【高校 数学I】三角比のつまずき診断—5問で間違え方の型を見つけ、戻る場所を決める｜武蔵野個別指導塾

答えは、sinθ = 3/5、cosθ = 4/5、tanθ = 3/4です。

1. 直角Cの向かいにあるABが斜辺です。角Aに接していないBCがθの向かいの辺で、CAがθに接する斜辺以外の辺です。
2. sinθ = BC/AB、cosθ = CA/ABと書きます。どちらも分母は斜辺の5です。数字を入れると3/5、4/5になります。
3. tanθ = BC/CAなので3/4です。tanでは分母に斜辺を使いません。sinθ ÷ cosθ = (3/5) ÷ (4/5) = 3/4としても確かめられます。

A型：sinθ = 4/5、cosθ = 3/5としました。原因として、角Aではなく角Bを基準に辺を見たことが考えられます。戻り先は三角比のつまずき解説です。読むところの目安は、三角比を辺の比として考える説明です。角Aに指を置き、そこに接していない辺BCを先に見つけてください。同じ三角形でも注目する角が変わると、向かいの辺と接する辺が入れ替わります。

A型：sinθ = 5/3、cosθ = 5/4としました。原因は、斜辺で割る関係を逆にしたことかもしれません。戻り先は三角比の定義・拡張・相互関係です。読むところの目安は、直角三角形でのsinとcosの定義です。斜辺はほかの2辺より長いので、鋭角のsinとcosは0より大きく1より小さい値になります。今回の5/3と5/4がその範囲を外れることも確かめます。

A型：tanθ = 3/5としました。原因は、3種類とも斜辺で割ると思ったことです。戻り先は三角比の定義・拡張・相互関係です。読むところの目安は、tanがどの2辺の比かを示す説明です。BCとCAだけを指でなぞり、「向かいの辺 ÷ 接する斜辺以外の辺」と言ってから3/4を書きます。図を回転させても同じ辺を選べたら、再確認1へ進んでください。

答えは、sin30° = 1/2、cos60° = 1/2、tan45° = 1です。

1. 1辺が2の正三角形を、高さで2つに分けます。できた直角三角形では、30°の向かいの辺が1、60°の向かいの辺が√3、斜辺が2です。高さは√(2² − 1²) = √3と求められます。
2. sin30°は1 ÷ 2、cos60°も1 ÷ 2です。角が違っていても、今回は同じ短い辺を斜辺で割っています。
3. 45°をもつ直角二等辺三角形では、直角を挟む2辺を1、1とすると斜辺は√2です。tan45°は1 ÷ 1なので1です。

B型：sin30°やcos60°を√3/2としました。原因として、短い辺1と長い辺√3の対応を入れ替えたことが考えられます。戻り先は三角比の定義・拡張・相互関係です。読むところの目安は、30°・60°の三角比と直角三角形の対応です。小さい角30°の向かいには短い辺1が来ると確かめ、三角形に角度と辺の比を一緒に書き直します。

B型：tan45°を√2/2としました。原因は、sin45°やcos45°の値をtanにも使ったことかもしれません。戻り先は三角比の定義・拡張・相互関係です。読むところの目安は、45°の値とtanの定義です。斜辺√2を分母に入れず、等しい2辺の比1/1を作ってください。値の表の列を思い出すだけでなく、使った辺を指せるかを確かめます。

B型：tan45°を45としました。原因は、角度の数そのものが三角比の値になると考えたことです。戻り先は三角比のつまずき解説です。読むところの目安は、角度に応じて辺の比を考える説明です。45°は角の開きで、tan45°はその角をもつ三角形の2辺の比です。2辺を2、2に変えても2 ÷ 2 = 1となることを試し、再確認2で別の角の値を求めてください。

答えは、sin120° = √3/2、cos120° = −1/2、tan120° = −√3です。

1. 120°は90°より大きく180°より小さいので、点Pは原点の左上にあります。x座標は負、y座標は正です。負のx軸との間の角は180° − 120° = 60°です。
2. 60°の点をy軸に関して折り返すと120°の点になります。点Pの座標は(−1/2, √3/2)です。半径1ではcosがx座標、sinがy座標に当たります。
3. tan120° = sin120° ÷ cos120° = (√3/2) ÷ (−1/2) = −√3です。分子は正、分母は負なので、商は負になります。

C型：3つとも正の値にしました。原因は、鈍角でも辺の長さの比だけで考え、座標の正負を落としたことです。戻り先は三角比のつまずき解説です。読むところの目安は、辺の比から座標の比へ見方を切り替える説明です。直角三角形の辺の長さは負になりませんが、左側の点のx座標は負です。長さと座標を区別して書き、cosとtanの符号を付け直してください。

C型：鈍角なのでsin120°も負にしました。原因は、「鈍角なら負」とまとめて覚えたことかもしれません。戻り先は三角比の定義・拡張・相互関係です。読むところの目安は、0°〜180°の範囲での座標による定義です。上半分の円ではy座標が負にならないことを図で見ます。sin、cos、tanを別々に判定し、tanはy/xから確かめてください。

B型：sin120° = 1/2、cos120° = −√3/2としました。原因として、基準にする角60°を30°と取り違えたことが考えられます。戻り先は三角比の定義・拡張・相互関係です。読むところの目安は、180° − θの角と三角比の対応です。180° − 120° = 60°と先に書き、値の大きさを決めてから符号を付けます。大きさと符号を一度に思い出そうとせず、2段階に分けて再確認3を解きましょう。

答えは、cosθ = −4/5、tanθ = −3/4です。

1. sin²θ + cos²θ = 1にsinθ = 3/5を代入します。cos²θ = 1 − (3/5)² = 1 − 9/25 = 16/25です。
2. 2乗が16/25となる数は4/5と−4/5です。θは鈍角なのでcosθは負と決まり、cosθ = −4/5になります。
3. tanθ = sinθ ÷ cosθを使い、(3/5) ÷ (−4/5) = (3/5) × (−5/4) = −3/4と計算します。負になることは鈍角の座標でも確認できます。

D型：cosθ = 2/5としました。原因は、sinθ + cosθ = 1と考え、1 − 3/5を計算したことかもしれません。戻り先は三角比の定義・拡張・相互関係です。読むところの目安は、sin²θ + cos²θ = 1の説明です。足して1になるのはそれぞれの2乗です。分子と分母を両方2乗し、1を25/25に直してから引き算してください。

C型：cosθ = 4/5、tanθ = 3/4としました。原因は、平方根を求めたあとに角の範囲を使わなかったことです。戻り先は三角比の定義・拡張・相互関係です。読むところの目安は、鈍角の符号と相互関係を組み合わせる内容です。2乗の式だけでは符号が決まりません。問題の90° < θ < 180°に線を引き、原点の左上の点を描いて負を選んでください。

D型：cosθ = −4/5までは合っていますが、tanθ = −4/3としました。原因は、tanの関係式の分子と分母を逆にしたことです。戻り先は三角比の定義・拡張・相互関係です。読むところの目安は、tanθ = sinθ/cosθの関係です。sinをcosで割る順を先に書き、そのあと分数を代入します。tanθ × cosθがsinθに戻るかを確かめ、再確認4へ進んでください。

答えは、柱全体の高さが7.5mです。

1. 観測点から柱へ水平な線を引き、柱との交点を考えます。その交点は地面から1.5mです。交点から先端までの高さの差をh mとすると、直角三角形の横の辺が6m、縦の辺がh mになります。
2. 45°に対する向かいの辺がh、接する斜辺以外の辺が6なので、tan45° = h/6です。tan45° = 1よりh = 6 × 1 = 6です。
3. 6mは観測点の高さから上の部分です。柱全体では6 + 1.5 = 7.5となり、7.5mです。観測点からの視線は斜辺ですが、その長さを求める必要はありません。

E型：6 × sin45° = 3√2として、1.5を足しました。原因は、水平距離6mを斜辺と取り違えたことです。戻り先は三角比の定義・拡張・相互関係です。読むところの目安は、直角三角形の定義と辺の対応です。6mと書く場所を水平な辺の上に移し、求める縦の辺との比がtanであることを確かめます。分かっている長さがどの辺かによって、使う比が変わります。

E型：柱全体の高さを6mとしました。原因は、三角比で求まる高さの差と、地面からの全高を混同したことです。戻り先は三角比の定義・拡張・相互関係です。読むところの目安は、図の辺と求める長さを対応させる内容です。図の縦方向を、地面から観測点の高さまでの1.5mと、そこから先端までの6mに分けます。求めた線分の両端を指で示してから、必要な部分を足してください。

E型：6 × 45 + 1.5 = 271.5としました。原因は、角度45°を倍率として使ったことです。戻り先は三角比のつまずき解説です。読むところの目安は、角度と辺の比のつながりです。かける値は45ではなくtan45°の1です。45°の直角三角形は縦と横が等しくなることを図で確かめてください。再確認5では角度も変わるので、もう一度比の式から作ります。

答えは、sinθ = 12/13、cosθ = 5/13、tanθ = 12/5です。

斜辺はABのままですが、角Bの向かいはCA、接する斜辺以外の辺はBCです。sinθ = CA/AB、cosθ = BC/AB、tanθ = CA/BCと書けば、数字を入れる場所が決まります。確認問題の問1と同じ位置に数字を置いてしまった場合はA型へ戻ります。tanθが1より大きくても間違いではありません。今回は向かいの辺12が接する辺5より長いので12/5になります。sinとcosの範囲をtanにまで当てはめないようにします。

答えは、sin45° = √2/2、cos30° = √3/2、tan60° = √3です。

45°では1、1、√2の三角形を使い、sin45° = 1/√2 = √2/2です。30°と60°では1、√3、2の三角形を使います。30°に接する斜辺以外の辺は√3なのでcos30° = √3/2です。60°の向かいは√3、接する斜辺以外の辺は1なのでtan60° = √3/1です。1/√2という答えも同じ値として正解です。表を思い出せない場合はB型の戻り先で三角形を描き、値を作り直してください。

答えは、sin150° = 1/2、cos150° = −√3/2、tan150° = −√3/3です。

180° − 150° = 30°です。150°の点は左上にあるので、cosは負、sinは正です。30°の値から大きさを決めると座標は(−√3/2, 1/2)となります。tan150° = (1/2) ÷ (−√3/2) = −1/√3 = −√3/3です。−1/√3も同じ値です。大きさは合っていて符号だけ違う場合はC型、30°の値から違う場合はB型へ戻ります。負号を根号の中へ入れる必要はありません。

答えは、sinθ = 12/13、tanθ = −12/5です。

sin²θ = 1 − (−5/13)² = 1 − 25/169 = 144/169です。負の数でも2乗すると正になります。θは鈍角で点が上半分にあるため、sinθ = 12/13を選びます。tanθ = (12/13) ÷ (−5/13) = −12/5です。2乗を外す前の144/169をsinθの答えにした場合はD型へ戻ります。符号だけを誤ったらC型です。最後に144/169 + 25/169 = 1と、tanθ × cosθ = sinθの両方を確認してください。

答えは、柱全体の高さが5.2mです。

観測点の高さから先端までの差をh mとすると、tan30° = h/(4√3)です。tan30° = 1/√3なので、h = 4√3 × (1/√3) = 4です。これに観測点の高さ1.2mを足して5.2mとなります。4mで止めた場合はE型の高さの区別へ、sinを使った場合はE型の辺の対応へ戻ります。tan30°を√3とした場合はB型です。30°は45°より小さいので、縦の差4mが横の距離4√3mより短いことも図と合っています。