武蔵野個別指導塾の特徴

【数学I】正弦定理・余弦定理と面積を図解で総まとめ—三角形の決定から空間図形の計量まで｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.10.12更新 2026.10.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学単元解説（数I・A・II・B・III・C）

【数学I】正弦定理・余弦定理と面積を図解で総まとめ—三角形の決定から空間図形の計量までのアイキャッチ武蔵野個別指導塾

2辺と1角から三角形が2通りできる理由を図で確かめ、正弦定理・余弦定理による計算から内接円、ヘロンの公式、円に内接する四角形、空間図形の計量へ進みましょう。

よくあるのは、通学電車の窓から目を戻して膝の上のノートを見直し、「辺が2本と角が1つあるから余弦定理」と考えたところで、その角の位置が気になるという場面です。窓の外を眺める合間に公式を思い出せても、図の角に付けた印を確かめなければ、三角形のどの辺をどの文字に入れるかは決まりません。同じ「2辺と1角」でも、角の位置によって三角形が1つに決まる場合と、2つできる場合があります。

この単元で身につけたいのは、公式の名前を当てる力だけではありません。与えられた長さや角度から図形が作れるかを確かめ、必要な三角形を取り出し、長さ・角度・面積を順につなげる力です。高さを直接測れない三角形の面積も、立体の中に隠れた線分の長さも、平面の三角形に戻すと考えやすくなります。まず辺と角の対応をそろえ、計算の根拠を一つずつ追っていきましょう。

この単元で身につけること

辺と向かい合う角を対応させます。三角形ABCでa=BC、b=CA、c=ABと置き、角Aの向かいは辺aだと図の上で確かめます。
正弦定理で辺・角・外接円を結びます。向かい合う辺と角の組があれば、別の辺や外接円の半径を求める入口になります。
余弦定理で3辺と1角を結びます。2辺とその間の角から残りの辺を求め、逆に3辺から角や三角形の形状を判定します。
面積の表し方を選びます。2辺とその間の角、3辺、内接円の半径という異なる情報から、同じ面積を求められます。
条件を満たす図形の個数を調べます。sinの値から角を求める際には、鋭角と鈍角の両方の候補を確認します。
四角形や立体を三角形に分けます。円に内接する性質や垂直の条件を式に移し、平面で学んだ計算を利用します。

直角三角形で学んだ三角比と三平方の定理が土台になります。新しい公式を覚えるときも、「どの辺が高さになるか」「90°ならどうなるか」に戻ると、以前の学習とのつながりを確かめられます。

基本の考え方

辺と角の対応から正弦定理へ

三角形ABCでは、角A、角B、角CをそれぞれA、B、Cと略します。対応する辺はa=BC、b=CA、c=ABです。大文字と小文字が同じ組は、頂点とその向かいの辺を表します。辺ABをaと置くわけではない点を、最初に確認してください。どの三角形でもA+B+C=180°で、各角は0°より大きく180°より小さくなります。

3つの頂点を通る円を外接円といい、その中心を外心、半径をRとします。正弦定理は、

a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R

です。分母の角は分子の辺の向かいにあります。この対応がそろっていれば、三角形が横向きでも逆さでも式は変わりません。外心が三角形の内部にあるとは限りませんが、正弦定理は鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形のいずれにも使えます。

図1のように、AB=4、AC=3、BC=5の直角三角形を円に入れると、斜辺BCが外接円の直径になります。角A=90°なのでa/sin A=5/1=5となり、2R=5、R=5/2です。半径を求めるのに、比の値をそのまま答えないようにしましょう。

正弦定理の理由も円から見られます。弦BCに対する円周角が鋭角なら、円の直径を補助線にしてできる直角三角形からBC=2R sin Aが得られます。角Aが鈍角のときは、反対側の円周角が180°-Aになり、sin(180°-A)=sin Aによって同じ式になります。A=90°ならBC自体が直径です。このように、正弦定理は直角三角形でのsinの定義を一般の三角形へ広げたものです。

実際に使うときは、3つの比を全部書いて計算する必要はありません。aとAがわかり、bを求めたいならa/sin A=b/sin Bの2組を選びます。2角が与えられているなら、先に残りの角を180°から引いて求められます。一方、辺だけが3本わかる問題には、最初に使えるsinの値がないので、余弦定理から進むのが自然です。

余弦定理と三角形の決まり方

余弦定理は次の3つの形で表せます。

a²=b²+c²-2bc cos A

b²=c²+a²-2ca cos B

c²=a²+b²-2ab cos C

たとえばaを求める式では、右辺のbとcは角Aをはさむ2辺です。覚えるときは「求めたい辺の2乗は、ほかの2辺の2乗の和から、その2辺の積の2倍と、間の角のcosとの積を引く」と読みます。A=90°ではcos A=0なのでa²=b²+c²となり、三平方の定理に一致します。

この式は、辺ABを水平に置くと導けます。Aを原点、Bを(c,0)、Cを(b cos A,b sin A)とすると、BC²=(c-b cos A)²+(b sin A)²です。展開してsin² A+cos² A=1を使えば、c²-2bc cos A+b²が残ります。鈍角の場合はb cos Aが負になりますが、同じ計算が成り立つので、図を鋭角の場合だけに限定する必要はありません。

3辺がわかるときは、cos A=(b²+c²-a²)/(2bc)と変形します。Aは0°から180°の間なので、cos A>0ならAは鋭角、cos A=0なら直角、cos A<0なら鈍角です。ただし「三角形全体が鋭角三角形か」を判定するには、最大の辺に向かい合う最大の角を調べます。小さい角が鋭角だとわかっても、別の角が鈍角かもしれないからです。

最長辺をaとしたとき、a²<b²+c²なら鋭角三角形、a²=b²+c²なら直角三角形、a²>b²+c²なら鈍角三角形です。なお、その前に3辺が三角形を作るかを確認します。各辺が正で、最長辺がほかの2辺の和より短いことが必要です。2辺b、cに対する残りの辺aの範囲としては、|b-c|<a<b+cと書けます。等号のときは3点が一直線に並び、面積のある三角形にはなりません。

合同を除いて三角形が1つに決まる基本の条件は、3辺、2辺とその間の角、1辺と2角です。2角がわかれば3つ目の角も決まりますが、角だけでは大きさは決まりません。また、2辺とその間ではない角の場合は、条件によって0個・1個・2個になります。この違いは、公式の選択だけでなく、得られた答えをすべて拾ううえでも重要です。

面積・内接円・ヘロンの公式

三角形の面積をSとすると、S=(1/2)bc sin Aです。同じ面積をS=(1/2)ca sin B、S=(1/2)ab sin Cとも書けます。ここでも、sinに入る角は選んだ2辺の間の角です。底辺をcとしたときの高さがb sin Aになるため、底辺×高さ÷2がこの式になります。角Aが鈍角で垂線の足が辺の延長上に出ても、sin Aは正なので面積は正になります。

2辺b、cを固定して角Aを変えるなら、sin A≦1からS≦bc/2です。最大になるのはA=90°のときです。三角形を横に広げて見える形にすれば必ず面積が増えるのではなく、底辺に対する高さが最も大きくなる配置を考えます。

三角形の3辺に接する円を内接円といい、その半径をrとします。内心Iから各辺へ下ろした垂線の長さはすべてrです。Iと3頂点を結んで三角形を3つに分けると、S=ar/2+br/2+cr/2=(a+b+c)r/2になります。半周長s=(a+b+c)/2と置けば、S=rs、r=S/sです。外接円のRは頂点までの距離、内接円のrは辺までの距離なので、同じ「円の半径」でも役割が異なります。

3辺しかわからないときは、ヘロンの公式S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))も使えます。ここでsは周長の半分です。長さを全部足した値をそのままsに入れると誤りになります。三角形が成立していればs-a、s-b、s-cはすべて正ですから、平方根の中も正になります。

ヘロンの公式は余弦定理と面積公式からつながります。S=bc sin A/2を2乗し、sin² A=1-cos² Aと余弦定理を使うと、16S²=4b²c²-(b²+c²-a²)²です。右辺を平方の差として因数分解すると、((b+c)²-a²)(a²-(b-c)²)となり、さらに(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)になります。それぞれを2s、2(s-a)、2(s-b)、2(s-c)と置き換えると、ヘロンの公式が得られます。3辺から角を求めずに面積へ進めるのは、角に関する部分をこの変形で取り除いているからです。

例題で解き方を確かめる

例題1　正弦定理で辺と外接円の半径を求める

三角形ABCでa=6、A=30°、B=45°とします。辺bと外接円の半径Rを求めましょう。辺aと角Aが向かい合う組としてそろっているため、正弦定理から始められます。

角の条件を確認します。C=180°-30°-45°=105°となり、3つの角はすべて正です。1辺と2角が与えられているので、三角形の大きさと形は決まります。
aとAの組から共通の比を求めます。a/sin A=6/(1/2)=12です。この値を先に出せば、辺bと半径Rの両方に使えます。
b/sin 45°=12より、b=12×√2/2=6√2です。辺を求めるにはsinの値を掛けます。
2R=12よりR=6です。正弦定理の共通の比は直径に当たるので、半分にして半径に直します。

答え：b=6√2、R=6。

A<Bなので、その向かいの辺もa<bになるはずです。6<6√2となっており、この大小関係とも合います。計算の最後に図形としての関係を照らし合わせると、分数を逆にした誤りにも気づきやすくなります。

例題2　余弦定理から面積と内接円へ進む

三角形ABCでb=4、c=6、A=60°とします。辺a、面積S、内接円の半径rを求めましょう。4と6の2辺が60°をはさんでいるので、余弦定理と面積公式を直接使えます。

余弦定理に代入します。a²=4²+6²-2×4×6×cos 60°=16+36-24=28です。辺の長さは正なので、a=√28=2√7となります。
面積は間の角を使って求めます。S=(1/2)×4×6×sin 60°=12×√3/2=6√3です。辺aが求まるまで待たなくても、この面積計算はできます。
半周長を求めます。s=(2√7+4+6)/2=5+√7です。内接円の半径には3辺の和が必要なので、この段階で辺aを使います。
S=rsよりr=6√3/(5+√7)です。分母を有理化するとr=6√3(5-√7)/(25-7)=√3(5-√7)/3となります。

答え：a=2√7、S=6√3、r=√3(5-√7)/3。

ヘロンの公式でも面積を確かめられます。s-a=5-√7、s-b=1+√7、s-c=√7-1なので、S²=(5+√7)(5-√7)(1+√7)(√7-1)=18×6=108です。S>0よりS=6√3となり、先ほどの値に一致します。同じ答えへ別の式から到達すると、半周長や角の選び方が合っているかを点検できます。

例題3　2辺とその間ではない角を調べる

三角形ABCでA=30°、a=5、b=8とします。三角形は何通りあり、それぞれの辺cはいくつでしょうか。aは角Aの向かいの辺なので、与えられた角は2辺a、bの間の角ではありません。

正弦定理で角Bの候補を調べます。5/sin 30°=8/sin Bよりsin B=4/5です。sinの値が0と1の間なので、0°<B<180°には鋭角と鈍角の2候補があります。
鋭角の候補をβと置きます。sin 30°=1/2<4/5なので30°<β<90°です。もう一方は180°-βで、どちらもA+B<180°を満たします。鈍角の候補でもA+B=210°-β<180°となるためです。
辺cは余弦定理で求めます。5²=8²+c²-2×8×c×cos 30°より、c²-8√3c+39=0です。既知の角Aを使えば、知らない角βの値を小数で求める必要はありません。
平方完成すると(c-4√3)²=9なので、c=4√3+3またはc=4√3-3です。どちらも正で、後で図3に示す2つの配置に対応します。

答え：三角形は2通りあり、c=4√3+3またはc=4√3-3。

正弦定理から角の候補を調べ、余弦定理から辺を正確に求めるという組合せです。どちらか一方の定理だけで最後まで進めることにこだわる必要はありません。角を小数に丸めずに計算できる方法を選ぶと、答えの根号も保てます。

例題4　円に内接する四角形の面積を求める

円周上にA、B、C、Dがこの順に並ぶ凸四角形で、AB=2、BC=3、CD=3、DA=4とします。対角線ACの長さと四角形の面積Kを求めましょう。円に内接する四角形では向かい合う角の和が180°になることを使います。

図2のように対角線ACを引くと、三角形ABCと三角形ADCができます。両方に共通する辺ACを2通りに表すことが、まだわからない角を求める手掛かりです。図の円は、4つの頂点が同じ円周上にあることを示しています。

角ABCをθと置きます。角ADCは180°-θなので、cos(180°-θ)=-cos θです。円周上の頂点の順序を確認してから、向かい合う角を組にします。
三角形ABCではAC²=2²+3²-2×2×3 cos θ=13-12 cos θです。三角形ADCではAC²=4²+3²-2×4×3 cos(180°-θ)=25+24 cos θとなります。
同じAC²なので13-12 cos θ=25+24 cos θです。これよりcos θ=-1/3となり、AC²=13+4=17、AC=√17です。
θは三角形の内角なのでsin θ>0です。sin θ=√(1-1/9)=2√2/3となり、K=(1/2)×2×3×sin θ+(1/2)×4×3×sin(180°-θ)=9×2√2/3=6√2です。

答え：AC=√17、K=6√2。

向かい合う角のcosは符号が反対ですが、sinは等しくなります。そのため、対角線の式を立てるときと面積を足すときで、符号の扱いが変わります。四角形の4辺だけを見て三角形のヘロンの公式へ代入せず、まず2つの三角形に分けて考えましょう。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　角の向かいと角の両側を取り違える

誤った書き方：例題2でS=(1/2)ab sin Aとします。aとbを掛けたのに、その間にはない角Aを選んでいます。面積公式はどの2辺でも選べますが、選んだ2辺と角はひと組です。

どこが違うか：角Aを作る辺はABとAC、つまりcとbです。辺aはAに接しておらず、向かいにあります。「正弦定理では向かい」「余弦定理の右辺と面積公式では間」という位置関係を混同しています。

正しい書き方：S=(1/2)bc sin A=(1/2)×4×6×sin 60°です。式を書く前に角Aを小さな弧で囲み、その両側の辺を指でたどってください。a、bを使いたければS=(1/2)ab sin Cですが、例題2では角Cが未計算なので遠回りになります。

誤り2　sinの値から鋭角だけを答える

誤った書き方：例題3で「sin B=4/5だからBは鋭角で、三角形は1つ」とします。電卓などで鋭角の値が得られても、それだけで内角の候補をすべて調べたことにはなりません。

どこが違うか：sin B=sin(180°-B)なので、同じsinの値をもつ内角が2つある場合があります。図3ではAから右に伸びる半直線上にBを置き、AC=8、角A=30°を固定しています。Cを中心とする半径5の円がその半直線と2点で交わり、それぞれが辺BC=5を満たすBの位置になります。

Cから半直線へ下ろした垂線の足をHとすると、CH=8 sin 30°=4、AH=8 cos 30°=4√3です。円の半径は5なので、HB=√(5²-4²)=3です。図3の左側のB₁はAB₁=4√3-3、右側のB₂はAB₂=4√3+3となり、例題3の答えがそのまま図に現れます。B₁での内角は鈍角、B₂での内角は鋭角です。

正しい書き方：鋭角の候補βと鈍角の候補180°-βを挙げ、それぞれA+B<180°を確認します。sinの方程式に解が2つあっても、角の和の条件で片方が除かれることがあります。「sinから候補、角の和から採用」と分けて考えましょう。

Aが鋭角でbを固定した場合は、高さh=b sin Aで個数を整理できます。a<hなら交点がなく0個、a=hなら接して1個、h<a<bなら2個、a≧bなら1個です。a=bでは一方の交点がAに重なり、三角形として数えられません。Aが直角または鈍角なら、その向かいの辺aはbより長くなければならず、a>bなら1個、それ以外は0個です。この分類を丸暗記する前に、半直線上のどこに交点が残るかを図で考えると境目の意味がわかります。

誤り3　立体の斜めの辺をそのまま高さにする

誤った書き方：底面積48、頂点から底面の頂点までの辺の長さ13である四角錐の体積を、48×13÷3とします。錐の体積に入れる高さは、頂点から底面へ垂直に下ろした線分の長さです。斜めの辺の長さとは限りません。

どこが違うか：見取図では、本当の直角が直角に見えないこともあります。紙の上での見た目から垂直を判断せず、「頂点Pから底面への垂線の足O」という条件を使います。底面上の点Bと結べば、三角形POBはOで直角です。

正しい書き方：OB=5、PB=13ならPO²=PB²-OB²=169-25=144よりPO=12です。体積は48×12÷3=192になります。空間図形では、まずP、O、Bを通る平面内の三角形を別に描くと、必要な高さがはっきりします。

直線PBと底面のなす角も、この三角形で考えられます。PBを底面へ垂直に写した線分がOBなので、求める角は角PBOです。したがってsin∠PBO=PO/PB=12/13となります。側面と底面のなす角を扱うときは、両平面の交線に垂直な線をそれぞれの平面内に引き、その2線のなす角を使います。線と面の角と、2つの面の角では取り出す断面が違うため、求める角の頂点まで確認しましょう。

練習問題

練習1

三角形ABCでa=4√3、A=60°、B=45°です。辺bと外接円の半径Rを求めてください。まず、向かい合う辺と角の組に印を付け、正弦定理の共通の比を求めましょう。

練習2

3辺の長さが5、5、6である三角形について、面積Sと内接円の半径rを求めてください。また、この三角形が鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形のどれか判定してください。形状の判定には最長辺の向かいの角を使います。

練習3

三角形ABCでA=30°、a=4、b=8です。三角形は何通りあり、辺cはいくつですか。例題3との違いを高さに注目して説明してください。角の候補が2つあるかどうかも確かめましょう。

練習4

底面ABCDがAB=6、BC=8の長方形である四角錐P-ABCDを考えます。底面の対角線の交点をOとし、POは底面に垂直、PO=12とします。側辺PB、体積V、側辺PBと底面のなす角αのsin αを求めてください。底面の対角線と、頂点からの高さを使って直角三角形を取り出します。

答えと解説

練習1の答え：b=4√2、R=4です。a/sin A=4√3/(√3/2)=8なので、b=8×sin 45°=4√2、2R=8よりR=4です。残りの角はC=75°で、角の和の条件も満たしています。

練習2の答え：S=12、r=3/2、鋭角三角形です。s=(5+5+6)/2=8なので、ヘロンの公式からS=√(8×3×3×2)=12です。r=S/s=12/8=3/2となります。最長辺について6²=36<5²+5²=50なので、最大の角も鋭角です。二等辺三角形の頂点から底辺6へ高さを下ろすと、底辺の半分は3、高さは√(25-9)=4となり、6×4÷2=12からも面積を確かめられます。

練習3の答え：1通りで、c=4√3です。正弦定理からsin B=8×sin 30°/4=1なのでB=90°です。高さh=8 sin 30°=4とaが等しく、円が半直線に接する場合に当たります。余弦定理でもc²-8√3c+48=0、すなわち(c-4√3)²=0となります。C=60°で、三角形は成立します。

練習4の答え：PB=13、V=192、sin α=12/13です。底面の対角線BD=√(6²+8²)=10で、Oはその中点だからOB=5です。直角三角形POBよりPB=√(12²+5²)=13となります。V=(1/3)×6×8×12=192、α=∠PBOなのでsin α=PO/PB=12/13です。角度そのものを近似値に直す必要はありません。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

正弦定理と余弦定理は、平面の図形問題だけで完結しません。数学IIの三角関数では角の範囲をさらに広げ、数学Cのベクトルでは長さと角度を内積で結びます。余弦定理の2bc cos Aという部分を理解しておくと、ベクトルを使った長さの計算にもつながります。また、面積を2通りに表して等式を作る考え方は、図形の証明や最大・最小の問題にも使えます。

家庭での確認は、5分でできる次の2つが役立ちます。1つ目は、紙に向きの異なる三角形を2つ描き、頂点A、B、Cに対してa、b、cを書き込むことです。そのあと角Aをはさむ辺を言葉で答え、正弦定理と面積公式を1つずつ書きます。図が回転しても対応を保てるかが確認点です。

2つ目は、長さ3、4、5の三角形で、面積、外接円の半径、内接円の半径を順に求めることです。S=6、R=5/2、s=6、r=1となり、同じ図で3種類の量を区別できます。お子さまと確認する場合も、式を先に伝えるより、「その半径は頂点まで、それとも辺までですか」とたずねると、円の役割が伝わっているかを見られます。

個別指導で確かめる際は、計算の誤りなら分数・根号・方程式まで戻り、公式の選択で止まるなら辺と角の対応まで戻ります。空間図形で止まる場合は、立体全体を一度に読むのではなく、垂線の足を含む三角形を取り出せるかを確認します。