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【数学C】平面ベクトルを図解で総まとめ—成分・内積・位置ベクトル・直線のベクトル方程式｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.10.12更新 2026.10.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学単元解説（数I・A・II・B・III・C）

【数学C】平面ベクトルを図解で総まとめ—成分・内積・位置ベクトル・直線のベクトル方程式のアイキャッチ武蔵野個別指導塾

矢印の足し算から内積、内分点、重心と内心、直線のベクトル方程式へ進みます。図と例題を通して、係数の条件が終点の存在範囲をどう変えるかまで確かめられます。

よくあるのは、模試会場の入口で入場前に復習用のノートを開き、図では右向きの矢印なのに、引き算をした式には負の数が現れていることが気になるという場面です。案内の矢印から目を戻しても、「右なら正、左なら負」という覚え方だけでは、斜めの矢印や始点がそろっていない図を判断できません。ベクトルの負号は、ただ左を表す記号ではありません。もとのベクトルと逆向きにする記号です。

平面ベクトルは、向きと大きさを持つ量を使って図形を調べる方法です。点の並び方を式に直せるので、平行や垂直、線分を分ける点、三角形の中心などを同じ道具で扱えます。図を見て推測した関係を、計算で説明できることが強みです。

最初は矢印のつなぎ方を確かめ、次に成分で計算し、最後に文字の動く範囲と点の動く範囲を結びつけましょう。答えが座標で出たら、その点が図のどこにあるのかまで戻ると、計算と図形が切り離されなくなります。

この単元で身につけること

ベクトルの和・差・実数倍を矢印で説明します。和は移動をつなぐ操作、差は逆向きの移動を加える操作と考えます。
成分を使ってベクトルの大きさと方向を調べます。点の座標からベクトルを作るときは、終点の座標から始点の座標を引きます。
内積からなす角や垂直を判定します。平行は実数倍で表せるかどうかを調べ、垂直とは条件を使い分けます。
位置ベクトルで内分点・重心・内心を表します。係数がどの長さの比に対応するかを、図と式の両方で確かめます。
直線のベクトル方程式と終点の存在範囲を読み取ります。同じ式でも、文字の条件によって直線・線分・三角形の内部などに変わります。

これまでの座標平面、三平方の定理、余弦定理、内分点の座標が土台になります。数学Cで扱うベクトルでは、それらを「2点間の移動」や「共通の原点から見た位置」として結び直します。座標計算が苦手なら、まず2点間の差を横と縦に分けるところから確かめれば進められます。

基本の考え方

矢印をつないで和を作り、逆向きにして差を作る

ベクトルは向きと大きさを持つ量です。点Aから点BへのベクトルをAB→と書きます。この本文では、a、b、uなどの文字も、ベクトルと断ったうえでベクトルを表すために使います。ABは線分の長さ、AB→は向きのある量として区別します。ベクトルの大きさは |a| のように縦線で囲みます。

向きと大きさがともに同じなら、始点の場所が違っても等しいベクトルです。紙の上の矢印を平行移動して重ねられるかを考えてみましょう。回転させなければ重ならない矢印は、長さが同じでも等しいとはいえません。始点と終点が一致するベクトルは零ベクトル0といい、大きさが0で、向きは定まりません。

和a+bは、aの終点にbの始点を置いてつなぎ、最初の始点から最後の終点へ引いた矢印です。道を右へ進んでから斜めに進むとき、和は出発点から到着点までの移動を表します。実際に歩いた道の長さと、和のベクトルの大きさは一般には違います。三角形の2辺の長さの和と、残りの1辺の長さが違うことに対応しています。

図1では、O(0,0)、A(4,0)、B(1,3)、C(5,3)を置いています。OA→=a、OB→=bとすると、AC→=bなのでOC→=a+bです。OからBを経由してCへ進んでも同じ終点に着きます。この平行四辺形から、a+b=b+aという交換法則も読み取れます。

実数kによる実数倍kaは、k>0ならaと同じ向き、k<0なら逆向きで、大きさが |k||a| になるベクトルです。k=0のときは零ベクトルになります。例えば -2a は、aと逆向きで長さが2倍です。負の数を掛けるときは、長さそのものを負にするのではありません。

差a-bはa+(-b)です。共通の始点OからOA→=a、OB→=bを描くと、BA→=a-bになります。OB→+BA→=OA→を変形すれば確かめられます。AB→はb-aなので、差の順番を逆にすると矢印の向きが反対になります。3点をたどるAB→+BC→=AC→も、途中のBを経由した移動をまとめた式です。

成分と内積で、長さ・角度・平行・垂直を調べる

横方向の変化がx、縦方向の変化がyであるベクトルを(x,y)と表します。A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)なら、AB→=(x₂-x₁,y₂-y₁)です。座標は点の場所を表し、成分は移動を表すため、同じ数の組でも何を表しているのかを添えて読む必要があります。

a=(a₁,a₂)、b=(b₁,b₂)に対して、a+b=(a₁+b₁,a₂+b₂)、a-b=(a₁-b₁,a₂-b₂)、ka=(ka₁,ka₂)です。大きさは三平方の定理から |a|=√(a₁²+a₂²) となります。大きさが1のベクトルを単位ベクトルといい、a≠0ならa/|a|はaと同じ向きの単位ベクトルです。逆向きの単位ベクトルは-a/|a|です。

2つの零ベクトルでないベクトルa、bのなす角θは、始点をそろえたときの0°≦θ≦180°の角です。内積a・bを |a||b|cosθ と定義します。内積の答えはベクトルではなく数です。成分ではa・b=a₁b₁+a₂b₂となるため、座標がわかれば角度を先に求めずに計算できます。

2つの表し方は余弦定理でつながります。始点をそろえた2本の矢印の終点間の距離は |a-b| なので、余弦定理から |a-b|²=|a|²+|b|²-2|a||b|cosθ です。一方、成分の差を平方して足すと、|a-b|²=|a|²+|b|²-2(a₁b₁+a₂b₂)となります。共通部分を比べると、成分で内積を計算する式が得られます。

内積にはa・b=b・a、a・(b+c)=a・b+a・c、(ka)・b=k(a・b)という性質があります。またa・a=|a|²です。例えば |a+b|²=|a|²+2a・b+|b|² と展開でき、和の大きさを求める場面で使えます。普通の数の積に似ていても、a・bは数になるので、その結果を再びベクトルと内積にする書き方はできません。

a、bがともに零ベクトルでないとき、a・b=0とa⊥bは同値です。内積が正ならなす角は鋭角または0°、負なら鈍角または180°です。角度を求めるにはcosθ=(a・b)/(|a||b|)を使います。零ベクトルがある場合は分母が0になるので、なす角の式は使えません。

平行は別の条件で調べます。a、bがともに零ベクトルでないとき、b=kaとなる実数kがあれば平行です。k>0なら同じ向き、k<0なら逆向きです。成分ならa₁b₂-a₂b₁=0でも判定できます。成分の比を割り算でそろえる方法は、成分に0があると使えない場合があるため、実数倍の式から確かめると安全です。

位置ベクトルから、分点と三角形の中心へ進む

基準となる点Oを決め、OA→を点Aの位置ベクトルといいます。A、B、Pの位置ベクトルをそれぞれa、b、pとすると、AB→=b-aです。位置ベクトルを使う理由は、始点の違う矢印を共通の基準から表し直すためです。原点をどこに選んでも、点どうしの差で表す移動は変わりません。

Pが線分ABをAP:PB=m:nに内分するとき、m、nは正で、AP→={m/(m+n)}AB→です。したがってp=a+{m/(m+n)}(b-a)=(na+mb)/(m+n)となります。A側の距離に対応するmは、整理後の式ではbに掛かります。係数を暗記するだけでなく、Aから全体のどれだけ進むかに戻ると取り違えを防げます。中点はm=nなのでp=(a+b)/2です。

外分点でも差を使えば整理できます。AP:PB=m:nで外分するときはm≠nで、p=(mb-na)/(m-n)です。m>nならPはBの先、m<nならAの先にあります。内分の公式の分母だけを変えるのではなく、分子にも符号の違いがあることに気をつけましょう。

三角形ABCの各頂点の位置ベクトルをa、b、cとすると、重心Gの位置ベクトルはg=(a+b+c)/3です。BCの中点Mの位置ベクトルは(b+c)/2で、GはAMをAG:GM=2:1に内分します。内分の式に入れるとg={a+2×(b+c)/2}/3となり、3頂点の平均が出てきます。

内心Iは3つの内角の二等分線の交点です。辺の長さをα=|BC→|、β=|CA→|、γ=|AB→|とすると、位置ベクトルはi=(αa+βb+γc)/(α+β+γ)です。重心と違い、各頂点に対する重みはその向かい側の辺の長さです。内心から3辺までの距離が等しいため、三角形IBC、ICA、IABの面積比がα:β:γになることと対応しています。

角の二等分線の性質からも確認できます。AIとBCの交点をDとするとBD:DC=γ:βなので、d=(βb+γc)/(β+γ)です。上のiはi={αa+(β+γ)d}/(α+β+γ)と書けるため、線分AD上にあります。同様にBからの角の二等分線上にもあるので、内心を表すことが確かめられます。中心という名前が同じでも、重心は中線、内心は角の二等分線から決まる点です。

例題で解き方を確かめる

例題1　成分の計算から大きさと単位ベクトルを求める

A(1,-2)、B(5,1)、C(-1,4)とします。u=AB→、v=AC→とおき、2u-v、|u|、uと同じ向きの単位ベクトルを求めましょう。

終点から始点を引き、u=(5-1,1-(-2))=(4,3)、v=(-1-1,4-(-2))=(-2,6)とします。Aの座標をそのまま成分に混ぜず、2本とも移動として表すためです。
成分ごとに計算し、2u-v=(8,6)-(-2,6)=(10,0)を得ます。縦成分が0なので、結果は横向きのベクトルだと読めます。
|u|=√(4²+3²)=5を求め、u/|u|=(4/5,3/5)とします。向きを保ったまま長さを1にするには、もとの長さで割ります。

答え：2u-v=(10,0)、|u|=5、同じ向きの単位ベクトルは(4/5,3/5)です。

単位ベクトルの確認では、成分を足して1になるかを調べるのではありません。大きさの2乗が(4/5)²+(3/5)²=1になるかを調べます。向きの確認にはuの正の実数倍になっていることを使います。

例題2　内積からなす角と垂直条件を求める

a=(2,1)、b=(1,3)とします。aとbのなす角θ、およびaとc=(t,2)が垂直になる実数tを求めましょう。

内積と大きさを求めます。a・b=2×1+1×3=5、|a|=√5、|b|=√10です。なす角の式には、この3つの量が必要です。
cosθ=5/(√5×√10)=1/√2=√2/2とします。0°≦θ≦180°の範囲でこの値になる角を選び、θ=45°を得ます。
垂直条件をa・c=0と書き、2t+2=0からt=-1を求めます。cの第2成分は2なので、cが零ベクトルでないことも確かめられます。

答え：なす角は45°、垂直になるのはt=-1です。

角度は2本の矢印の始点をそろえて考えます。図の離れた場所に描かれた矢印どうしの間の角を、そのままなす角にしてはいけません。また、内積5をcosθの値と取り違えると、cosθの範囲を超えてしまいます。必ず2つの大きさの積で割りましょう。

例題3　同じ三角形の内分点・重心・内心を求める

A(0,0)、B(6,0)、C(0,8)とします。ABをAP:PB=1:2に内分する点P、三角形ABCの重心Gと内心Iの座標を求めましょう。図2のように、直角三角形の中で各点を見比べると、中心の違いがはっきりします。

PはAからBへ全体の1/3だけ進んだ点です。p=(2a+b)/3=(2,0)となります。比1:2の1がAの係数になるわけではないことを、進む距離で確かめます。
重心は3頂点の平均なので、g={(0,0)+(6,0)+(0,8)}/3=(2,8/3)です。BCの中点M(3,4)に対してAG→=(2/3)AM→でも確かめられます。
内心の重みになる辺の長さを計算します。BC=√(6²+8²)=10、CA=8、AB=6です。向かい側の辺を各頂点に対応させ、i={10×(0,0)+8×(6,0)+6×(0,8)}/24=(2,2)を得ます。
内心から3辺までの距離を確認します。ABとCAまでの距離はともに2です。BCの直線は4x+3y-24=0なので、Iからの距離も |4×2+3×2-24|/√(4²+3²)=10/5=2です。3辺に等距離という内心の性質に合います。

答え：P(2,0)、G(2,8/3)、I(2,2)です。

図2ではGとIは同じ縦の直線上にありますが、高さは違います。この三角形でたまたまx座標が等しくなったのであり、すべての三角形で重心と内心が縦に並ぶわけではありません。数値例から読めることと、常に成立する性質を区別しましょう。

例題4　直線の式から交点と線分上の条件を求める

A(1,2)、B(5,4)を通る直線をベクトルで表し、直線x+y=6との交点Qを求めましょう。また、得られたQが線分AB上にあるかも調べます。

方向を表すベクトルをAB→=(4,2)とします。Aを出発点にしてその実数倍だけ進めば、直線上のすべての点を表せます。点Xの位置ベクトルxについて、x=(1,2)+t(4,2)、tはすべての実数、と書けます。
成分に分けるとXの座標は(1+4t,2+2t)です。交点はx+y=6も満たすため、(1+4t)+(2+2t)=6を解きます。3+6t=6よりt=1/2です。
t=1/2を代入してQ(3,3)を得ます。線分ABに対応するのは0≦t≦1なので、Qは線分AB上にあります。t=1/2は中点を表し、AQ:QB=1:1です。

答え：直線はx=(1,2)+t(4,2)（tは実数）、交点はQ(3,3)で、線分ABの中点です。

方向ベクトルは長さまで固定されている必要はありません。(2,1)を使うならx=(1,2)+s(2,1)でも同じ直線です。ただしBに達するのはs=2なので、線分ABの条件は0≦s≦2になります。方向ベクトルだけを変えて、文字の範囲をそのままにすると違う線分を表してしまいます。

直線には法線ベクトルを使う表し方もあります。法線ベクトルとは、その直線に垂直な零ベクトルでないベクトルです。この例ではn=(1,-2)が方向ベクトル(4,2)に垂直なので、n・(x-a)=0、すなわち(x-1)-2(y-2)=0と書けます。整理したx-2y+3=0にA、B、Qの座標を代入すれば、3点とも同じ直線上にあることを確かめられます。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　和の大きさを、大きさの和にする

誤った書き方は「|a+b|=|a|+|b|はいつでも成り立つ」です。どこが違うかというと、左辺は最初から最後までの移動の大きさで、右辺は2本の矢印の長さの合計です。方向が変われば、その2つは一致しません。

正しい書き方は |a+b|²=|a|²+2a・b+|b|² です。a=(3,0)、b=(0,4)ならa+b=(3,4)なので |a+b|=5ですが、|a|+|b|=7です。一般には |a+b|≦|a|+|b| で、零ベクトルでない2つのベクトルでは同じ向きのときに等号が成り立ちます。和を計算する前に、2本が同じ向きか、折れ曲がっているかを見ましょう。

誤り2　平行と垂直の判定を入れ替える

誤った書き方は「a・b=0だからaとbは平行」です。どこが違うかというと、内積0は、零ベクトルを除けばcosθ=0、つまりなす角90°を意味します。平行な2本の向きは0°または180°なので、角度の条件が違います。

正しい書き方は「a、bがともに零ベクトルでないとき、a・b=0なら垂直、b=kaとなる実数kがあれば平行」です。例えばa=(2,1)に対し(4,2)=2aは平行、(-1,2)は内積が2×(-1)+1×2=0なので垂直です。判定の前に「何を示したいか」を言葉で書き、その後で条件を選ぶと混同しにくくなります。

誤り3　係数の和が1なら、必ず線分上だと考える

誤った書き方は「p=(1-t)a+tbだから、tがどんな実数でもPは線分AB上」です。どこが違うかというと、係数の和が1であることだけでは、AやBの外側への延長も含まれます。t<0ならAの先、t>1ならBの先に出ます。

正しい書き方は「A≠Bのとき、tが実数全体なら直線AB、0≦t≦1なら線分AB」です。t≧0だけならAを始点としてBの方向へ延びる半直線です。端点を含むかどうかも条件の一部で、0<t<1ならAとBを除いた線分になります。

この区別を三角形へ広げます。一直線上にないO、A、BについてOA→=a、OB→=bとし、OP→=sa+tbと置きます。図3ではO(0,0)、A(6,0)、B(0,4)を選びました。成分はP(6s,4t)になるので、係数の条件を座標の条件に直して調べられます。

図3の左はs≧0、t≧0、s+t=1の場合です。このときt=1-sなのでOP→=sa+(1-s)bとなり、終点は線分AB上にあります。右はs≧0、t≧0、s+t≦1の場合で、終点は三角形OABの内部と周上を動きます。境界はs=0、t=0、s+t=1の3本です。条件の等号を1つの不等号に変えると、線分が面積を持つ範囲に変わります。

右の範囲について「中にある」だけでなく「中のすべての点を表せる」ことも確認しましょう。三角形内と周上の点(x,y)はx≧0、y≧0、x/6+y/4≦1を満たします。s=x/6、t=y/4と選べば元の条件を満たし、P=(6s,4t)で表せます。この逆向きの確認が、終点の存在範囲を漏れなく求めるために必要です。

なお、0≦s≦1、0≦t≦1だけなら、a+bを第4の頂点とする平行四辺形全体です。図3の例なら長方形になります。s+tの条件があるかどうかを見落とすと、三角形と平行四辺形を取り違えます。さらにs>0、t>0、s+t<1なら三角形の周を除いた内部です。a、bが平行だとこの三角形はできないため、最初の「一直線上にない」という条件も欠かせません。

練習問題

練習1

A(-2,1)、B(1,5)とします。AB→の成分、大きさ、AB→と逆向きの単位ベクトルを求めてください。大きさを出した後に、向きを変える符号を付ける順で考えましょう。

練習2

a=(1,2)、b=(3,1)、c=(k,-1)とします。aとbのなす角と、aとcが垂直になるkを求めてください。なす角は0°以上180°以下から選びます。

練習3

A(0,0)、B(8,0)、C(0,6)について、ABをAP:PB=3:1に内分するP、ABをAE:EB=3:1に外分するE、三角形ABCの重心Gと内心Iを求めてください。内心の係数には、頂点から出る辺ではなく向かい側の辺の長さを使います。

練習4

O(0,0)、A(4,0)、B(0,6)とし、OP→=sOA→+tOB→とします。s≧0、t≧0、s+t≦1のときのPの存在範囲を答え、その範囲で3x+yの最大値と、そのときのPを求めてください。境界を含むかも明記しましょう。

答えと解説

練習1の答えは、AB→=(3,4)、大きさ5、逆向きの単位ベクトル(-3/5,-4/5)です。成分の差は(1-(-2),5-1)と計算します。長さで割ってから負号を付けるため、求めたベクトルはAB→の -1/5 倍です。

練習2の答えは、なす角45°、k=2です。a・b=5、|a|=√5、|b|=√10なのでcosθ=1/√2となります。垂直条件はa・c=k-2=0です。k=2のときc=(2,-1)で、零ベクトルでもありません。

練習3の答えは、P(6,0)、E(12,0)、G(8/3,2)、I(2,2)です。内分はp=(a+3b)/4、外分はe=(3b-a)/2で、AE=12、EB=4から外分比も確認できます。辺の長さはBC=10、CA=6、AB=8なので、i=(10a+6b+8c)/24=(2,2)です。重心の計算に辺の長さは使いません。

練習4の答えは、三角形OABの内部と周上、最大値12、そのときP=A(4,0)です。P=(4s,6t)なので、範囲はx≧0、y≧0、x/4+y/6≦1となります。3x+y=12s+6t≦12s+12t≦12で、最初の等号にはt=0、次の等号にはs+t=1が必要です。両方を満たすs=1、t=0を選べるため、12は実際に達成される最大値です。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

平面ベクトルで使った成分の加減と内積は、空間ベクトルでも使います。成分が2つから3つになっても、終点から始点を引くこと、垂直を内積0で表すことは変わりません。また、直線を「出発点+文字×方向ベクトル」と表す考え方は、点の運動や媒介変数表示につながります。

家庭で5分ほど確かめるなら、次の2つを別々の日に試せます。1つ目は、方眼紙にAとBを置き、AB→とBA→の成分を書いて、矢印の向きが逆で成分の符号も逆になることを確かめる方法です。点を1つだけ動かして、成分がどのように変わるかも見てみましょう。

2つ目は、p=(1-t)a+tbにt=0、1/2、1、2を入れ、4つの点を図に置く方法です。A、Bの位置だけでなく、2を入れた点がBの先へ出る理由まで言葉にしてみます。お子さまの学習を見守る保護者の方も、公式を言えるかだけでなく「この点は線分の内側か外側か」を尋ねると、理解している部分を確かめやすくなります。

個別指導で確かめる際は、成分で止まれば負の数の引き算と座標の差まで、内積で止まれば三平方の定理と余弦定理まで戻ります。分点で止まる場合には、公式を書かずに「Aから全体の何分のいくつ進むか」を図に示せるか確認します。