線対称と点対称から図形の移動、群論へ｜武蔵野個別指導塾

折り返しや回転を座標で確かめ、動かす順序で結果が変わる理由をたどります。正方形や立方体、ルービックキューブを手がかりに、大学で学ぶ群の定義まで見通せます。

線対称と点対称から図形の移動、群論へ

折り返した図形の、その先へ

よくあるのは、雨の日の塾の廊下で、床の模様を見ながら「左右が同じ形だとわかるのに、なぜ対称の軸まで書くのですか」と尋ねる場面です。確かに、模様の美しさを眺めるだけなら、名前を知らなくても困りません。それでも数学で対称性を学ぶのは、目で感じた「同じ」を、他の人にも確かめられる言葉にするためです。

左右が似ている、と言うだけでは、どこを境に、どの点とどの点が対応するかは決まりません。折り返す線を決め、重なる点を示すと、長さや角度についても説明できるようになります。図形の性質を、動かし方から取り出すわけです。

この見方は高校で座標や三角関数と結びつきます。さらに大学では、回す、裏返すといった操作そのものを計算の対象にする「群論」へ進みます。群とは何かを理解する入口は、難しい記号よりも、同じ正方形を続けて動かしてみることにあります。まずは中学で扱う移動を、点の行き先まで丁寧に見ていきましょう。

中学数学では、対応する点を追う

ある直線を折り目として折り返したとき、図形がもとの図形にぴったり重なれば、その図形は線対称です。その直線を対称の軸と呼びます。ここでの「重なる」は、輪郭の一部分が合うことではなく、図形全体が一致することです。軸の外にある点と、それに対応する点を結ぶ線分は、軸と垂直に交わり、交点で二等分されます。

座標で確かめるなら、y軸に関する折り返しがわかりやすいでしょう。点Aの座標を (3,2) とすると、折り返した点A′は (-3,2) です。高さを表すy座標は変わらず、左右の位置を表すx座標の符号が変わります。AとA′を結ぶ線分の中点は (0,2) で、y軸の上にあります。軸上の点は、折り返してもその場にとどまります。

ただし、点を折り返せることと、図形が線対称であることは区別しましょう。どんな三角形にも、ある直線に関して折り返した像を作れます。しかし、その像がもとの三角形と重なるとは限りません。移動は操作の名前、線対称は、その操作で図形全体がもとに重なるという性質です。この区別は、大学まで使います。

点対称では、ある点を中心として180°回転させると図形がもとに重なります。その点が対称の中心です。原点を中心に点A (3,2) を180°回転させると、像は (-3,-2) になります。対応する点どうしを結ぶ線分は対称の中心を通り、その中心で二等分されます。線対称が直線を手がかりにするのに対し、点対称は中心となる点を手がかりにします。

線対称と点対称は、必ず一緒に現れるわけではありません。正三角形は線対称ですが、点対称ではありません。頂点を通る対称の軸で折り返せば重なる一方、中心のまわりに180°回すと、頂点がもとの頂点の位置に来ないからです。平行四辺形は対角線の交点を中心に点対称ですが、ひし形でも長方形でもない平行四辺形には対称の軸がありません。

図形を動かす方法には、平行移動もあります。平行移動は、すべての点を同じ方向に同じ距離だけ動かす操作です。右に2、上に1だけ動かすなら、A (3,2) は (5,3) に移ります。回転移動では中心と回す角度、回す向きを決めます。原点のまわりに反時計回りに90°回すと、A (3,2) は (-2,3) に移ります。中心からの距離を保ちながら、向きを変えた結果です。

これらの移動では、対応する線分の長さや角の大きさが保たれるので、移動前後の図形は合同です。一方、反時計回りに並んだ頂点を折り返すと、並びは時計回りになります。「何が変わらないか」と「何が変わるか」を分けて見れば、合同という言葉の中にも、さらに調べる内容があると気づけます。

高校数学では、移動を式で重ねる

高校の座標や三角関数を使うと、図を実際に回さなくても、移った先を式で求められます。ここで新しく加わるのは、いくつもの移動を続けて行い、その全体をまとめて考える視点です。操作を続けて行うことを、操作の合成と呼びます。まずAを行い、その結果にBを行う、という順序を必ず決めて扱います。

原点のまわりの反時計回りの90°回転をR、右へ1だけの平行移動をTとします。点P (1,0) に対して、先にRを行うと (0,1)、次にTを行うと (1,1) になります。順序を逆にすると、先にTで (2,0) へ行き、次にRで (0,2) へ行きます。同じ操作を使ったのに、最終的な点が違います。

「回す」と「ずらす」の順序が変わると、回転を受けるときの原点からの位置が変わるためです。図形の移動を数の足し算と同じ感覚で扱い、順序を自由に入れ替えると、ここで行き先を間違えます。一方、同じ中心のまわりの回転どうしなら、回転角を足してまとめられます。順序を交換できるかどうかは、操作の種類と条件によります。

任意の角度の回転には三角関数が働きます。原点から距離rの点が、x軸の正の向きとなす角をφとすれば、座標は (r cos φ,r sin φ) と表せます。この点を原点のまわりに反時計回りにθだけ回すと、角度はφ+θに変わります。三角関数の加法定理を使うと、回転前の座標 (x,y) と回転後の座標 (x′,y′) の関係が得られます。

x′=x cos θ-y sin θ

y′=x sin θ+y cos θ

たとえば (1,0) を60°回転させると、cos 60°=1/2、sin 60°=√3/2なので、像は (1/2,√3/2) です。この点に同じ回転をもう一度行うと、x座標は1/4-3/4=-1/2、y座標は√3/4+√3/4=√3/2となります。原点のまわりに120°回した位置と一致します。

この公式は、回転が距離を保つことも表しています。x′とy′をそれぞれ二乗して足すと、途中の項が打ち消し合い、sin²θ+cos²θ=1によって、x′²+y′²=x²+y²となります。原点からの距離の二乗が等しいわけです。図で「長さは同じ」と見ていた性質を、式の計算でも確かめられます。

折り返しの合成にも注目しましょう。まずx軸に関して折り返すと、(x,y) は (x,-y) になります。その後、y軸に関して折り返すと (-x,-y) になります。これは原点を中心とする180°回転と同じ結果です。別々の名前を持つ操作でも、続けて行うと、すでに知っている操作にまとまることがあります。

また、ある直線で折り返した後、同じ直線でもう一度折り返すと、すべての点がもとの位置に戻ります。この「全点をそのままにする操作」にも、数学では名前を与えます。何も起きない結果を記録すると、操作と、それを取り消す操作の関係を表せるからです。途中を省いて答えだけを見るより、出発点、経由点、到着点を矢印でつなぐ方が、操作の性質を読み取りやすくなります。

大学数学では、操作の集まりを群として調べる

大学の代数学では、回転や折り返しなどを集め、それらの合成に共通する規則を取り出します。ここで登場する群とは、集合と、その集合の任意の2つの要素から同じ集合の要素を1つ定める演算の組で、次の性質を満たすものです。演算が結合法則を満たすこと、左右どちらから演算しても相手を変えない単位元があること、各要素に対して、左右どちらの順で演算しても単位元になる逆元があることです。

結合法則とは、3つを演算するとき、先の2つをまとめても後の2つをまとめても結果が同じという性質です。操作なら、実行する順序は保ったまま、どこまでをひとまとまりと呼ぶかを変えられるということです。順序自体を交換できる交換法則とは別です。群の定義では、交換法則は要求しません。

図形についての具体例を作ります。正方形全体をもとに重ねる平面の距離を保つ変換を集め、演算を合成にします。変換とは、ここでは平面の各点の移る先を決める規則です。この集まりには、中心のまわりの0°、90°、180°、270°の回転と、4本の対称の軸に関する折り返しがあります。0°回転は全点をそのままにする恒等変換で、合成の単位元になります。

これらを続けて行っても、正方形はもとに重なります。合成の結果は、この8個の操作のどれかです。90°回転の逆元は270°回転、折り返しの逆元は同じ軸での折り返しです。各操作に戻し方があり、合成は結合法則を満たすので、この集まりは群になります。「同じ形を保つ動かし方の集まり」が、計算できる対象になったのです。

群かどうかは、操作をいくつか集めただけでは決まりません。たとえば、正方形の90°回転だけを残すと、それを続けて行った180°回転が集まりの外に出てしまいます。必要な合成の結果や恒等変換、逆元まで含まれているかを調べることが、定義を使うということです。図形に親しみがあっても、定義の各条件を省かず照らし合わせます。

また、90°回転と0°回転は、正方形の輪郭だけを見れば同じ結果に見えますが、頂点の行き先が違うので別の変換です。「もとに重なる」は「すべての点がもとの位置に戻る」と同じ意味ではありません。前者では図形を作る点の集まりが保たれ、後者では各点が個別に固定されます。この違いによって、何も動かさない恒等変換を、他の対称操作から区別できます。

8個で全部だと言える理由も考えられます。正方形のある頂点の行き先は4通りで、その隣の頂点は、移った頂点に隣接する2頂点のどちらかへ移ります。この指定で残りの頂点の位置も決まるため、候補は4×2=8通りです。そして挙げた8個の操作が、その候補をすべて実現します。ただ数を覚えるのでなく、何を決めれば全体が決まるのかを見る数え方です。

空間へ進むと、正多面体の対称群を考えられます。正多面体は、面がすべて合同な正多角形で、各頂点に同じ数の面が集まる凸多面体です。対称性を調べるときは、回転だけを集めるか、鏡に映すような変換も含めるかを区別します。立方体なら、中心のまわりの回転だけでも群を作れます。

立方体の上の面の行き先は6通りあります。その行き先を決めた後、上の面に隣り合う前の面の行き先は4通りです。互いに直角な方向の移り方が決まれば回転が定まるので、恒等変換を含む回転は6×4=24個になります。正方形で頂点を追った方法が、立方体では面を追う方法へ広がったわけです。

ルービックキューブでは、キューブ全体の回転と、各層を回す操作を区別します。通常の操作で到達できる配置全体に対して、層を回す手順がどんな配置の変化を起こすかを考えます。どの出発配置に対しても同じ結果を与える手順は、同じ変換として扱います。その変換を集め、続けて実行することを演算にすると群ができます。手順を逆の順序で、各回転の向きも逆にすれば、取り消す手順になります。

ここでは、完成形などの「配置そのもの」と「配置を変える操作」を混同しないことが要点です。群の要素としているのは操作が与える変換です。こうした見方は情報分野でも、状態を変える手順を比較したり、長い手順を同じ働きの短い手順に置き換えたりする考え方につながります。数以外のものにも、計算の規則を見いだせるのです。

三つをつなぐ一本の線

中学から大学までを貫く問いは、「動かしても何が保たれ、どんな操作で戻れるか」です。中学では、対応する点や辺を見つけ、長さや角の大きさが等しいことを確かめます。高校では、その移動を座標の式で記述し、合成や逆向きの操作を計算します。大学では、対象の細かな形から離れて、操作と演算の規則を取り出します。

変わるのは、注目する対象の大きさです。点Aの行き先から始まり、図形全体の移り方へ進み、さらに移動の集まり全体を調べるようになります。正方形と立方体は違う図形ですが、恒等変換があり、合成ができ、逆の操作で戻れるという共通の仕組みを持っています。その仕組みを一度理解すれば、別の対象でも似た問いを立てられます。

同時に、何を保つのかを毎回明確にする必要があります。平面全体では、平行移動も回転も距離を保つ操作です。しかし、特定の正方形をもとに重ねる操作を集めるなら、右へずらす平行移動は入りません。群を考えるには、集める操作の範囲を決める必要があるのです。「合同な図形に移す」と「同じ位置の図形に重ねる」の違いを説明できれば、この先の抽象的な定義にも具体的な足場ができます。

つながりを使った学び方

学習の最初の手順は、図形の頂点に名前を付けることです。正方形の輪郭だけでは、回転しても見た目が変わらず、何が起きたかわかりにくくなります。頂点Aがどこへ行ったかを追えば、輪郭が同じでも操作は違うと確かめられます。色を使う場合も、図形を区別する条件としてではなく、点を追う目印として使いましょう。

次の手順では、移動の条件を文にします。「回す」なら中心、角度、向きまで、「折り返す」なら軸まで書きます。続いて同じ点に操作を続けて行い、途中の座標も残します。順序を交換して結果を比べるときは、出発点と個々の操作をそろえます。結果が違えば、その点だけでも2つの合成が異なる証拠になります。

さらに、元に戻す操作を考えます。たどった矢印を逆向きに追い、最後に行った操作から取り消していきます。最後に、数値を文字に置き換えて、どの点でも同じ説明が成り立つかを調べます。1つの点で結果が同じでも、平面全体で同じ変換とは限りません。個別の確認から一般的な説明へ進むことが、高校と大学への橋になります。

塾で担うのは、答えの座標だけでなく、操作の条件と途中の判断を聞き取ることです。符号の間違いでも、軸を取り違えたのか、回転の向きを取り違えたのかによって、確かめる図は変わります。生徒の説明と手元の図を照らし合わせ、必要なところまで戻ってから、文字を使った式へ進めます。

家庭では、お子さまが点の行き先を説明できる時間と紙を用意するだけでも、取り組みを支えられます。「どの点を追ったの」「逆に動かすならどこから」と尋ねると、途中の考えが言葉になります。用語を先に教え込むより、説明の中で決め忘れた条件を一緒に見つけると、次にノートへ書く内容がはっきりします。

よくある質問

線対称と点対称は、見た目で判断してよいですか

見た目は予想を立てる手がかりになります。その後、軸や中心を決めて、対応する点が条件を満たすか確かめましょう。複雑な輪郭なら、頂点だけでなく辺や曲線の部分も含めて、図形全体が重なる必要があります。目印の位置を少し動かしても説明が成り立つか考えると、見た目に頼っていた部分に気づけます。

群を学ぶ前に、回転の公式を覚えるべきですか

公式を使えると座標の計算は進みますが、まず操作を合成し、逆の操作で戻せる意味を押さえましょう。正方形を切った紙でも、恒等変換や逆元を確かめられます。三角関数を学んだら、紙で確かめた回転を式に移し、図と計算を結びつけてください。

パズルを速く解けないと群論は苦手になりますか

パズルを解く速さと、定義に沿って考えることは別々に取り組めます。短い手順を1つ選び、どの部分が動き、どうすれば元に戻るかを説明してみましょう。群論では、手順が表す変換を整理し、その共通の規則を調べることが出発点です。

対称性を学ぶと、同じに見える形の中に、違う動かし方が見えてきます。その違いを点の対応で説明する経験は、大学の定義を読むときにも役立ちます。武蔵境の武蔵野個別指導塾が目を向けるのは、回転後の答えを書くまでに、生徒がどの点を追い、どの向きに迷ったかという過程です。正方形の角を指さすその説明に、群論へ続く数学の出発点があります。