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【数学III】微分法の応用を図解で総まとめ—接線・平均値の定理・増減・凹凸・最大最小・速度と近似｜武蔵野個別指導塾
対数関数の接線、分数関数の最小値、3次方程式の実数解の個数を図と例題で確かめ、凹凸・変曲点から速度や近似式まで、導関数を使って判断する手順を身につけましょう。
よくあるのは、塾の自習室の白板の前で導関数の計算を書き終えたのに、「グラフの概形をかけ」という問いでマーカーを持つ手が止まるという場面です。f′(x)=0 の解は出ました。それでも、白板に描いた座標軸のどこに山や谷を置くのか、曲線をどちらに曲げるのか、端のほうをどう伸ばすのかが決まりません。微分法の応用では、計算した式を、グラフや数量の変化についての判断に変える必要があります。
この単元で使う道具は、接線の傾き、導関数の符号、第2次導関数の符号、そして極限です。すべてを一度に調べるのではなく、「何を知りたいので、何を計算するのか」を対応させます。傾きなら f′、曲がり方なら f″、遠くでの振る舞いなら極限というように役割を分けると、見通しが立ちます。
グラフの形が読めるようになると、最大・最小や方程式の実数解の個数も同じ情報から判断できます。さらに、動く物体の速度と加速度、複雑な値を身近な値から見積もる近似式へと、微分の使い道が広がります。
この単元で身につけること
- 接線と法線の方程式を求めます。接点の座標と傾きを別々に確かめ、傾きが 0 の場合も扱います。
- 平均値の定理の条件と結論を区別します。区間全体の平均変化率と、途中の一点での微分係数をつなぎます。
- 増減・極値と凹凸・変曲点を読み取ります。f′ と f″ が調べている対象の違いを説明できるようにします。
- 極限と漸近線を使ってグラフを完成させます。定義域の切れ目や無限遠での様子まで確かめます。
- 最大・最小と実数解の個数を判断します。端点の比較や単調性を使い、候補を出しただけで結論にしない習慣をつけます。
- 速度・加速度と近似式を扱います。微分係数の符号を運動の向きに、接線の式を値の見積もりに読み替えます。
数学IIで学んだ増減表と極値に、いろいろな関数の微分と極限を組み合わせるのが、この単元の出発点です。公式を追加するだけではなく、以前の増減表にどの情報を補えば問いに答えられるかを考えます。三角関数を微分するときの角は弧度法、対数の log x は特に断らない限り自然対数として扱います。
基本の考え方
接線・法線と平均値の定理
曲線 y=f(x) 上の点 (a, f(a)) において、微分係数 f′(a) は接線の傾きです。したがって接線の方程式は y-f(a)=f′(a)(x-a) です。「傾きがわかれば式が書ける」と急がず、まず接点を計算します。接線には曲線上のその点を通るという条件も必要だからです。
法線は、接点を通り、その点での接線に垂直な直線です。f′(a)≠0 なら、法線の傾きは -1/f′(a) なので、y-f(a)=(-1/f′(a))(x-a) となります。有限の傾きをもつ2直線が垂直なら、傾きの積が -1 になることを使っています。f′(a)=0 のときは接線が水平なので、法線は垂直な直線 x=a です。0 の逆数を計算する必要はありません。
図1のように、y=x² の点 (1,1) では接線が y=2x-1、法線が y=-(x-1)/2+1 です。接線が右上がりでも、曲線と接線がいつも一点だけで交わるとは限りません。接線は「交点が一つの直線」ではなく、その点での微分係数に対応する直線だと捉えます。
図1の緑の直線は (0,0) と (2,4) を通る割線で、傾きは (4-0)/(2-0)=2 です。一方、その間の x=1 での接線の傾きも 2 です。このように、区間全体で見た平均の傾きと同じ傾きが、途中に現れることを保証するのが平均値の定理です。
正確には、f が閉区間 [a,b] で連続で、開区間 (a,b) で微分可能なら、a<c<b を満たすある c が存在し、f′(c)=(f(b)-f(a))/(b-a) となります。ただし a<b です。連続性は端点も含めて確認し、微分可能性は区間の内部で確認します。c は端点ではなく内部の点であり、いつも中央にあるわけでも、一つだけとは限りません。
条件を省けない理由も確かめましょう。f(x)=|x| を [-1,1] で見ると、平均変化率は 0 ですが、x≠0 での微分係数は -1 または 1 です。x=0 では微分できないため、この区間に平均値の定理は適用できません。「両端の高さが同じなら必ず傾きが 0 の点がある」と、条件なしに言ってはいけないのです。
平均値の定理は増減の根拠にもなります。ある区間で f′(x)>0 なら、その区間の任意の2点 u<v に対して f(v)-f(u)=f′(c)(v-u)>0 となるため、f は単調に増加します。同様に f′(x)<0 なら単調に減少します。増減表の符号と矢印の対応には、この理由があります。
増減と凹凸は違う情報です
f′(x) の符号は、x が増えるときに関数の値が増えるか減るかを表します。f′ の符号が正から負へ変わる点では極大、負から正へ変わる点では極小になります。微分可能な関数が区間内部で極値をとるなら f′(a)=0 ですが、その逆はいつも成り立つわけではありません。y=x³ は x=0 で導関数が 0 になっても、その前後で増加を続けます。
第2次導関数 f″(x) は、導関数 f′(x) の変化を表します。f″(x)>0 の区間では傾きが増加するため、グラフは下に凸です。f″(x)<0 の区間では傾きが減少するため、上に凸です。下に凸の代表は y=x²、上に凸の代表は y=-x² です。「グラフが上に進むから上に凸」と判断せず、傾きの変わり方を見ます。
たとえば y=x² の x<0 の部分は、右へ進むほど値が減る一方で、傾きは大きな負の値から 0 に近づきます。この部分は減少しながら下に凸です。増加・減少と上に凸・下に凸は別々に決まるので、必要なら増減表に f′ と f″ の2行を設けます。
グラフ上で凹凸が切り替わる点を変曲点といいます。f″(a)=0 の解を求めたあと、前後で f″ の符号が変わるかを確認するのが基本です。f″ が存在しない点も候補になる場合がありますが、少なくともその点はグラフ上になければなりません。式の分母が 0 になる場所を、機械的に変曲点と呼ばないようにしましょう。
また、f′(a)=0 で f″(a)>0 なら極小、f″(a)<0 なら極大と判定できますが、f″(a)=0 ではこの判定法だけでは決まりません。その場合は f′ の前後の符号に戻ればよいのです。判定法の結論が出ないことと、極値がないことは別です。
極限、漸近線、近似式で端と近くを見る
グラフをかく前には、定義域を最初に確かめます。log x なら x>0、1/x なら x≠0 です。そのうえで、定義域の境界へ近づけたときと、x を正負に大きくしたときの極限を調べます。途中の山や谷だけでは、グラフの全体像は決まりません。
x が a に片側から近づくとき f(x) が正または負の無限大へ発散すれば、x=a は垂直な漸近線です。x→∞ または x→-∞ で f(x)→b なら、y=b は水平な漸近線です。また f(x)-(mx+n)→0 なら、y=mx+n がその方向での漸近線になります。傾きのある漸近線では、関数の値自体でなく、直線との差を調べることが肝心です。
「分母が 0 なら必ず垂直な漸近線」とは限りません。たとえば (x²-1)/(x-1) は x≠1 で x+1 に等しく、x→1 での極限は 2 です。x=1 には点が抜けますが、無限大へ発散しないので垂直な漸近線にはなりません。定義されないことと、発散することを分けて考えます。
遠くを見る極限に対し、接線を使う近似式は一点の近くを見ます。h が 0 に近いとき、f(a+h)≈f(a)+f′(a)h と見積もります。これは、曲線の値を接線の値で置き換える一次近似です。≈ は近似であって等号ではなく、h が小さいほど通常はよい見積もりになります。必要な精度まで保証したいときは、誤差を別に評価する必要があります。
凹凸は見積もりの方向にも役立ちます。ある区間で下に凸のグラフはその区間内の接線の上側にあり、上に凸なら下側にあります。近似値が実際の値より大きいか小さいかを考えるとき、f″ の符号を添えると、単なる数値計算から一歩進んだ判断ができます。
例題で解き方を確かめる
例題1 対数関数の接線・法線と近似
y=log x の x=1 における接線と法線を求め、log 1.02 を一次近似で見積もります。さらに、その見積もりが実際の値より大きいか小さいかを考えます。自然対数なので log 1=0 を出発点にできます。
- 接点を求めます。f(1)=0 より (1,0) です。直線の式には通る点が必要なので、微分の計算と分けて記録します。
- 接線の傾きを求めます。f′(x)=1/x なので f′(1)=1 です。したがって接線は y-0=1×(x-1)、すなわち y=x-1 です。
- 法線の傾きを求めます。接線の傾きが 1 なので、法線の傾きは -1 です。同じ接点を通ることから、法線は y=-x+1 です。
- a=1、h=0.02 として近似式を使います。log 1.02≈log 1+1×0.02=0.02 となります。1.02 をそのまま h と置かず、基準の 1 からの差を使います。
- 凹凸を確認します。f″(x)=-1/x²<0 なので、x>0 で上に凸です。接線は曲線の上側にあるため、0.02 は実際の値より大きい見積もりです。実際の値は約 0.019803 です。
答え：接線 y=x-1、法線 y=-x+1、log 1.02≈0.02 で、近似値は実際の値より大きいです。
接線と近似式は、別の公式を暗記した結果ではありません。接線の式に x=1.02 を代入した値が、そのまま近似値になっています。グラフ上の位置と計算式が結びつくところです。
例題2 分数関数の最小値と漸近線
x>0 において f(x)=x+1/x の増減と凹凸を調べ、最小値と漸近線を求めます。図2のように、曲線は左側で急に高くなり、一度下がってから再び上がります。見た目を根拠にせず、微分と極限でその形を確かめます。
- 導関数を因数分解します。f′(x)=1-1/x²=(x-1)(x+1)/x² です。x>0 では x+1 と x² が正なので、符号は x-1 だけで決まります。
- 増減を判定します。0<x<1 で f′<0、x>1 で f′>0 です。したがって x=1 で減少から増加へ変わり、f(1)=2 が最小値です。指定された定義域全体で比較できているため、極小値というだけでなく最小値と結論できます。
- 凹凸を調べます。f″(x)=2/x³>0 なので、定義域全体で下に凸です。符号が切り替わる場所はなく、変曲点はありません。
- 境界の極限を求めます。x→0+ で 1/x→∞ なので f(x)→∞ です。したがって x=0 が垂直な漸近線です。ここでは x>0 の範囲から近づくことを示す 0+ を用います。
- 無限遠を調べます。x→∞ で f(x)-x=1/x→0 なので y=x が漸近線です。ただし 1/x>0 なので、曲線はこの直線の上側から近づきます。f(x) 自体は無限大へ発散するため、最大値はありません。
答え：x=1 で最小値 2、最大値なし、全体で下に凸、漸近線は x=0 と y=x です。
図2では、点 (1,2) を過ぎてからも、曲線は下に凸のまま増加しています。「増加に転じる点」と「凹凸が変わる点」が違うことを、この曲線でも確かめられます。縦軸そのものが漸近線 x=0 を表しており、曲線がその軸に達する点はありません。
なお、定義域が x≠0 なら負の側も別に調べる必要があります。今回の x>0 という条件が、負の側の極値を調べなくてよい理由です。計算した式が同じでも、与えられた定義域によって答えは変わります。
例題3 極値、最大・最小、実数解の個数
f(x)=x³-3x について、極値と変曲点、閉区間 [-2,3] での最大値・最小値を求めます。さらに、実数 k に対して方程式 x³-3x=k の異なる実数解の個数を調べます。一つの増減表から、局所的な形、区間全体の比較、水平線との交点を順に読み取る問題です。
- 導関数を計算します。f′(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1) なので、x<-1 で正、-1<x<1 で負、x>1 で正です。よって x=-1 で極大値 f(-1)=2、x=1 で極小値 f(1)=-2 となります。
- 第2次導関数を調べます。f″(x)=6x より、x<0 で上に凸、x>0 で下に凸です。x=0 の前後で符号が変わり f(0)=0 なので、変曲点は (0,0) です。変曲点の答えには x 座標だけでなく点の座標を書きます。
- 閉区間の端点と極値をとる点を比べます。f(-2)=-2、f(-1)=2、f(1)=-2、f(3)=18 です。連続な関数を閉区間で考えているので最大・最小は存在し、この候補の比較から最大値は 18、最小値は -2 と決まります。最小値をとる x は -2 と 1 の2個あります。
- 定義域を実数全体に戻して、y=k との交点を考えます。左の増加部分は負の無限大から 2 まで、中央の減少部分は 2 から -2 まで、右の増加部分は -2 から正の無限大まで進みます。各部分で単調なので、同じ高さとの交点は各部分に高々一つです。
- k と極値の大小で場合分けします。-2<k<2 では各部分に一つずつ、合計3個です。k=2 または k=-2 では山や谷の点を重複して数えないので2個です。k>2 または k<-2 では1個です。
答え：極大値 2、極小値 -2、変曲点 (0,0)、[-2,3] の最大値 18、最小値 -2、異なる実数解は |k|<2 で3個、|k|=2 で2個、|k|>2 で1個です。
実数解の個数は、曲線の形だけでなく連続性と単調性に支えられています。高さをまたげば連続性により交点が存在し、単調ならその部分での交点は一つに決まります。k=2 では x³-3x-2=(x-2)(x+1)² となり、解 x=-1 は重解ですが、異なる解としては一つです。
例題4 速度・加速度と速さ
数直線上を動く点の時刻 t における位置を s(t)=t³-3t² とします。位置の単位は m、時刻の単位は秒とし、0≦t≦3 で考えます。運動の向き、t=1 での速度・速さ・加速度、全体の移動距離を求めましょう。
- 位置を微分して速度を求めます。v(t)=s′(t)=3t²-6t=3t(t-2) です。0<t<2 で負、2<t≦3 で正なので、点は負の向きに進んだあと、t=2 で正の向きに折り返します。t=0 も速度は 0 ですが、観察区間の始まりなので、この区間内での折り返しとは区別します。
- 速度を微分して加速度を求めます。a(t)=v′(t)=6t-6 です。t=1 では v(1)=-3 m/s、速さ |v(1)|=3 m/s、a(1)=0 m/s² となります。速度には向きが含まれ、速さには向きが含まれません。
- 折り返しで区間を分けて位置を求めます。s(0)=0、s(2)=-4、s(3)=0 です。0 から -4 へ 4 m、-4 から 0 へ 4 m 進むため、移動距離は 8 m です。
- 始点から終点への変位と比べます。s(3)-s(0)=0 m であっても、途中で往復しているので移動距離は 0 m ではありません。移動距離では各区間の位置の差の絶対値を加えます。
答え：0<t<2 で負の向き、2<t≦3 で正の向き、t=1 の速度 -3 m/s・速さ 3 m/s・加速度 0 m/s²、移動距離 8 m です。
加速度が正なら必ず速くなる、というわけでもありません。この例の 1<t<2 では v<0、a>0 なので、負の速度が 0 に近づき、速さは減少します。v と a がともに 0 でない範囲では、両者の符号が同じなら速さが増え、異なれば速さが減ります。
つまずきやすいところと直し方
誤り1 導関数が 0 なら極値と決める
誤った書き方は「f′(0)=0 だから x=0 で極値をとる」です。どこが違うかというと、傾きが一瞬 0 になることと、その前後で増加・減少が切り替わることを同じにしています。y=x³ では f′(x)=3x² なので、x=0 の両側で正です。
正しい書き方は「f′(0)=0 だが、前後で f′ の符号が正のままなので極値をとらない」です。同じ注意は f″(a)=0 にも必要です。y=x⁴ では f″(x)=12x² で、0 の両側とも正ですから、原点は変曲点ではありません。まず候補を求め、その後に符号の変化で判定する二段階を守ります。
誤り2 極大値をそのまま最大値にする
誤った書き方は「例題3の極大値は 2 だから、[-2,3] での最大値は 2」です。どこが違うかというと、近くの点との比較である極大と、区間全体との比較である最大を取り違えています。f(3)=18 は極大値 2 より大きく、端点の比較が欠けています。
正しい書き方は「端点と区間内部の極値をとる点での値を比較して、x=3 で最大値 18」です。図3のように、山の点 (-1,2) を過ぎても、右側の枝は再び高くなります。図は主要部分を示しており、x=3 の点は描画範囲の外ですが、その値は式への代入で確定できます。
図3の緑の水平線 y=2 は、極大点で接するほか、x=2 でも曲線と交わります。接している点を二つの交点と数えることも誤りです。異なる実数解の個数を問われたときは、横軸上の異なる位置がいくつあるかを数えます。
なお、開区間では端に近づくほど値が大きくなっても、その値を実際にとらないことがあります。候補の比較以前に、端点が定義域に含まれるか、最大・最小が存在するかを確認します。「最大値なし」と「上限の候補を求めていない」は違います。
誤り3 極限や近似を等式に置き換える
誤った書き方は「x が十分大きければ x+1/x=x」や「log 1.02=0.02」です。どこが違うかというと、差が小さくなることを、差が 0 であることに置き換えています。どんな有限の正の x でも 1/x は正ですし、log 1.02 と 0.02 の間にも差があります。
正しい書き方は「x→∞ で (x+1/x)-x→0」、および「log 1.02≈0.02」です。漸近線も近似式も、差を意識して使います。そもそも漸近線は絶対に交わってはいけない直線ではありません。遠くで直線との差が 0 に近づくことが、斜めや水平な漸近線を調べる基準です。
練習問題
解く前に、それぞれの問いで必要なものを「f′」「f″」「極限」「端点の値」から選んでみましょう。すべてを毎回計算するのではなく、結論を支える情報をそろえる練習です。答えと解説を見るときも、数値だけでなく判定の理由まで照合してください。
練習1
y=√x の x=4 における接線と法線を求めてください。また、一次近似で √4.08 を見積もり、その近似値が実際の値より大きいか小さいかを答えてください。
練習2
f(x)=x³ に平均値の定理を区間 [1,2] で適用します。定理の条件を確かめ、f′(c)=(f(2)-f(1))/(2-1) を満たす c をすべて求めてください。ただし 1<c<2 とします。
練習3
f(x)=x³-3x の閉区間 [-2,2] における最大値と最小値、それぞれをとる x を求めてください。また、方程式 x³-3x=2 の異なる実数解を求めてください。方程式の定義域は実数全体です。
練習4
0≦t≦2 における位置が s(t)=t³-3t と表される点を考えます。位置の単位は m、時刻の単位は秒です。t=0.5 の速度・速さ・加速度と、0≦t≦2 の移動距離を求めてください。
答えと解説
練習1の答えは、接線 y-2=(x-4)/4、法線 y-2=-4(x-4)、√4.08≈2.02 です。f′(x)=1/(2√x) より傾きは 1/4 です。h=0.08 を使い、2+(1/4)×0.08=2.02 と計算します。f″(x)=-1/(4x√x)<0 なので上に凸であり、近似値は実際の値より大きいです。実際の値は約 2.019901 です。
練習2の答えは c=√(7/3) です。多項式なので [1,2] で連続、(1,2) で微分可能です。平均変化率は (8-1)/(2-1)=7、f′(c)=3c² なので c²=7/3 です。方程式だけなら正負の候補が出ますが、1<c<2 の条件から正の解だけを採用します。中央の 1.5 に決めつけないことも確認しましょう。
練習3の答えは、最大値 2 を x=-1,2 でとり、最小値 -2 を x=-2,1 でとる、です。端点と極値をとる点の4か所を比較します。方程式は (x-2)(x+1)²=0 と因数分解でき、異なる実数解は x=-1,2 の2個です。最大値をとる点も、最小値をとる点も一つとは限りません。
練習4の答えは、速度 -2.25 m/s、速さ 2.25 m/s、加速度 3 m/s²、移動距離 6 m です。v(t)=3t²-3、a(t)=6t なので、t=0.5 を代入します。v は t=1 の前後で負から正に変わり、s(0)=0、s(1)=-2、s(2)=2 です。移動距離は |-2-0|+|2-(-2)|=2+4=6 m で、変位 2 m とは異なります。
次の単元へのつながりと家庭での確かめ方
積分法の応用では、速度から位置の変化を求めたり、曲線で囲まれた面積を求めたりします。その前に、どの区間で速度が正か負か、どこで2曲線の上下関係が変わるかを判断する場面があります。ここで身につけた増減と交点の調べ方が、積分する区間を正しく分ける力になります。
家庭での確認は、次の二つをそれぞれ5分で試せます。一つ目は y=x³-3x の式だけを見て、f′ と f″ の符号表を書き、極値をとる点と変曲点を別の印で示す方法です。二つ目は √4.08 の一次近似を接線の式から出し、電卓の値と比べて差の向きを説明する方法です。計算が合うことに加え、なぜその結論になるかを一文で言えるか確かめます。
個別指導では、符号表が止まるなら因数分解と不等式まで、接線の式が止まるなら一点と傾きから直線を求めるところまで戻って確かめます。お子さまの答案を家庭で見る場合も、最終的なグラフの見栄えより、符号から矢印へ進む一行に注目すると、迷っている場所を見つけやすくなります。
まとめ
微分の応用で答案に残したいのは、計算式と結論の間にある理由です。「f′ が負から正へ変わるので極小」「端点も比べたので最小」「差が 0 に近づくので漸近線」という一行が、描いた曲線や選んだ数値を支えます。うまく描けないときも、点を増やす前に、その一行が抜けていないか見直せます。
極値の候補に丸を付けたところから、値の比較や符号の確認へ進むと、導関数が問いへの答えに変わります。山の高さだけでは最大値は決まらず、端点まで比べて初めて区間全体の結論になります。
- 前の単元: 【数学III】いろいろな関数の微分を図解で総まとめ—積・商・合成関数・三角・指数・対数・媒介変数
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- 数学I〜C 全31単元の解説一覧へ
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