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【数学II】加法定理と三角関数の合成を図解で総まとめ—2倍角・半角・和積・合成で最大最小｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.10.12更新 2026.10.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学単元解説（数I・A・II・B・III・C）

【数学II】加法定理と三角関数の合成を図解で総まとめ—2倍角・半角・和積・合成で最大最小のアイキャッチ武蔵野個別指導塾

sin75°の計算から2倍角・半角・3倍角、積和・和積、三角関数の合成までを扱います。単位円とグラフで符号や角度の範囲を確かめ、方程式・不等式・最大最小を自分で解く手順をつかみましょう。

よくあるのは、修学旅行前の教室でしおりを机の端に寄せ、出発までに終える課題の sin75° に「75°=45°+30°」と書いたところで手が止まるという場面です。隣の席の友人に途中式を見せても、45°と30°の値は知っているのに、sin75°をsin45°+sin30°としてよいのか判断がつきません。角を分けられることと、関数の値をそのまま足せることは別だからです。課題を先へ進めるには、この間をつなぐ決まりを確かめる必要があります。

加法定理は、角の和や差の三角関数を、もとの角の三角関数で表す決まりです。この決まりを使えば、表に載っていない角の値を求めたり、角が2倍・半分の式を変形したりできます。さらに、sinとcosの和を1つの三角関数にまとめる「合成」まで進むと、一見複雑な式の最大値や解の範囲も見通せます。

公式が多く見える単元ですが、すべてを別々の約束として抱える必要はありません。どの角を足すのか、どの式を足し引きするのか、変形した角はどこを動くのか。この3点をノートに残すと、計算の途中で戻る場所ができます。

この単元で身につけること

加法定理で角を分けます。75°や15°のような角を、値のわかる45°と30°の和や差として計算します。
2倍角・半角・3倍角を使い分けます。角をそろえる変形と、次数を下げる変形を区別し、平方根を取るときは符号も確かめます。
積和・和積の公式を組み立てます。積を和へ、和を積へ変えることで、計算や因数分解をしやすい形にします。
a sin x+b cos xを合成します。係数から振幅とずれの角を決め、展開してもとの式へ戻ることを確認します。
方程式・不等式・最大最小に利用します。置き換えた角の範囲を先に書き、候補の角と端点が条件に入るかを調べます。

数学Iの三角比と、数学IIで扱う一般角・弧度法・三角関数のグラフが土台になります。とくに単位円の点が(cos x, sin x)と表されること、sin²x+cos²x=1、tan x=sin x/cos xを確認しておきましょう。sin²xは(sin x)²という意味で、sin(x²)とは異なります。以下では°のない角を弧度法で表し、π rad=180°の関係を使います。

基本の考え方

加法定理は角の和を座標の計算につなぐ

加法定理の出発点は、次の4式です。αとβは任意の実数で、角が鋭角でない場合にも成り立ちます。

sin(α+β)=sinα cosβ+cosα sinβ

sin(α-β)=sinα cosβ-cosα sinβ

cos(α+β)=cosα cosβ-sinα sinβ

cos(α-β)=cosα cosβ+sinα sinβ

sinではsinとcosを組み合わせた項が2つ並び、角の間の符号と右辺の符号がそろいます。cosではcosどうしとsinどうしの積が並び、角の和なら引き算、角の差なら足し算です。文字の並びだけを覚えるより、まずcosの差の式がどこから来るかを見てみましょう。

図1のように、単位円上にP=(cosα, sinα)、Q=(cosβ, sinβ)を取ります。図ではα=65°、β=20°としていますが、計算では一般の角を考えます。線分OPとOQを同じ角だけ回しても、PとQの距離は変わりません。Qを(1, 0)の位置に移すと、Pは(cos(α-β), sin(α-β))へ移ります。

もとの座標で距離の2乗を計算すると、PQ²=(cosα-cosβ)²+(sinα-sinβ)²です。これを展開し、cos²α+sin²α=1とcos²β+sin²β=1を使うと、PQ²=2-2(cosα cosβ+sinα sinβ)になります。

回した後の座標では、同じ距離の2乗が(cos(α-β)-1)²+sin²(α-β)=2-2cos(α-β)です。2通りの式を等しいと置けば、cos(α-β)=cosα cosβ+sinα sinβが得られます。図1の円の半径が1であることが、計算中の「1+1=2」に対応しています。

差の式でβを-βに置き換え、cos(-β)=cosβ、sin(-β)=-sinβを使うと、cosの和の式になります。sinの和の式は、sin(α+β)=cos((π/2-α)-β)にcosの差の式を使えば導けます。sinの差の式もβを-βに変えればよいので、4式はつながっています。

tanの加法定理は、sinの式をcosの式で割って作ります。分子・分母をcosα cosβで割ると、次の形になります。

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα tanβ)

ただし、tanα、tanβが定義され、さらに右辺の分母が0でないことが必要です。たとえばα=β=45°では和の分母が0となり、tan90°自体が定義されません。「公式に入れればどんな角でも数値が出る」とは考えないようにします。

2倍角・半角・3倍角は加法定理から作る

加法定理でα=β=xとすれば、2倍角の公式になります。sin²x+cos²x=1を使うと、cos2xには3通りの形が用意できます。

sin2x=2sin x cos x

cos2x=cos²x-sin²x=1-2sin²x=2cos²x-1

tan2x=2tan x/(1-tan²x)

sinだけの式にそろえたいなら1-2sin²x、cosだけなら2cos²x-1を選びます。tanの式には、tan xが定義され、1-tan²x≠0という条件があります。角を倍にする操作と、関数の値を倍にする操作が同じでない点にも注意しましょう。

半角の公式は、cos2x=1-2sin²xとcos2x=2cos²x-1を変形し、2xをθと読み替えたものです。

sin²(θ/2)=(1-cosθ)/2

cos²(θ/2)=(1+cosθ)/2

tan²(θ/2)=(1-cosθ)/(1+cosθ)

最後の式はcosθ≠-1のときに使えます。これらはまず「2乗した値」の公式です。sin(θ/2)そのものを求めるなら、θ/2の範囲から正負を判断したうえで平方根を取ります。半角の公式の利点は角を半分にすることだけではありません。sin²x=(1-cos2x)/2のように、三角関数の2乗を1次の式へ変える役割もあります。

3倍角は3x=2x+xとして加法定理を使います。たとえばsin3x=sin2x cos x+cos2x sin xです。2倍角を代入すると、2sin x cos²x+(1-2sin²x)sin xになります。ここでcos²x=1-sin²xとすれば、sinだけにそろいます。

sin3x=3sin x-4sin³x

cos3x=4cos³x-3cos x

cosの式も、cos(2x+x)=(2cos²x-1)cos x-2sin²x cos xにsin²x=1-cos²xを代入して作れます。3倍角は三角関数を含む3次式を変形するときにも役立ちます。ただし、sin3xとsin³xは別物です。前者は角が3倍、後者はsin xという値を3乗したものです。

積和・和積と合成で式の形を選ぶ

加法定理の2式を足したり引いたりすると、積を和や差へ直す「積和の公式」が得られます。たとえばsin(α+β)とsin(α-β)を足すとcosα sinβの項が消え、2sinα cosβだけが残ります。

sinα cosβ={sin(α+β)+sin(α-β)}/2

cosα sinβ={sin(α+β)-sin(α-β)}/2

cosα cosβ={cos(α+β)+cos(α-β)}/2

sinα sinβ={cos(α-β)-cos(α+β)}/2

最後のsinどうしの積は、cosの差からcosの和を引く順序になります。符号が曖昧になったら、cos(α-β)とcos(α+β)を実際に引いて確かめられます。式が長くなっても、出発点へ戻る道があることが重要です。

逆に、和や差を積へ直すのが「和積の公式」です。A=α+β、B=α-βと置けば、α=(A+B)/2、β=(A-B)/2です。したがって、先ほどの公式を逆向きに読めば次の4式になります。

sin A+sin B=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)

sin A-sin B=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

cos A+cos B=2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)

cos A-cos B=-2sin((A+B)/2)sin((A-B)/2)

角の平均と差の半分が出てくるのは、連立式を解いてα、βへ戻しているからです。和積は、三角関数の和が0になる方程式を積の形にし、「どちらかの因子が0」と考える場面で使います。積和は積の計算や、後に学ぶ積分で式を扱いやすくする場面につながります。

一方、同じ角のsinとcosが並ぶa sin x+b cos xには「合成」が向いています。a、bがともに0ではないとき、R=√(a²+b²)と置き、cosφ=a/R、sinφ=b/Rを満たす角φを選びます。2つの比の2乗の和は1なので、そのような単位円上の点を取れます。

R sin(x+φ)=R cosφ sin x+R sinφ cos x=a sin x+b cos x

これが合成の仕組みです。sin xの係数aはcosφに、cos xの係数bはsinφに対応します。Rは正と約束すると角を決めやすく、φは2πの整数倍だけ異なっても同じ式を表します。a=b=0の場合は式全体が0なので、角を決める必要はありません。

たとえばsin x+√3 cos xではR=2です。cosφ=1/2、sinφ=√3/2よりφ=π/3と取れ、2sin(x+π/3)となります。xを自由に動かせば値は-2から2まで動きますが、xの範囲が指定されていれば、その区間で本当にsinが1や-1になるかを別に調べます。

例題で解き方を確かめる

例題1　75°と15°の値を正確に求める

sin75°、cos15°、tan75°の値を求めます。小数に直さず、平方根を含む正確な値で答えましょう。

75°=45°+30°、15°=45°-30°と分けます。30°、45°の三角比は正確な値がわかるため、この組合せを選びます。
sinの和の式を使います。sin75°=sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√2/2)×(√3/2)+(√2/2)×(1/2)=(√6+√2)/4です。どちらの積も分母が4なので、そのまま足せます。
cosの差の式を使います。cos15°=cos45°cos30°+sin45°sin30°=(√6+√2)/4です。cos(45°-30°)の右辺が足し算になるところを確かめます。
tanの和の式を使います。tan75°=(1+1/√3)/(1-1/√3)=(√3+1)/(√3-1)です。分母・分子に√3+1を掛けると、(4+2√3)/2=2+√3となります。

答え：sin75°=cos15°=(√6+√2)/4、tan75°=2+√3です。

sin75°とcos15°が一致することは、sinθ=cos(90°-θ)からも確かめられます。計算結果を別の関係で確認できれば、加法定理の符号を取り違えた場合にも気づきやすくなります。

例題2　角の範囲から符号を決める

π/2<α<π、sinα=3/5のとき、sin2α、cos2α、sin(α/2)、sin3αを求めます。sinの値だけを見てcosも正と決めず、最初に角の位置を確かめます。

αは第2象限にあるのでcosα<0です。cos²α=1-9/25=16/25より、cosα=-4/5となります。平方根の正負を、象限に照らして選びます。
sin2α=2×(3/5)×(-4/5)=-24/25です。cos2αはsinの値から直接求められ、1-2×9/25=7/25です。2αはπから2πの間にあるので、sin2αが負という結果は範囲とも合います。
π/4<α/2<π/2なのでsin(α/2)>0です。半角の公式よりsin²(α/2)={1-(-4/5)}/2=9/10です。正の平方根を取り、sin(α/2)=3/√10=3√10/10となります。
3倍角を使います。sin3α=3×3/5-4×27/125=225/125-108/125=117/125です。αの数値そのものを求めなくても計算できます。

答え：sin2α=-24/25、cos2α=7/25、sin(α/2)=3√10/10、sin3α=117/125です。

ここで2αの範囲だけではcos2αの符号までは決まりません。π<2α<2πには第3象限と第4象限の両方が含まれるためです。範囲からわかることと、値を計算して初めてわかることを区別しましょう。

例題3　和積で方程式を因数分解する

0≦x<πの範囲で、sin3x+sin x=0を解きます。3倍角を展開する方法もありますが、ここでは和積によって角をまとめます。

A=3x、B=xとして和積の公式を使います。平均は2x、差の半分はxなので、sin3x+sin x=2sin2x cos xとなります。
2sin2x cos x=0より、sin2x=0またはcos x=0です。cos xで両辺を割ると、cos x=0の場合が抜けてしまうため、積が0の条件で分けます。
0≦2x<2πなので、sin2x=0から2x=0、π、したがってx=0、π/2です。cos x=0からもx=π/2が得られます。同じ解は1回だけ書きます。

答え：x=0、π/2です。

3倍角の公式なら、sin3x+sin x=4sin x-4sin³x=4sin x cos²xと変形できます。これは2sin2x cos xに2倍角を使った形と一致します。異なる公式を選んでも、最終的に同じ積へ到達することを確認できます。

例題4　合成して方程式・不等式・最大最小を解く

f(x)=sin x+√3 cos xとします。まず0≦x<2πでf(x)=1とf(x)≧1を解き、次に0≦x≦π/2でf(x)の最大値・最小値を求めます。式は同じでも、条件となる範囲が変わる点を読み分けましょう。

係数からR=√(1+3)=2とし、f(x)=2sin(x+π/3)と合成します。展開すると2sin x×1/2+2cos x×√3/2となり、もとの式に戻ります。
t=x+π/3と置きます。0≦x<2πのときπ/3≦t<7π/3です。f(x)=1はsin t=1/2なので、この範囲でt=5π/6、13π/6です。両方からπ/3を引き、x=π/2、11π/6を得ます。
f(x)≧1はsin t≧1/2です。一般にはπ/6+2kπ≦t≦5π/6+2kπとなります。kは整数です。これとπ/3≦t<7π/3の共通部分は、π/3≦t≦5π/6と13π/6≦t<7π/3です。xへ戻すと0≦x≦π/2または11π/6≦x<2πです。
最大最小では指定が0≦x≦π/2に変わります。したがってπ/3≦t≦5π/6です。この区間はt=π/2を含むので最大値は2、対応するxはπ/6です。最小値は端点の値を比べ、f(0)=√3、f(π/2)=1より1です。

答え：方程式の解はx=π/2、11π/6、不等式の解は0≦x≦π/2または11π/6≦x<2π、指定区間の最大値は2（x=π/6）、最小値は1（x=π/2）です。

図2のように、合成後のグラフは高さ2の正弦曲線になります。横線y=1との交点が方程式の解で、曲線が横線以上にある部分が不等式の解です。左端のx=0でもf(0)>1なので、不等式の答えには0から始まる区間が入ります。

式で求めた解を図2の交点へ照らすと、周期の終わりに近い11π/6を見落としていないか確認できます。また、x=2πは問題の範囲に入らないため、その位置の点は白抜きで示しています。端点を含むかどうかは、グラフの形だけでなく問題の不等号で決めます。

つまずきやすいところと直し方

角を足すことと値を足すことを混同する

誤った書き方：sin(α+β)=sinα+sinβ。

どこが違うか：sinは角を入力して円周上の点の高さを返す関数で、入力の足し算をそのまま出力の足し算に移せません。α=β=30°を入れると、左辺はsin60°=√3/2、右辺は1になり、一致しません。tanについても同じように、単なる和にはなりません。

正しい書き方：sin(α+β)=sinα cosβ+cosα sinβです。覚えた式に不安があるときは、30°どうしなど、両辺を具体的に計算できる角で試してみましょう。ただし、1組で一致しただけでは一般の証明にはなりません。具体的な角の代入は誤りを見つける確認として使い、式の根拠は加法定理へ戻します。

半角の平方根をいつでも正にする

誤った書き方：sin²(θ/2)=(1-cosθ)/2だから、必ずsin(θ/2)=√((1-cosθ)/2)。

どこが違うか：u²=cからわかるのはu=±√cで、平方根の記号√は0以上の値を表します。θの範囲が示されていなければ、sin(θ/2)が負になる可能性もあります。たとえばθ=3πならθ/2=3π/2で、sin(θ/2)=-1です。

正しい書き方：最初にθ/2の範囲を求め、その範囲でsinの正負を決めてから平方根を選びます。例題2ではα/2が第1象限にあるため正を選べました。もとの角の象限と半分にした角の象限を、同じものとして扱わないことがポイントです。

合成した振幅をそのまま最小値に使う

誤った書き方：0≦x≦π/2でも、2sin(x+π/3)の最小値は-2。

どこが違うか：振幅2は、角を1周期全体にわたって動かしたときの上下の幅を示します。指定区間でsinが-1になる角へ届くとは限りません。例題4のt=x+π/3はπ/3から5π/6までしか動かず、単位円の上半分にとどまります。

正しい書き方：π/3≦t≦5π/6でsin tを調べます。図3の緑の弧がこの範囲を表し、点Aで高さ√3/2、点Mで高さ1、点Bで高さ1/2です。AからMへは高さが増え、MからBへは下がるので、最も低い点はBです。f(x)=2sin tの値はこれらの高さの2倍になります。

図3から、最大値を取るMは区間内にあり、最小値-2に対応する円の最下点は区間外だとわかります。最大最小では、山や谷の位置を調べるだけでなく、区間の両端も候補に加えましょう。端点が含まれない問題では、その値に近づけても実際には取れず、最大値や最小値が存在しない場合もあります。

練習問題

公式の名前を先に選ぶより、角を分けたいのか、次数を下げたいのか、和を積にしたいのかを一言書いてから取り組んでみましょう。答えを見る前に、符号と角の範囲もノートへ残してください。

練習1

加法定理を使い、cos105°とtan15°を求めてください。105°=60°+45°、15°=45°-30°と分けられます。105°が第2象限にあることも、答えの符号の確認に使えます。

練習2

π/2<θ<π、cosθ=-1/3のとき、sin2θ、cos(θ/2)、cos3θを求めてください。sinθとcos(θ/2)の符号を、別々に確かめてから計算しましょう。

練習3

積和の公式を使い、2sin x cos2xを和や差の形に直してください。その結果を利用して、0≦x<2πにおけるsin3x=sin xの解をすべて求めてください。

練習4

0≦x≦π/2で、g(x)=√3 sin x-cos xの最大値・最小値を求めてください。また、同じ範囲でg(x)≧1となるxの範囲を求めてください。合成後の角がπ/2に達するかどうかが判断の分かれ目です。

答えと解説

練習1の答えは、cos105°=(√2-√6)/4、tan15°=2-√3です。cos(60°+45°)=(1/2)×(√2/2)-(√3/2)×(√2/2)と計算します。tan(45°-30°)=(1-1/√3)/(1+1/√3)=(√3-1)/(√3+1)は、分母を有理化して2-√3です。cos105°が負、tan15°が正という結果も象限と一致します。

練習2の答えは、sin2θ=-4√2/9、cos(θ/2)=√3/3、cos3θ=23/27です。第2象限なのでsinθ=√(1-1/9)=2√2/3です。2倍角よりsin2θ=2×(2√2/3)×(-1/3)=-4√2/9となります。θ/2は第1象限だから、cos(θ/2)=√((1-1/3)/2)=√(1/3)=√3/3です。3倍角では4×(-1/3)³-3×(-1/3)=-4/27+1=23/27と計算します。

練習3の答えは、2sin x cos2x=sin3x-sin x、方程式の解はx=0、π/4、3π/4、π、5π/4、7π/4です。積和よりsin(x+2x)+sin(x-2x)=sin3x+sin(-x)=sin3x-sin xとなります。したがって元の方程式は2sin x cos2x=0です。sin x=0からx=0、π、cos2x=0から2x=π/2、3π/2、5π/2、7π/2を得ます。2xの範囲は0≦2x<4πなので、cos2x=0の解は4個必要です。

練習4の答えは、最大値√3（x=π/2）、最小値-1（x=0）、不等式の解はπ/3≦x≦π/2です。合成するとg(x)=2sin(x-π/6)で、t=x-π/6は-π/6≦t≦π/3を動きます。この区間でsin tは単位円上の高さが増える向きに動くため、両端で最小値・最大値を取ります。sin t≧1/2を満たす部分はπ/6≦t≦π/3なので、xに戻すとπ/3≦x≦π/2です。振幅は2ですが、最大値は2に達しません。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

加法定理で角をまとめたり分けたりする操作は、三角関数を含む方程式のほか、数学IIIの微分・積分にもつながります。sin²xを(1-cos2x)/2へ直す半角の公式や、sin x cos2xを和へ直す積和の公式は、積分する式を整理するときにも使います。合成で「角の移動」と「値の変化」を分けて考える経験は、関数のグラフを読む助けになります。

家庭で5分ほど確かめるなら、次の2つが取り組みやすい方法です。1つ目は、加法定理からsin2xとcos2xを作り、さらに半角の2式までつなぐことです。書けなかったところだけを見直せば、公式間のどのつながりが曖昧かを絞れます。2つ目は、sin x+√3 cos xを合成し、0≦x≦π/2で合成後の角の範囲を紙に描くことです。最大値だけでなく、最小値を取る端点を説明できるか確かめましょう。

個別指導では、合成の計算が止まった位置に応じて、係数比較、単位円の座標、30°や60°の値まで戻って確かめます。お子さまが計算結果を言えたときも、「その角は指定された範囲に入っているか」と尋ねると、式と図が結びついているかを確認できます。