循環小数から極限、無限集合と濃度へ｜武蔵野個別指導塾

0.999…=1の理由を小数と分数から確かめ、極限を経て、無限にも異なる大きさがあることをたどります。終わらない計算をどう扱うか、今の疑問から数学の先へ進んでみませんか。

循環小数から極限、無限集合と濃度へ

終わらない小数の先に何があるのでしょう

よくあるのは、雨の日の塾の廊下で、ノートの「0.999…=1」を指して「最後まで9を書けないのに、どうして等しいと言えるのですか」と尋ねる場面です。0.9も0.99も1より小さいのですから、疑問を持つのは自然です。計算の規則を覚えるだけでは、この引っかかりは残ります。

この問いには、「途中まで書いた小数」と「無限に続く小数が表す数」を区別することが必要です。その区別を支えるのが、高校で学ぶ極限です。さらに大学では、終わらない数の集まりそのものを比べ、「どちらも無限なのに大きさが違う」という結論に出会います。

循環小数、極限、無限集合は、ばらばらな話題に見えるかもしれません。しかし、どれも目の前で最後まで確かめられない対象について、どのような規則なら確実に語れるかを考えています。途中の計算を丁寧にする力が、そのまま無限を扱うための足場になります。まずは割り算の余りから、話を始めましょう。

分数を割り続けると見えてくる規則

循環小数とは、小数点以下のある位置から、同じ数字の並びが繰り返され続ける小数です。たとえば1/3を小数で表すと0.333…となります。ここで「…」は、続きを適当に省略した印ではありません。3という同じ数字が、この先もずっと続くという規則を表しています。

分数と小数のつながりは、筆算の余りを見ると理解できます。分母が正の整数の分数を割り算するとき、各段階の余りは0以上で分母より小さい整数です。余りが0になれば、その小数は有限の桁で終わります。0にならず割り続ける場合には、余りの候補が有限個なので、いつか同じ余りが再び現れます。

同じ余りから次の桁を求める操作は同じです。したがって、その後の数字も同じ順番で繰り返されます。有限の桁で終わるか、どこかから循環するか。この二つに分かれる理由は、「分数だからそうなる」という暗記ではなく、余りの種類が限られることにあります。

もう一つ、1/6の筆算を考えてみましょう。最初の小数の桁は1で余りが4、次の桁は6で余りが4です。ここから余り4が繰り返されるので、1/6=0.1666…となります。小数点の直後から同じ数字が続く必要はありません。繰り返しが始まる位置を見つけることも、循環小数を読む練習です。

反対に、小数の形から分数を取り出す方法もあります。x=0.333…と置くと、10x=3.333…です。二つの式を引けば、小数部分が同じなので9x=3となり、x=1/3を得ます。この操作は、小数をそれが表す実数として扱った計算です。無限に続く表記が数を表す仕組みは、次の節で確かめます。

では0.999…はどうでしょう。同じようにx=0.999…と置けば、10x=9.999…です。引き算から9x=9となるので、x=1です。この答えを、書き方だけの手品と思わず受け止めるには、途中で止めた小数との差を見ると役立ちます。

1−0.9=0.1、1−0.99=0.01、1−0.999=0.001です。どの段階でも差は正ですが、桁を増やすと差はさらに小さくなります。0.999…には「最後の9」がありません。「最後の桁に小さな差が残る」と想像しても、その最後の桁自体を指定できないのです。

大切なのは、有限の桁で止めた数が1より小さいことを、そのまま無限小数の結論に持ち込まないことです。0.999…と1は、同じ実数の異なる表記です。分数1/2と小数0.5が同じ数を表すように、表記の違いと数の違いは分けて考えます。中学のうちは、まず分数を小数に直す過程と、各段階の差を自分の手で確かめてください。

高校では途中の値と極限を分けて考えます

高校で数列を学ぶと、途中の値に番号を付けられます。9を小数点以下にn個並べた数をaₙと書けば、a₁=0.9、a₂=0.99、a₃=0.999です。それぞれの数は有限の桁で終わり、一般にaₙ=1−1/(10のn乗)と表せます。番号nは正の整数で、いくらでも先へ進めます。

nを大きくすると、aₙは1に近づきます。数列の極限を表す記号ではaₙ→1と書きます。ここで0.999…という無限小数は、この数列の極限である実数を表します。したがって0.999…=1なのです。「限りなく近い」という動きの説明を、別の数が隣に残るという意味に読まないことが要点です。

実際、aₙと1との差は1/(10のn乗)です。差を0.001より小さくしたければ、nを4以上にすればよく、n=4で差は0.0001です。もっと厳しい基準を求められても、さらに桁を増やせます。しかも一度基準を満たすと、それ以後のすべての項で満たし続けます。この「どれほど小さな差を要求しても、その先をそろって収められる」という性質が、極限の考え方の核です。

無限回の足し算にも、同じ考え方を使います。無限等比級数とは、一定の比で変わる項を無限に足す形の式です。その和は、まず有限個の項の和を求め、その和の数列が収束するときの極限として定めます。無限個の足し算を一瞬で実行するという意味ではありません。

例として、1/2+1/4+1/8+…を考えます。最初のn項の和をSₙと呼ぶと、初めの和は1/2、3/4、7/8、15/16と変わります。Sₙを半分にして元の式から引くと、共通する項が消えるので、次の式を得ます。

Sₙ−Sₙ/2=1/2−1/(2の(n+1)乗)

これを整理するとSₙ=1−1/(2のn乗)です。右端の引く量が0へ近づくため、Sₙ→1です。そこで、この無限等比級数の和を1とします。各項は正でも、足す量が十分に小さくなることで、部分和が有限の値に収まる場合があるのです。

一般に初項a、公比rの等比数列について、r≠1なら最初のn項の和はa×(1−rのn乗)/(1−r)です。|r|<1、つまり公比の絶対値が1より小さいとき、rのn乗は0へ近づき、無限等比級数の和はa/(1−r)になります。0.999…も初項9/10、公比1/10の級数と見れば、和は(9/10)÷(1−1/10)=1です。

ただし、無限に続く式なら何でも和が定まるわけではありません。1+1+1+…の部分和は1、2、3、…と増え続け、有限の実数へ収束しません。1−1+1−1+…の部分和は1と0を交互に取り、やはり一つの実数へ収束しません。この通常の級数の意味では、後者にも和はありません。

計算する前に、何を並べた数列なのか、何を部分和とするのか、収束する条件は何かを押さえます。中学の割り算では繰り返す桁に注目しました。高校ではそれに加えて、有限の段階を並べたときの行き先を調べるようになります。

大学では無限の集まりの大きさを比べます

大学の解析学では、極限の「近づく」をさらに厳密にします。数列aₙが実数Lに収束するとは、どのような正の数εを与えても、ある正の整数Nを選べて、nがN以上なら常に|aₙ−L|<εとなることです。εは許す誤差を表します。Nはεに応じて選べますが、そのN以後のすべての項に不等式が必要です。

この定義なら、たまたまLに近い項が何度も現れるだけの数列と、Lに収束する数列を区別できます。先ほどの1と0を交互に取る数列では、0に近い項がいくらあっても、その間に1が現れ続けます。後ろの項をまとめて0の近くに収めることはできません。極限の定義は、日常語の曖昧さを取り除くためにあります。

一方、集合論では、数を近づける操作から離れ、要素の集まりそのものを調べます。集合とは、どの対象が属するかが定まっている集まりです。その要素の個数を一般化した概念を濃度と呼びます。二つの集合の濃度が等しいとは、一方の各要素と他方の各要素を、余りも重複もなく一対一に対応させられることです。

ここでは自然数を1、2、3、…とします。自然数全体と正の偶数全体を比べると、自然数nを偶数2nに対応させられます。異なる自然数は異なる偶数へ移り、どの正の偶数も誰かの相手になります。偶数は自然数の一部なのに、この二つの集合の濃度は等しいのです。有限集合で慣れた「一部なら必ず少ない」という感覚が、そのままでは通用しません。

自然数全体と一対一に対応できる無限集合を、可算無限集合と呼びます。有限集合も含めて可算集合と呼ぶ流儀があり、ここではその用語を使います。可算とは実際に数え終えられるという意味ではなく、すべての要素に漏れなく順番を付けられるという意味です。

有理数、つまり整数の比で表せる数も可算です。まず正の有理数p/qについて、pとqを正の整数として、p+qが小さい順に分数を並べます。同じ和を持つ組は有限個です。すでに出た数と等しい分数を飛ばせば重複も除けます。どのp/qも有限の段階で取り上げられるので、正の有理数を漏れなく並べられます。そこへ0を置き、正負を交互に入れれば、有理数全体にも順番が付きます。

ところが、実数全体は可算ではありません。カントールの対角線論法は、その違いを明らかにします。0より大きく1より小さい実数を、すべて番号順に並べられたと仮定しましょう。それぞれを小数で書き、二通りの小数表記があるときには、9がいつまでも続く方を避けます。有限小数は末尾に0を続けて書きます。

その一覧のn番目の数の、小数第n位を見ます。その数字が1なら新しい数の第n位を2にし、1以外なら1にします。この規則で作った無限小数をbとすると、bの各桁は1か2です。bは0と1の間の実数であり、9が続く表記の重複も生じません。

bは一覧の最初の数とは第1位で違い、次の数とは第2位で違います。一般に、一覧のn番目の数とは必ず第n位で違います。したがって、bは一覧のどこにもありません。「すべて並べた」という仮定に矛盾するため、その区間の実数を漏れなく並べることはできません。このように可算でない集合を非可算集合と呼びます。

この違いは情報の理論にもつながります。有限種類の文字で書いた有限長のプログラムは、長さの順に並べられるため可算です。一方、実数は非可算です。そのため、任意の精度を指定すればその誤差以内の有理数近似を出すプログラムで表せる実数だけでは、すべての実数を尽くせません。計算を速くする話とは別に、有限の手順で表現できる対象の範囲を問えるのです。

小数の桁、数列の項、集合の要素を区別します

三つの段階に共通するのは、最後まで書き出す代わりに、全体を支える規則を示す姿勢です。循環小数では、割り算の余りが繰り返されることを使いました。極限では、どれほど小さい誤差にも対応できることを使いました。濃度では、要素を一対一に対応させる規則や、どんな一覧にも漏れを作れる規則を使いました。

ただし、これらの無限を同じ意味で扱わないようにしましょう。一つの実数を表す小数には、桁の位置として自然数の番号が付きます。その実数の表記に桁が無限にあることと、実数の集まり全体が非可算であることは、別の主張です。

各小数の桁に番号を付けられるからといって、すべての実数にも番号を付けられるとは限りません。一本の小数の内部を調べることと、可能な小数すべてを一覧にすることでは、相手にしている対象が変わっています。対角線論法は、その違いをはっきり見せます。

また、数列が正の値を取り続けても、その極限が正とは限りません。0へ近づくことがあります。有限の段階で成り立つ性質を、極限にも移してよいかは、その都度調べる必要があります。「何を固定し、何を変え、どの全体について主張したか」と問い直す習慣が、中学の計算から大学の証明までつながります。

つながりを使った学び方

最初の手順は、疑問を具体的な計算へ戻すことです。循環小数で迷ったら、筆算に商だけでなく余りも書きます。同じ余りを見つけて印を付け、そこから同じ桁が続く理由を言葉にしてください。循環する数字を見抜く練習と、循環する理由を説明する練習を組み合わせます。

次に、途中で止めた値と目標の値を、別の欄に置きます。0.9、0.99、0.999について、隣に1との差を書きます。高校生なら、番号nを使った差の式まで進みます。「差が小さい」と言う前に、どれくらい小さくしたいかを決めると、極限の定義でεを先に与える意味にも近づけます。

三つ目は、条件を外した例と比べることです。和が収束する等比級数の隣に、公比が1の場合や−1の場合の部分和を書いてください。公式の分母だけを見るのではなく、部分和がどこへ動くかを追います。使える条件と、その条件が必要な理由を一組で残すと、公式の丸暗記から先へ進めます。

四つ目は、説明の対象を短い言葉で添えることです。「有限の桁の小数」「部分和の数列」「実数全体の集合」と書き分けます。大学の話を読んだあとは、自然数と偶数の対応を自分で説明してみましょう。対角線論法では、作った数がなぜ一覧のどの行とも違うのかを、任意のn番目の行について言えるか確かめます。

塾で扱うのは、答えだけでは見えにくい説明のつなぎ目です。「全部の項が1より小さい」という正しい観察から、どの結論へ進んだのかをノート上でたどります。講師は途中の小数と極限を指し分け、どの行で対象が切り替わったのかを生徒と確かめます。つまずいた位置に応じて、筆算へ戻るか、不等式へ進むかを選べます。

家庭では、お子さまの疑問を急いで解消するより、どの部分が納得できないのかを話せる時間が支えになります。「この小数はどこまで書いた数なの」と尋ね、本人が指す箇所を待ってください。説明が止まった箇所をノートに残しておけば、次の授業で確かめる問いになります。

よくある質問

Q. 0.999…=1なら、0.999も1としてよいですか。

A. 0.999は有限小数で、1との差は0.001です。0.999…は9がどこまでも続く表記で、その値は1です。末尾の「…」の有無で意味が変わります。近似計算で丸める場合にも、等号で同じ数を表すことと、丸めて近い値を使うことを区別しましょう。

Q. ∞を、とても大きな数として計算してもよいですか。

A. 通常の実数の計算では、∞は実数ではありません。数列について「∞へ発散する」と言う場合は、どんな実数の基準を与えても、十分先の項がすべてその基準を超えるという意味です。∞を普通の数のように代入して引き算すると、極限の違いを見落とす原因になります。

Q. 有理数が数直線上にたくさんあるのに、可算なのはなぜですか。

A. 異なる二つの実数の間には必ず有理数がありますが、その隙間への入り方と、集合の濃度は別の性質です。有理数は整数の組から順に並べられます。近くにいくらでも見つかることだけでは、非可算とは言えません。

「最後がないのに、なぜ結論を出せるのか」という疑問は、数学の先へ進む入口です。桁を書き足す手を少し止めて、何を数と呼び、何を近づくと呼び、何を同じ大きさと呼ぶのかを確かめると、見えていた景色が変わります。雨の日に指したノートの等号も、次は自分の言葉で説明できるかもしれません。武蔵野個別指導塾の授業の出発点には、等号の前で立ち止まった生徒の問いがあります。