武蔵野個別指導塾の特徴

【数学I】三角比を図解で総まとめ—直角三角形の定義から 0°〜180° への拡張・相互関係まで｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.10.12更新 2026.10.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学単元解説（数I・A・II・B・III・C）

【数学I】三角比を図解で総まとめ—直角三角形の定義から 0°〜180° への拡張・相互関係までのアイキャッチ武蔵野個別指導塾

直角三角形の辺の比から単位円へ進み、鈍角での符号や三角比の相互関係を図で確かめます。高さを求める例題と角度の方程式・不等式を通して、公式を選ぶ理由までたどれます。

よくあるのは、部活帰りの自転車置き場で坂の傾きを眺めながら、宿題の「tan 30°」は覚えているのに、坂の長さと水平な距離のどちらに掛ければ高さが出るのか迷うという場面です。sin、cos、tan の値を暗記しても、図の中でどの辺を比べているのかが曖昧だと、式を立てるところで手が止まります。

三角比は、角度と辺の長さをつなぐ数です。角度が同じなら、直角三角形を拡大しても辺どうしの比は変わりません。この性質を使うと、直接測れない高さを求めたり、辺の比から角度を調べたりできます。最初は直角三角形の辺に注目し、その後で座標平面上の半円へ見方を広げます。

鈍角の cos が負になることも、sin の値が同じ角が2つ現れることも、図と対応させれば理由があります。計算のたびに「どの角を見ているか」「その点はどこにあるか」を確認し、最後には三角比を含む方程式と不等式まで自分で解けるように進めましょう。

この単元で身につけること

sin、cos、tan を、注目する角に対する辺の比として表せるようにします。斜辺・向かい側の辺・隣り合う辺を区別すると、与えられた長さから使う三角比を選べます。
30°、45°、60° の値を、特別な直角三角形から作れるようにします。表の値を忘れたときにも、辺の比まで戻れば復元できます。
単位円で 0°〜180° の三角比を考えます。鋭角から鈍角へ広げたときに、何が正で何が負になるかを座標で判断します。
相互関係と、90°-θ・180°-θ の変換を使います。1つの三角比から残りを求めるときは、角度の範囲を根拠に符号を決めます。
三角比を含む方程式と不等式を解きます。方程式では条件に合う角を全て探し、不等式では半円上の連続した範囲を角度で表します。

土台になるのは、中学校で学んだ相似、三平方の定理、座標の読み方です。平方根を含む分数の計算も使いますが、図形の判断と式の整理を一度に済ませず、順に分けると考えやすくなります。

基本の考え方

直角三角形で3つの比を区別する

直角三角形 ABC で ∠C=90°、∠A=θ とします。直角の向かい側にある AB が斜辺です。θ から見て向かい側の辺は BC、θ をつくる2辺のうち斜辺でない辺は AC です。このとき、正弦 sin θ、余弦 cos θ、正接 tan θ を次のように定めます。読み方は順に「サイン」「コサイン」「タンジェント」です。

sin θ=BC/AB、cos θ=AC/AB、tan θ=BC/AC

図1のように、斜辺を5、底辺を4、高さを3とすると、sin θ=3/5、cos θ=4/5、tan θ=3/4 です。辺の長さには単位があっても、同じ単位の長さどうしを割った三角比には長さの単位が付きません。θ は角度を表す文字であり、sin θ 全体が1つの数を表します。sin と θ を掛けているわけではありません。

この三角形を2倍に拡大すると、3辺は6、8、10になります。それでも sin θ=6/10=3/5 です。同じ鋭角を持つ直角三角形は相似なので、どれを使っても比は一定です。三角比が三角形の大きさではなく角度によって決まるのは、この相似が理由です。

坂道に当てはめると、坂に沿った長さが斜辺、水平な距離が AC、上がった高さが BC に当たります。斜辺と高さを結ぶのは sin、水平な距離と高さを結ぶのは tan です。使う公式を名前だけで選ばず、「既知の辺と求めたい辺が入っている比はどれか」と探します。

また、注目する角を ∠A から ∠B に変えると、向かい側の辺と隣り合う辺は入れ替わります。斜辺は直角で決まるので変わりません。図の上下や左右を覚えるのではなく、角に印を付けてから各辺の役割を確認することが大切です。

有名角の値を三角形から作る

45° の直角三角形は直角二等辺三角形です。直角を挟む2辺を1とすると、三平方の定理から斜辺は √2 になります。したがって sin 45°=cos 45°=1/√2=√2/2、tan 45°=1 です。1/√2 を √2/2 に直すときは、分母と分子の両方に √2 を掛けています。

30° と60° の値は、1辺が2の正三角形を高さで半分にすると作れます。斜辺は2、短い辺は1、残りは √(2²-1²)=√3 です。30° の向かい側が1、60° の向かい側が √3 なので、次の表になります。30° と60° で sin と cos が入れ替わることにも注目してください。

θ	sin θ	cos θ	tan θ
30°	1/2	√3/2	√3/3
45°	√2/2	√2/2	1
60°	√3/2	1/2	√3

角が大きくなるにつれて向かい側の辺が斜辺に占める割合は大きくなります。鋭角では sin は増え、cos は減ります。表の sin 30° と sin 60° を取り違えていないか、図の形で見直せます。tan は斜辺で割る比ではないため、tan 60° のように1を超えても問題ありません。

単位円への拡張と相互関係

直角三角形だけでは、0°、90°、180° や鈍角を同じ定義で扱えません。そこで、原点 O を中心とする半径1の円、すなわち単位円を使います。x 軸の正の向きから反時計回りに θ だけ回した半直線と円の交点を P(x, y) とし、0°≦θ≦180° の範囲を考えます。

この点を使って cos θ=x、sin θ=y、tan θ=y/x と定めます。ただし tan θ は x≠0 のときだけです。鋭角では P から x 軸に垂線を下ろすと斜辺1の直角三角形ができ、先ほどの辺の比と同じ値になります。もとの定義を変えてしまうのではなく、その意味を保ったまま扱える角を広げています。

θ=0° の点は (1, 0)、θ=90° の点は (0, 1)、θ=180° の点は (-1, 0) です。このため sin 0°=0、cos 0°=1、tan 0°=0、sin 90°=1、cos 90°=0、sin 180°=0、cos 180°=-1、tan 180°=0 です。tan 90° は0で割る形になるので定義されません。「とても大きい数」や「0」とは書けません。

90°<θ<180° では P が上半分の左側にあるので、sin θ>0、cos θ<0、tan θ<0 です。負になるのは辺の長さが負だからではなく、横の座標が負だからです。0°≦θ≦180° 全体では 0≦sin θ≦1、-1≦cos θ≦1 となります。

単位円上の点は x²+y²=1 を満たすため、次の相互関係が成り立ちます。sin² θ は (sin θ)²、cos² θ は (cos θ)² の略記です。

sin² θ+cos² θ=1

tan θ=sin θ/cos θ　ただし θ≠90°

1+tan² θ=1/cos² θ　ただし θ≠90°

3つ目の式は、1つ目の両辺を cos² θ で割って得られます。cos² θ/cos² θ=1 となり、sin² θ/cos² θ=tan² θ になるからです。分母が0のときは割れないので、式と使用条件をセットで扱います。

角の変換も、図形の対応から理解できます。0°≦θ≦90° では、直角三角形の残る角が 90°-θ なので、sin(90°-θ)=cos θ、cos(90°-θ)=sin θ です。また 0°<θ<90° では tan(90°-θ)=1/tan θ です。最後の式は端の角度でどちらかが定義されなかったり、0で割ったりするため、範囲を狭めています。

一方、0°≦θ≦180° で角 θ と 180°-θ に対応する点は y 軸に関して対称です。縦座標は同じ、横座標は符号が逆なので、sin(180°-θ)=sin θ、cos(180°-θ)=-cos θ、tan(180°-θ)=-tan θ です。tan の式では θ=90° を除きます。例えば sin 150°=1/2、cos 150°=-√3/2、tan 150°=-√3/3 と求められます。

例題で解き方を確かめる

例題1　水平な距離と角度から高さを求める

水平な地面上の点 A から、真上に立つ柱の頂点 B を見上げた角が30° でした。柱の足元を C とし、AC=12 m、∠C=90° とします。視線の始点は地面上の A として、柱の高さ BC を求めましょう。

求めたい高さを h m と置き、∠A の向かい側が BC、隣り合う辺が AC と確認します。高さと水平距離の比が必要なので、tan を使います。
tan 30°=h/12 と立式します。三角比の式に長さを入れる前に、比の分子・分母を辺の名前で確認すると逆にしにくくなります。
tan 30°=√3/3 を代入し、h=12 × √3/3=4√3 と計算します。高さは正で、30° は45° より小さいため水平距離12 m より低くなることも確かめます。

答え：柱の高さは 4√3 m です。

実際の測定で目の高さから見上げる場合は、まず目の高さから頂点までの差を求め、最後に目の高さを足します。また、12 m が水平距離ではなく視線に沿った距離なら使うのは sin です。数値が同じでも、何の長さかによって式が変わる点を確認しましょう。

例題2　1つの三角比から残りを求める

90°<θ<180°、sin θ=3/5 のとき、cos θ と tan θ を求めましょう。図2では単位円上の P の高さが3/5 で、P が左側にあることを表しています。

sin² θ+cos² θ=1 に sin θ=3/5 を入れます。cos を求めるには、この式が sin と cos を直接結んでいるからです。
cos² θ=1-9/25=16/25 と整理します。ここで直ちに cos θ=4/5 とせず、平方して16/25 になる数は 4/5 と -4/5 の両方であることを確認します。
90°<θ<180° なので cos θ<0 と判断し、cos θ=-4/5 を選びます。図2の P の横座標が負であることと一致します。
tan θ=sin θ/cos θ=(3/5) ÷ (-4/5)=-3/4 と求めます。sin が正、cos が負なので tan が負になることも確かめます。

答え：cos θ=-4/5、tan θ=-3/4 です。

もし角度の条件が「鋭角」に変われば、sin θ が同じでも cos θ=4/5、tan θ=3/4 です。与えられた値だけでは残りの符号が決まらない場合があります。角度の範囲は添え物ではなく、答えを1つに定めるための条件です。

例題3　三角比を含む方程式を解く

0°≦θ≦180° の範囲で、2sin² θ-3sin θ+1=0 を解きましょう。sin θ を1つの数と見て因数分解し、最後に角度へ戻します。

t=sin θ と置くと、2t²-3t+1=0 です。未知数が複雑に見えるときも、同じ式を1文字に置けば既習の2次方程式として扱えます。この範囲では 0≦t≦1 です。
(2t-1)(t-1)=0 と因数分解し、t=1/2 または t=1 を得ます。どちらも 0≦t≦1 を満たすため、両方を調べます。
sin θ=1/2 になる角を探します。半円上で高さ1/2 の点は右側と左側に1つずつあり、θ=30° と θ=150° です。
sin θ=1 になるのは半円の頂点なので、θ=90° です。元の式に sin θ=1/2 を入れると 1/2-3/2+1=0、sin θ=1 を入れると 2-3+1=0 となります。

答え：θ=30°、90°、150° です。

t の値を求めた段階では、まだ θ の答えにはなっていません。また、因数分解で得た t が2などであれば、sin の値としては不適切なので除きます。「数としての方程式を解く」「三角比の取り得る値を確認する」「角度を全て探す」の3段階を区別しましょう。

例題4　三角比を含む不等式を解く

0°≦θ≦180° の範囲で、2cos θ+1≦0 を解きましょう。答えは特定の角を並べるのではなく、条件を満たす角度の範囲になります。

2cos θ≦-1 より、cos θ≦-1/2 とします。両辺を正の数2で割るので、不等号の向きは変わりません。
境目の角を調べます。cos 120°=-1/2 なので、半円上で横座標が -1/2 となる点が境界です。
θ が0° から180° に増えると、半円上の点は右端から上を通って左端へ移ります。横座標 cos θ は1から -1 へ減るので、-1/2 以下になるのは120° から180° までです。
等号を含むので120° を入れ、もとの指定範囲に180° も含まれるので180° を入れます。θ=180° では 2 × (-1)+1=-1≦0 と確認できます。

答え：120°≦θ≦180° です。

cos θ の不等号を、そのまま θ の不等号に写すことはできません。cos はこの範囲で角度が大きいほど値が小さくなるためです。境界を見つけたら、例えば θ=150° のような境界の片側の角を代入して、どちら側が解なのか確かめる方法も使えます。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　注目する角を変えても同じ辺の比を書く

誤った書き方は、図1の三角形で「sin ∠B=3/5」とすることです。3の辺 BC は ∠B に接している辺であり、∠B の向かい側は4の辺 AC です。sin は「縦の辺を斜辺で割る」と決めるものではありません。

正しい書き方は sin ∠B=AC/AB=4/5 です。また ∠B=90°-θ なので sin(90°-θ)=cos θ=4/5 とも確認できます。図が回転していたり、頂点の文字がいつもと違っていたりしても、注目する角を丸で囲んでから向かい側の辺を探すと対応を保てます。

誤り2　鈍角でも平方根の正の値だけを選ぶ

誤った書き方は、90°<θ<180°、sin θ=1/2 のとき「cos² θ=3/4 だから cos θ=√3/2」とすることです。平方した値からもとの値に戻す段階で、負の候補を落としています。長さを求める場合と違い、三角比は負にもなります。

正しい書き方は、cos θ<0 より cos θ=-√3/2 です。図3のように、30° と150° の点は同じ高さにありますが、横座標の符号が反対です。したがって sin 150°=sin 30° であっても、cos 150°=cos 30° とはなりません。

図3では、赤い弧が高さ1/2 以上の部分です。sin θ≧1/2 なら 30°≦θ≦150° となり、90° を越えた部分も解に入ります。sin は0° から90° まで増え、その後は減るので、「sin の値が大きいほど角度も大きい」と180° まで一律に考えることはできません。

誤り3　tan の分母を符号の確認なしに払う

誤った書き方は、tan θ≧1 を sin θ/cos θ≧1 とした後、全範囲で sin θ≧cos θ とすることです。cos θ が負の範囲で両辺に掛ければ不等号は逆向きになります。さらに θ=90° では最初の tan θ 自体が定義されません。

正しくは、0°≦θ<90° と 90°<θ≦180° に分けます。前者では cos θ>0 なので sin θ≧cos θ とでき、45°≦θ<90° です。後者では sin θ≧0、cos θ<0 のため tan θ≦0 となり、tan θ≧1 を満たしません。合わせた答えは 45°≦θ<90° です。90° の直前で tan の値が大きくなっても、90° を答えに含めてはいけません。

不等式で両辺に文字式を掛けるときは、その式が正か負か、0にならないかを先に確認します。これは三角比だけの特別な注意ではなく、1次不等式で学んだ決まりを三角比にも適用しているということです。

練習問題

式を立てる前に小さな図を描き、与えられた角度の範囲を書き添えて取り組みましょう。解答では値だけでなく、比を選んだ理由や符号を決めた根拠を1行残すと、後で間違いの位置を探しやすくなります。

練習1

直角三角形 ABC で ∠C=90°、AB=13、AC=12、∠A=θ とします。BC の長さと、sin θ、cos θ、tan θ を求めましょう。AB が斜辺であることを確認してから計算します。

練習2

次の3つの値を求めましょう。(1) sin 135°、(2) cos 120°、(3) tan(90°-30°) です。鈍角は 180° との差、最後の式は残りの角に注目し、どの公式を使ったかも書きましょう。

練習3

90°<θ<180°、tan θ=-2 のとき、cos θ と sin θ を求めましょう。tan と cos を結ぶ相互関係を使い、平方から戻すときの符号を角度の範囲で判断します。

練習4

0°≦θ≦180° の範囲で、(1) sin θ=√3/2、(2) sin θ>√3/2 をそれぞれ解きましょう。方程式の解を境目として、不等式がその内側か外側かを半円で確かめます。

答えと解説

練習1の答えは BC=5、sin θ=5/13、cos θ=12/13、tan θ=5/12 です。三平方の定理から BC²=13²-12²=169-144=25 で、長さなので BC=5 を選びます。角 θ の向かい側は BC、隣り合う辺は AC です。5²+12²=13² が成り立ち、sin² θ+cos² θ=(25+144)/169=1 でも確かめられます。

練習2の答えは (1) √2/2、(2) -1/2、(3) √3 です。(1) は 135°=180°-45° より sin 135°=sin 45° です。(2) は 120°=180°-60° より cos 120°=-cos 60° です。(3) は tan 60°=√3 と直接求めても、1/tan 30°=1/(√3/3)=√3 と求めても同じです。

練習3の答えは cos θ=-√5/5、sin θ=2√5/5 です。1+tan² θ=1/cos² θ より 1+4=1/cos² θ、したがって cos² θ=1/5 です。鈍角なので cos θ=-1/√5=-√5/5 を選びます。sin θ=tan θ × cos θ=(-2) × (-√5/5)=2√5/5 となり、上半円で sin が正という条件にも合っています。

練習4の答えは (1) θ=60°、120°、(2) 60°<θ<120° です。高さ √3/2 の点は上半円に2つあり、その間の弧では高さがさらに大きくなります。(2) は等号がないので60° と120° を含みません。θ=90° を入れると sin 90°=1>√3/2 となり、内側を選んだ判断も確かめられます。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

三角比は、直角三角形以外の三角形で辺や角を求める正弦定理・余弦定理へつながります。三角形の面積を求めるときにも sin を使います。数学IIで学ぶ三角関数では角度の範囲をさらに広げますが、座標から符号を読む考え方はそのまま土台になります。

家で5分ほど確かめるなら、1つ目は、辺が3、4、5の直角三角形を描き、両方の鋭角について sin、cos、tan を書く方法です。三角形の向きを変えても同じ値を出せるか試すと、見た目ではなく辺の役割で判断できているかがわかります。

2つ目は、上半円に30° と150° の点を打ち、sin が同じで cos の符号が反対になる理由を言葉にする方法です。そのまま sin θ≧1/2 の範囲も指でなぞってみましょう。保護者の方がお子さまに尋ねる場合も、値を次々に答えてもらうより、「どこの座標を見たのか」を1つ聞くと考え方を確かめられます。

個別指導では、立式で止まるなら相似と辺の対応へ、符号で止まるなら座標の正負へ戻って確認します。根号の整理だけが難しい場合は、図形の理解とは切り分けて分数の計算を確かめます。