【数学II】図形と方程式（点と直線）を図解で総まとめ—内分点・直線の方程式・2直線の関係・距離｜武蔵野個別指導塾

内分点・外分点から直線の平行と垂直、点と直線の距離、対称点までを3枚の座標図で整理し、4つの例題と練習問題で式を立てる理由を確かめられます。

よくあるのは、家の食卓のテーブルに宿題を広げ、「点から直線までの距離」を求める問題で、定規を当てて直線上の適当な点へ線を引いてしまうという場面です。ノートと解答を並べて見比べても、2点間の距離の公式は合っているのに答えが一致しません。定規を別の向きに当てれば、違う長さの線分が引けます。原因は計算ではなく、どの線分の長さを求めるのかが決まっていないことにあります。

数学IIの図形と方程式では、図形の位置や関係を座標と式で表します。「途中にある」は内分、「同じ向き」は平行、「直角に交わる」は垂直という条件に読み替えます。式を先に探すより、求める点や線がどんな条件を満たすかを整理すると、使う公式が自然に絞れます。

点と直線の学習で目指すのは、公式を当てはめるだけでなく、計算した結果が図形の条件に戻ることを確かめられる状態です。内分点なら線分の内側か、直線なら指定された点を通るか、対称点なら中点が対称の軸上にあるかを調べます。その往復を、具体的な座標で練習していきましょう。

この単元で身につけること

• 2点間の距離を求めます。横と縦の移動量を直角三角形の2辺と考え、三平方の定理を座標の式に直します。
• 内分点・外分点・重心の座標を求めます。比の順序と点の並びを確認し、どの座標にどの数を掛けるかを説明できるようにします。
• 条件に合う直線の方程式を作ります。1点と傾き、異なる2点、一般形という表し方を使い分け、縦の直線にも対応します。
• 2直線の位置関係を調べます。平行と一致を分けて考え、垂直条件が使える場合と、座標軸に平行な場合を区別します。
• 点と直線の距離や対称点を求めます。垂線の足を手がかりに、最短距離と線対称を同じ図の中で捉えます。

中学校で学んだ1次関数と三平方の定理が土台になり、数学Iで扱った平方根の計算や連立方程式も使います。新しい記号が増えて見えても、中心にあるのは「点の座標を代入する」「2つの条件を連立する」という既習の操作です。図で条件を決めてから計算に入る順序を保ちましょう。

基本の考え方

距離・内分・外分を座標の変化で考える

数直線上の2点の座標をa、bとすると、距離は |b-a| です。引き算の結果が負でも、距離そのものは負になりません。座標平面上では、A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)の横の差が x₂-x₁、縦の差が y₂-y₁ です。横と縦に補助線を引けば直角三角形ができるため、AB=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²) となります。根号は2つの平方の和全体に掛かります。

地図の上で東西方向と南北方向の隔たりがわかれば、まっすぐ結んだ距離を求められるのと同じ考え方です。ただし、横の差と縦の差を足したものは折れ曲がった道のりです。直線距離を求めるときは、それぞれを2乗してから足し、最後に平方根を取ります。AとBの順を逆にしても、2乗によって同じ値になることも確認できます。

線分ABの内部にあり、AP:PB=m:n を満たす点Pを、ABを m:n に内分する点といいます。ここではm、nを正の数とします。AからBまでの全体をm+n等分し、そのうちm個分進むので、横座標は x₁+m(x₂-x₁)/(m+n) です。整理すると、内分点は P((nx₁+mx₂)/(m+n), (ny₁+my₂)/(m+n)) となります。

Aの座標にn、Bの座標にmを掛けるのは、暗記の都合ではありません。PがAに近いときにはAの座標の影響が大きくなるからです。たとえば AP:PB=1:2 なら、Aから全体の1/3だけ進みます。座標をAとBの単純な平均にするのは、AP:PB=1:1 の中点の場合だけです。中点Mは M((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) と表せます。

図1のように、A(0,0)、B(6,3)の間を1:2に内分するPは(2,1)です。一方、A、Bを結ぶ直線上で線分の外側にあり、AQ:QB=m:n を満たすQを外分点といいます。外分点の公式は Q((mx₂-nx₁)/(m-n), (my₂-ny₁)/(m-n)) で、m≠nが必要です。図1のQ(12,6)は2:1の外分点で、A、B、Qの順に並びます。

外分では、m>nならB側の延長上、m<nならA側の延長上になります。m<nのときは分母が負になりますが、座標が計算できないわけではありません。線分の外側でAとBからの距離が等しくなる有限の点はないため、m=nの外分点は存在しません。公式の分母が0になることと、図の位置関係が一致しています。

三角形ABCの重心Gは、3本の中線が交わる点です。中線とは頂点と対辺の中点を結ぶ線分で、重心は各中線を頂点側から2:1に内分します。C(x₃,y₃)とすれば、G((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3) です。たとえばBCの中点をMとし、AG:GM=2:1の内分公式を使うと、この式が導けます。3頂点の横座標どうし、縦座標どうしを平均するのであって、距離の平均を取るわけではありません。

直線の方程式は、その上の点が満たす条件

直線の方程式とは、その直線上の点(x,y)が満たす等式です。傾きaの直線が点(x₀,y₀)を通るなら、y-y₀=a(x-x₀) と表せます。横に x-x₀ だけ動くと、縦にそのa倍だけ動くという関係です。式の形を覚えるときも、x=x₀、y=y₀を代入すれば両辺が0になると確かめておきましょう。

異なる2点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)を通り、x₁≠x₂なら、傾きは (y₂-y₁)/(x₂-x₁) です。これを1点と傾きの形に入れて、y-y₁=((y₂-y₁)/(x₂-x₁))(x-x₁) とします。分子だけ点の順を逆にすると符号を誤るので、分子と分母は同じ順に引きます。求めたあとには両方の点の座標を代入します。片方だけの確認では、傾きの誤りを見逃すことがあります。

x₁=x₂なら、2点を通る直線は縦の直線 x=x₁ です。この場合、傾きの計算では0で割ることになるため、y=ax+bの形にはできません。逆に、横の直線は y=y₁ と書けて、傾きは0です。「傾きがない」という曖昧な言葉で両者をまとめず、縦は傾きが定義されない、横は傾き0と区別しましょう。

縦の直線も含めて表すには ax+by+c=0 という一般形が便利です。a、bが同時に0でないことが直線になる条件です。b≠0なら y=-(a/b)x-c/b と変形でき、傾きは -a/b です。b=0なら x=-c/a の縦の直線になります。また、式全体を0でない同じ数で掛けても表す直線は変わりません。x+y-3=0 と 2x+2y-6=0 は同じ直線です。

平行・垂直と最短距離をつなぐ

傾きが定義される2直線 y=m₁x+n₁、y=m₂x+n₂ について、m₁=m₂で切片が異なれば平行です。傾きも切片も等しければ一致します。傾きが違えば連立方程式の解が1組あり、その解が交点の座標になります。交点は両方の直線上にあるので、2本の式を同時に満たすというわけです。

傾きが定義される2直線が垂直なら、m₁m₂=-1が成り立ちます。たとえば傾き2に垂直な傾きは -1/2 です。傾きの符号を変えるだけでは直角になりません。直線に沿った横・縦の移動を90°回すと、移動量が入れ替わり、一方の符号が変わるので、負の逆数が現れます。縦の直線と横の直線は、傾きの積を計算せずに垂直と判断します。

一般形の2直線 a₁x+b₁y+c₁=0、a₂x+b₂y+c₂=0 なら、a₁b₂-a₂b₁=0が平行または一致の条件で、a₁a₂+b₁b₂=0が垂直の条件です。どちらの式も、各直線のx、yの係数が同時に0でないことが前提です。平行または一致とわかったら、一方の直線上の点を他方に代入すると区別できます。共通点があれば一致し、なければ異なる平行線です。

点P(x₀,y₀)から直線 ax+by+c=0 までの距離dは、d=|ax₀+by₀+c|/√(a²+b²) です。この距離は、Pから直線へ下ろした垂線の足をHとしたときのPHです。直線上の別の点Rを選ぶと、直角三角形PHRで PR²=PH²+HR² となるので、PR≧PHです。したがって、最短距離を測るには垂直な線分を選びます。

この公式の分母にも意味があります。垂線の方向の横と縦の変化をa、bの比で表し、H=(x₀-ta,y₀-tb) と置きます。Hが直線上にある条件から ax₀+by₀+c-t(a²+b²)=0 となり、t=(ax₀+by₀+c)/(a²+b²) です。2点間の距離でPHを求めると |t|√(a²+b²) となり、上の距離公式が得られます。直線の傾きが -a/b、垂線の方向の傾きが b/a であることが、この置き方の根拠です。aまたはbが0の場合も、横または縦の垂線として同じ式が使えます。

例題で解き方を確かめる

例題1　距離・分点・重心をまとめて求める

A(0,0)、B(6,3)、C(0,6)について、ABの長さ、ABを1:2に内分する点P、2:1に外分する点Q、三角形ABCの重心Gを求めます。図1のA、P、B、Qと対応させると、分点の位置を計算前に予想できます。

1. ABの横の差6、縦の差3を使います。距離なので三平方の定理から AB=√(6²+3²)=√45=3√5 です。6+3=9は横と縦に進んだ道のりであり、求める長さではありません。
2. 内分点はAからBへ全体の1/3進む点です。P=((2×0+1×6)/3, (2×0+1×3)/3)=(2,1) となります。各座標がAとBの対応する座標の間にあることを確かめます。
3. 外分点には差の分母を使います。Q=((2×6-1×0)/(2-1), (2×3-1×0)/(2-1))=(12,6) です。QはB側の延長上にあり、AQ=6√5、QB=3√5なので、指定の2:1を満たします。
4. 重心には3頂点の座標の平均を使います。G=((0+6+0)/3, (0+3+6)/3)=(2,3) です。BCの中点Mは(3,9/2)で、AからMへ2/3進むと(2,3)になり、AG:GM=2:1も確かめられます。

答え：AB=3√5、P(2,1)、Q(12,6)、G(2,3)です。

例題2　2点を通る直線と平行線・垂線

A(1,2)、B(5,4)を通る直線l、lに平行でD(0,-1)を通る直線p、lに垂直でC(3,0)を通る直線qを求めます。さらに、lとqの交点も求めます。複数の直線を扱うときは、まず基準となるlの傾きを決めると整理できます。

1. lの傾きは (4-2)/(5-1)=1/2 です。点Aを使って y-2=(1/2)(x-1) と置くと、lは y=x/2+3/2 となります。x=5を入れるとy=4なので、Bも通ります。
2. pはlに平行なので、傾きは同じ1/2です。Dを通る条件を y-(-1)=(1/2)(x-0) に入れ、pは y=x/2-1 です。切片がlと異なるので、2本は一致せず平行です。
3. qの傾きをkとすると、(1/2)k=-1からk=-2です。Cを通るので y-0=-2(x-3) と置き、qは y=-2x+6 となります。傾きと通る点の両方を使って初めて1本に定まります。
4. 交点では2つのyが等しいため、x/2+3/2=-2x+6 を解きます。両辺を2倍すると x+3=-4x+12、したがって5x=9、x=9/5です。lに代入して y=9/10+3/2=12/5 となります。

答え：lは y=x/2+3/2、pは y=x/2-1、qは y=-2x+6、lとqの交点は(9/5,12/5)です。

図2のように、lとpは切片が違っても同じ向きに伸び、qはlと直角に交わります。座標軸の横と縦の1目盛りを同じ長さで描くと、傾きから求めた直角と図の直角が対応します。手描きの図で直角に見えるかだけを根拠にせず、傾きの積が -1 になることを判断の根拠にしましょう。

例題3　点から直線までの距離を求める

点P(4,5)から直線l：x+y-3=0までの距離を求めます。Pは直線上にないので距離は正になるはずです。公式で計算したあと、垂線の足を求める方法でも確かめます。

1. 直線を ax+by+c=0 の形で読み取ります。a=1、b=1、c=-3です。定数項まで含めて代入する必要があるため、右辺を0にそろえておくと符号の取り違えを防げます。
2. 距離公式から d=|1×4+1×5-3|/√(1²+1²)=6/√2=3√2 です。分母の根号を整理するには、分子と分母に√2を掛けます。絶対値を外す前に中身の符号も確認します。
3. 別の方法では、lの傾きが -1 なので、Pを通る垂線の傾きは1です。y-5=x-4から y=x+1 となります。lの式y=3-xと連立して x+1=3-x、よって垂線の足Hは(1,2)です。
4. PH=√((4-1)²+(5-2)²)=√18=3√2 となり、公式の結果と一致します。Hの座標は1+2-3=0を満たすので、確かにl上にあります。

答え：点Pから直線lまでの距離は3√2です。

例題4　直線に関して対称な点を求める

例題3のP(4,5)と、直線l：x+y-3=0に関して対称な点P’を求めます。線対称では、lが線分PP’の垂直二等分線になります。「垂直」と「中点」の2条件を分けて使うことがポイントです。

1. Pからlへ下ろした垂線の足は、例題3よりH(1,2)です。対称移動では、このHがPP’の中点になります。したがって、P’は直線PH上でHを挟んだ反対側にあります。
2. P’の座標を(u,v)と置きます。中点の条件から (4+u)/2=1、(5+v)/2=2 です。横と縦それぞれについて中点公式を使えるので、2本の1次方程式に分かれます。
3. 4+u=2、5+v=4より、u=-2、v=-1です。PからHへは横に -3、縦に -3進むので、Hからさらに同じだけ進んでもP’(-2,-1)が得られます。
4. PP’の傾きは (-1-5)/(-2-4)=1、lの傾きは -1 なので垂直です。中点は(1,2)でl上にあります。2つの条件が両方成り立つため、求めた点が線対称の点だと確認できます。

答え：直線lに関してPと対称な点はP’(-2,-1)です。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　内分比をそのまま同じ順に掛ける

誤った書き方は、A(0,0)、B(6,3)を1:2に内分する点を ((1×0+2×6)/3, (1×0+2×3)/3)=(4,2) とするものです。この点はAから全体の2/3進んだ位置なので、AP:PBが2:1になります。計算が正しくても、比の読み取りが逆です。

正しい書き方は、P=((2×0+1×6)/3, (2×0+1×3)/3)=(2,1) です。APがPBより短いならPはAに近い、と先に図の上で確認しましょう。外分点でも、公式だけを書き始めず、m>nならB側、m<nならA側と位置を予想します。座標の符号だけで内側・外側を判定することはできません。線分がどこにあるかと組み合わせて判断する必要があります。

誤り2　垂直なら傾きの符号を変えればよいと考える

誤った書き方は、傾き1/2に垂直な直線の傾きを -1/2 とするものです。積は -1/4であり、垂直条件を満たしません。正しい傾きは負の逆数の -2 です。図2でqがlより急に傾いていることと、絶対値が1/2から2へ変わることを対応させます。

また、直線x=3に垂直な直線の傾きを「0の逆数」で求めようとするのも誤りです。x=3は縦の直線で、そもそも傾き0ではありません。点(1,2)を通りx=3に垂直な直線なら、正しい式はy=2です。縦と横の組合せを先に見抜けば、使えない公式に代入せずに済みます。一般形を使う場合は、x=3の係数(a,b)=(1,0)、y=2の係数(0,1)で、垂直条件も確認できます。

誤り3　直線上に中点を置くだけで対称点だとする

誤った書き方は、例題4で直線l上のR(0,3)を選び、Rを中点としてP’‘(-4,1)を答えるものです。確かにP(4,5)とP’‘の中点はRですが、PP’’の傾きは1/2で、lと垂直ではありません。中点が軸上にあることだけでは、線対称を保証できないのです。

正しい書き方は、まず垂線の足H(1,2)を求め、Hが中点になるようにP’(-2,-1)を求めるものです。図3のように、P、H、P’が一直線上に並び、PHとHP’が等しく、PP’とlが直交することを確認します。この図では、距離を表す線分PHが、そのまま対称点を探すための補助線になっています。

図3の関係を、点対称と混同しないことも必要です。点S(a,b)に関してP(x₀,y₀)と対称な点は (2a-x₀,2b-y₀) で、中点がSであることだけで決まります。線対称では、中点の位置を直線上のどこにするかが未定なので、垂直条件がもう1つ必要になります。なお、P自身が対称の軸上にある場合は、対称移動してもPのままで、軸までの距離は0です。

練習問題

最初に略図を描き、答えがどの辺りにありそうかを考えてから計算しましょう。解いたあとは、点を式に代入する、比を確かめる、中点を求めるなど、問題の条件に合う確認方法を選びます。

練習1

A(-2,1)、B(4,4)、C(1,-2)について、ABの長さ、ABを2:1に内分する点P、2:1に外分する点Q、三角形ABCの重心Gを求めてください。内分点と外分点を同じ図に置き、A、P、B、Qの並びになることも確かめましょう。

練習2

A(-1,3)、B(3,1)を通る直線lの方程式を求めてください。さらに点(2,-1)を通り、lに平行な直線pと、lに垂直な直線qの方程式を求めてください。3本とも、傾きだけでなく通る点の条件を使います。

練習3

点P(2,3)から直線l：3x+4y-8=0までの距離を求めてください。また、この直線を6x+8y-16=0と書き換えても距離が変わらないことを、分子と分母の値から確かめてください。

練習4

点P(3,1)について、直線y=xに関して対称な点Q、点S(1,-1)に関して対称な点R、直線x=1に関して対称な点Tを求めてください。線対称の2問では中点と垂直を、点対称では中点を確認しましょう。

答えと解説

練習1の答えは、AB=3√5、P(2,3)、Q(10,7)、G(1,1)です。距離は √((4-(-2))²+(4-1)²)=√45 です。内分点は ((-2+2×4)/3, (1+2×4)/3)=(2,3)、外分点は ((2×4-(-2))/(2-1), (2×4-1)/(2-1))=(10,7) となります。AQ=6√5、QB=3√5なので外分比も2:1です。重心は ((-2+4+1)/3, (1+4-2)/3)=(1,1) です。

練習2の答えは、l：y=-x/2+5/2、p：y=-x/2、q：y=2x-5です。lの傾きは (1-3)/(3-(-1))=-1/2 で、点Aを使うと y-3=-(x+1)/2 です。pは同じ傾きで点(2,-1)を通るので y+1=-(x-2)/2 となります。qは傾き2で、y+1=2(x-2) です。pとqにx=2を代入すると、いずれもy=-1になります。

練習3の答えは2です。距離は |3×2+4×3-8|/√(3²+4²)=10/5=2 となります。書き換えた式では |6×2+8×3-16|/√(6²+8²)=20/10=2 です。直線の式全体を2倍にすると分子と分母がともに2倍になり、距離は変わりません。負の数を掛けた場合も、分子の絶対値と分母の平方根があるため、距離は同じです。

練習4の答えは、Q(1,3)、R(-1,-3)、T(-1,1)です。QについてはPQの中点が(2,2)でy=x上にあり、PQの傾きは -1 なので軸と垂直です。RについてはPRの中点が(1,-1)でSに一致します。TについてはPTが横の線分で、その中点(1,1)が縦の軸x=1上にあります。y=xに関する対称移動は横座標と縦座標の交換になりますが、理由をこの2条件から説明できると、別の軸にも応用できます。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

2点間の距離は、「定点からの距離が一定」という円の方程式につながります。点と直線の距離は、円の中心から直線までの距離を半径と比べ、交わるか、接するかを判断するときに使います。また、直線の方程式を立てる方法は、後に接線の方程式を求める場面にも残ります。点の条件を式にする経験が、図形の範囲を扱う学習の土台になります。

家庭では、5分程度でできる確認を2つ試せます。1つ目は、整数座標の2点を自分で決め、中点と1:2の内分点を求めて、線分上に順に置くことです。2つ目は、例題2の直線の答えを隠し、「通る点」「平行または垂直」の条件だけから式を作り直すことです。前者は比の読み取り、後者は条件を式に変える力を確かめられます。

個別指導では、式が立たない場合には1次関数の傾きまで、距離の意味が曖昧な場合には直角三角形の3辺まで戻って確かめます。お子さまの取り組みを見る際も、正答かどうかに加えて「どの条件を使ったか」を一言説明できるかに目を向けると、次に確認する箇所が見つかります。

まとめ

計算が終わったら、最後に元の図へ戻ってみましょう。求めた点が線分の内側にあるのか、求めた直線が2点を通るのか、対称な2点を結ぶ線分が軸と垂直なのかを確かめます。その確認で食い違いが見つかれば、比の順序、傾き、符号のどこを直すかも絞れます。

答えを説明するときは、数値に続けて根拠となる条件を添えます。「中点が軸上にあり、結ぶ線分が軸と垂直だから」という一文は、座標だけの答えに図形としての意味を与えます。図形と方程式の答えは、元の位置関係を満たして初めて完成します。

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