直線になる、という順序ではないことです。y=2x という比例の関係があり、その関係を満たす点の集まりが直線になります。点を打つのは、その関係を目で確かめる手段です。式を使わずに数個の点だけを見れば、それらを通る曲線も描けます。グラフを決めているのは点の個数ではなく、どの値でも成り立つ関係です。

一次関数 y=2x+1 になると、同じ x に対する y が比例のときより 1 ずつ大きくなります。グラフは y=2x を上へ 1 だけ平行移動した直線です。傾き 2 は、x の増加量に対する y の増加量の割合を表します。切片 1 は、x=0 のときの y の値です。傾きと切片は、単に式から取り出す数字ではなく、図の形と位置をそれぞれ指定しています。

次に y=x² を考えます。x が -2、-1、0、1、2 のとき、y は 4、1、0、1、4 です。負の数を二乗すると正になるので、左右の対応する点は同じ高さになります。このグラフは放物線で、y 軸について対称です。直線と違って、x が同じだけ増えても y の増え方は一定ではありません。

実際に、x が 0 から 1 へ増えると y の増加量は 1 ですが、x が 1 から 2 へ増えると y の増加量は 3 です。どちらも横へ 1 進んでいるのに、縦へ進む量が異なります。これが図では、右へ進むほど急に立ち上がる形として現れます。曲がっているという見た目を、増加量の違いとして読み取れるわけです。

ただし、計算した点を折れ線で結ぶと放物線そのものにはなりません。(0,0) と (1,1) を直線で結んだ線分では、x=1/2 のとき y=1/2 です。一方、y=x² では y=1/4 です。間の点まで式を満たすかを確かめると、滑らかな曲線と折れ線の違いがはっきりします。

グラフを描くときは、軸の目盛りにも注意してください。横軸と縦軸で同じ数値に当たる紙の長さを変えると、同じ式でも急に見えたり平たく見えたりします。数量の変化を読むグラフと、図形の長さや角度を読む図では、目盛りに求める役割が違います。この先で円の形や曲率を考えるときは、両軸の単位の長さをそろえて考えます。

高校では点の動かし方も式にする

円全体を表したいとき、x を先に決めて y を一つ選ぶという方法から離れてみます。別の変数 t を用意し、t の値から x と y の両方を決めます。この t を媒介変数といい、点の座標を t の式で表すことを媒介変数表示といいます。t は時刻と考えると想像しやすいですが、必ず実際の時間を意味するわけではありません。

半径 2、中心が原点の円なら、次のように表せます。

x=2cos t, y=2sin t　(0≦t≦2π)

ここで角度はラジアンで測ります。ラジアンは、円弧の長さを半径で割った値で角度を表す方法です。t=0 で点は (2,0)、t=π/2 で (0,2)、t=π で (-2,0) に来ます。さらに t=3π/2 で (0,-2) を通り、t=2π で出発点に戻ります。t を増やすと、円を反時計回りに一周します。

三角関数の関係 cos²t+sin²t=1 を使うと、この座標は x²+y²=4 を満たします。ただし、式を満たすことだけで説明を終えず、t が指定の範囲を動けば円のどの点にも届くことも確かめます。媒介変数を消して得られる方程式と、実際に描かれる範囲がいつでも一致するとは限らないからです。たとえば t を 0≦t≦π に制限すると、同じ方程式を満たしながら、描くのは上半分だけになります。

横と縦の倍率を変えて x=3cos t、y=2sin t とすれば、今度は楕円になります。座標は x²/9+y²/4=1 を満たします。円の表示のどこを変えれば形が変わるのかが、式から読み取れます。また、x=t、y=t² と置けば、中学の放物線 y=x² も媒介変数で表せます。新しい方法は、以前のグラフを含みながら、円のような図形にも届く方法です。

もう一つの広げ方が極座標です。平面の基準点を極と呼び、極からの距離 r と、基準の向きから測った角度 θ で点を表します。ここでは r≧0 とします。同じ角度に一周分を足しても位置は変わらず、r=0 では角度によらず極を表すので、一つの点に対する表示は一通りとは限りません。

極を原点、基準の向きを x 軸の正の向きとすると、通常の座標との関係は次の通りです。

x=r cos θ, y=r sin θ

この方法なら、半径 2 の円は r=2 と短く書けます。原点からの距離がいつも同じ、という円の特徴が、そのまま式になっています。一方、r=θ、0≦θ≦2π とすると、向きが回転するにつれて原点からの距離も大きくなり、らせんを描きます。θ=π では (-π,0)、θ=2π では (2π,0) です。一周後に角度の向きは元へ戻っても、距離が増えているため出発点には戻りません。

媒介変数表示と極座標は、図形ごとに無関係な公式を増やす学習ではありません。横と縦を同時に決めるのか、距離と向きを決めるのかという選択です。円の一周、楕円の伸び方、らせんの広がり方など、知りたい特徴が式に現れやすい表し方を選べるようになります。

大学では長さと曲がり具合を測る

大学で曲線を扱うときは、まず対象をはっきり定めます。平面の媒介変数付き曲線とは、実数のある区間の各 t に対して平面上の点を一つ対応させる連続な写像です。写像とは、決めた入力の集合の各要素に、出力の集合の要素を一つずつ対応させる規則です。座標で書けば γ(t)=(x(t),y(t)) となります。連続とは、ここでは t を十分小さく変えると位置の変化もいくらでも小さくできることを意味します。

中学のグラフは点の集まりとして見ていましたが、この定義では進む順序や同じ場所を何回通るかも表現できます。曲線が通る点の集合だけを見る場合と、媒介変数付き曲線を見る場合を区別するのが一つの深まりです。同じ円を一周する表示と二周する表示では、通った場所の集合は同じでも、たどった道のりは異なります。

では、曲がった線の長さをどう決めるのでしょうか。媒介変数の区間から順番に点を選び、隣り合う点を線分で結んで、それらの長さを足します。このようなすべての分割で得られる和の上限、つまりどの和以上でもある数のうち最小のものを、曲線の長さと定めます。有限の上限がない場合、長さは無限大です。連続な曲線だからといって、必ず有限の長さを持つとは限りません。

座標の導関数 x′(t)、y′(t) が連続な曲線では、区間 a≦t≦b における長さ L は積分で求められます。

L=∫ₐᵇ √(x′(t)²+y′(t)²) dt

導関数は、その瞬間の座標の変化の割合です。横と縦の変化を三平方の定理で合わせた √(x′(t)²+y′(t)²) が速さに当たり、それを区間全体で積み重ねています。中学の座標と三平方の定理、高校の微分と積分が、一つの式の中でつながります。

半径 2 の円の表示なら、x′(t)=-2sin t、y′(t)=2cos t なので、速さは常に 2 です。0≦t≦2π で積分すると長さは 4π となり、知っている円周の公式と一致します。同じ表示のまま 0≦t≦4π まで進めば二周するため、長さは 8π です。積分が数えているのは通過の重複も含んだ長さだと、ここで確かめられます。

曲がり具合も、見た印象から測れる量へ進みます。接線の向きを表す長さ 1 のベクトルを単位接ベクトルといいます。滑らかで速度が零にならない曲線では、進んだ弧の長さに対して、この単位接ベクトルが変化する割合の大きさを曲率と定めます。記号は κ です。時間当たりではなく、進んだ長さ当たりの向きの変化を見るところが要点です。

半径 R の円で R>0 のとき、曲率はどこでも 1/R です。同じ距離だけ進むなら、小さい円のほうが大きく向きを変えるので、曲率も大きくなります。半径 2 なら曲率は 1/2、半径 4 なら 1/4 です。直線では接線の向きが変わらないため、曲率は 0 です。円の曲率が一定なのに対して、一般の曲線では場所に応じて変わります。

ここで傾きと曲率を混同しないでください。急な直線も緩い直線も曲率は 0 です。傾きは向きを表す量、曲率は進むにつれて向きがどれほど変わるかを表す量です。縦向きの接線では y の x に対する傾きを有限の数で表せませんが、曲率は媒介変数を用いて扱えます。

こうした長さや曲率を微分などによって調べる分野が微分幾何です。工学では、道や機械の移動経路の形を検討するときに、曲率が役立ちます。滑らかな経路を一定の速さ v で進む場合、加速度の接線に垂直な成分の大きさは v²κ です。同じ速さでも曲がり方によって必要な加速度が変わるため、経路の形と運動の条件を結び付けられます。

位置の表から曲線の性質へ続く線

中学、高校、大学を通して変わらないのは、点の位置を数で表し、その関係から形を調べる姿勢です。中学では、x を決めて y を計算し、表と式とグラフを行き来します。高校では、位置の決め方そのものを増やします。大学では、そうして記述した曲線に対して、長さや曲率を正確に定義します。

変化しているのは、問いの細かさでもあります。「この点はグラフに乗るか」から「どの範囲をどちら向きに通るか」へ、さらに「どれだけ進むと向きがどれだけ変わるか」へ進みます。計算が長くなるだけではなく、これまで一つに見えていた性質を分けて考えるようになります。

たとえば同じ円を、ゆっくり進んでも速く進んでも、円そのものの半径や曲率は変わりません。媒介変数の取り方によって座標の時間的な変化は変わりますが、図形の曲がり具合は変わらないのです。曲率の定義で、時間ではなく弧の長さを基準にした理由がここにあります。

図だけでは見分けにくい性質を式で確かめ、式だけではつかみにくい意味を図へ戻す。この往復が、どの段階にも残ります。グラフが苦手なときも、完成した形を丸暗記する前に、どの入力からどの位置を決めたのかへ戻ると、次に書くべき点を自分で判断できます。

つながりを使った学び方

最初の手順は、式から数個の座標を計算し、それぞれを点として打つことです。正の値だけでなく、零や負の値も選びます。y=x² なら左右の高さを比べ、円の媒介変数表示なら角度の区切りごとの位置を確かめます。計算した値と紙の上の位置を線で結び付けて考えてください。

次の手順は、描いた線の途中の点を一つ選び、式に戻して確かめることです。放物線を折れ線のように結んでしまった場合も、中間の x を代入すればずれに気づけます。高校では媒介変数の範囲も書き添え、始点、終点、進む向きを確認します。方程式だけが合っていても、描く範囲を取り違えることがあります。

さらに、同じ図形を別の方法で表します。円なら x²+y²=4、媒介変数表示、極座標の r=2 を並べ、どの式に半径が見えるかを言葉にします。まだ三角関数を習っていなければ、一つの x に上下の二つの点が対応する場所を見つけるだけでも十分です。今の知識で確かめられる違いから取り組めます。

最後に、「位置」「進む向き」「速さ」「曲がり具合」を区別して説明します。全部を計算する必要はありません。直線の傾きが大きくても曲率は零であることや、同じ円を速く回っても半径は同じであることを図に添えます。区別する言葉があると、後で微分の式が出てきたときにも、何を求めているのかを見失いにくくなります。

塾では、途中の点の打ち方を見て、座標の読み違いか、式への代入の誤りか、曲線の捉え方の問題かを確かめます。その上で、すぐに完成図を渡すのではなく、生徒が次の点を選び、その位置を説明する時間を取ります。高校の内容を先取りする場合も、中学の式と図の対応を確かめながら進めます。

家庭では、お子さまにきれいな図を仕上げさせることより、「この点はどう決めたの」と一か所を尋ねる役割が持てます。説明が止まった場所は、次の授業で確かめる問いとして残せます。計算を代わりに終えるより、自分で決められた点と相談したい点を分けておくと、学習の続きを始めやすくなります。

よくある質問

円は関数ではないのですか

円全体は一つの y=f(x) のグラフにはなりませんが、上半分と下半分に分ければ、それぞれを関数のグラフとして表せます。また、媒介変数から平面の点への対応は関数です。「どの入力に何を対応させているか」を添えると、関数という言葉の使い方が整理できます。

媒介変数は必ず消すものですか

目的によります。図形の方程式を知りたいときには消す方法が有効ですが、進む向きや通る順序を知りたいときは残すほうが便利です。消去しても、元の変数の範囲を忘れずに確認してください。同じ円の方程式が得られても、一周しているとは限りません。

曲率は高校までに覚える必要がありますか

まずは今学んでいる座標、関数、微分の意味を確かめてください。曲率を知る意義は、公式を先に暗記することより、傾きとは違う「曲がり具合」を測る問いがあると知ることにあります。放物線の途中の点を丁寧に求める練習も、その問いに向かう準備になります。

一本の曲線には、点の位置、動く順序、長さ、曲がり具合という異なる情報が重なっています。今すべてを計算できなくても、何を知りたいかによって表し方を選べると気づけば、グラフを見る目は変わります。雨の廊下で浮かんだ円への疑問も、座標を計算して終わる問題の先に続いています。武蔵野個別指導塾の授業には、ノートの円から生まれた「なぜ」を、次に学ぶ数学へ持ち越せる余白があります。