【数学A】場合の数を図解で総まとめ—和の法則・積の法則から順列・組合せ・円順列・重複組合せまで｜武蔵野個別指導塾

樹形図、円順列、玉と仕切りの図から、順列と組合せの使い分けをたどります。整数づくりや組分けの例題を通して、かける理由と重複を除く理由を自分の言葉で確かめられます。

よくあるのは、コンビニのイートインで友人と並んで休憩し、宿題の「5人から2人を選ぶ」の答えを見せ合うと、一方は20通り、もう一方は10通りになっているという場面です。飲み物を脇に寄せて互いの計算をたどっても、かけ算の間違いは見つかりません。それでも答えが違うのは、選ばれた2人に役割があるのか、ただ2人の組を作るのかという、数える対象の違いを見落としているからです。

場合の数では、式を立てる前の読み取りが計算を支えます。AさんとBさんを選んだとき、ABとBAを別々に数える必要があるでしょうか。同じ人を続けて選んでもよいでしょうか。円形の席を全員で1つずつ移動したら、別の座り方になるでしょうか。こうした問いに答えると、使う式が絞られます。

この単元を学ぶと、数え上げるには多すぎる状況も、小さな選択に分けたり、同じものを何度数えたか調べたりして整理できます。記号を先に覚えるのではなく、1通りとは何かを決め、図と具体例から公式の意味を確かめていきましょう。

この単元で身につけること

• 集合の要素の個数を、重なりに注意して求めます。「AまたはB」に両方を満たすものも含まれることが出発点です。
• 和の法則と積の法則を使い分けます。重ならない場合に分けたら足し、1つの結果を段階的に作るときは各段階の選び方をかけます。
• 順列と組合せを、入れ替えた結果が別物かどうかで判断します。公式のPとCは、問題文の動詞だけでは決まりません。
• 円順列、重複順列、同じものを含む順列を扱います。回転、繰り返し、同じ文字という、それぞれ異なる条件を読み取ります。
• 組分けと重複組合せを、区別の有無から考えます。箱に名前があるか、空の箱を認めるかまで確認すると式が安定します。
• 組合せの考え方を式の展開へつなげます。二項定理の係数も、どのかっこからどの項を選ぶかという場合の数で説明できます。

中学校で使った表や樹形図と、集合の単元で学ぶ共通部分・和集合が土台になります。新しい公式を使った後も、数を小さくした樹形図に戻れば、数え漏れや重複を自分で点検できます。

基本の考え方

集合の個数と、足す・かけるの違い

有限集合Aの要素の個数をn(A)と書きます。たとえばA={1,2,3,4}ならn(A)=4です。B={3,4,5}とすると、共通部分A∩B={3,4}の個数は2、和集合A∪B={1,2,3,4,5}の個数は5です。「または」は、どちらか片方だけという意味ではなく、両方に入る要素も含む言葉です。

n(A)+n(B)=4+3=7では、3と4を2回ずつ数えています。重なった部分を1回引けばよいので、n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)となります。共通部分が空集合なら、引く個数は0です。このように、互いに重ならない場合の個数を足す決まりを和の法則といいます。

一方、上着を2着から1着、ズボンを3着から1着選ぶ服装は、2+3では数えられません。上着を1着決めるごとに、ズボンの選び方が3通りずつあるので、3+3=2×3=6通りです。最初の選択がm通りあり、そのどれに対しても次の選択がn通りあるとき、組にした結果はm×n通りになります。これが積の法則です。

図1のように、異なる3枚のカードA、B、Cから2枚を順に取り出す場面も、段階に分けて考えられます。戻さずに取り出すので、最初は3通り、次は残った2通りです。右端のABは「最初がA、次がB」という1つの結果を表しています。

図1の右端はAB、AC、BA、BC、CA、CBの6個です。どの最初の枝にも次の枝が2本あるため、3×2=6と計算できます。積の法則を使うのに、選択の内容が前の段階と無関係である必要はありません。Aを使った後はAを選べませんが、残る選択肢の個数がどの枝でも2個なので、かけ算で数えられます。

枝によって次の選択肢の個数が違うなら、同じ個数になる場合に分けてから足します。場合分けの基準は「どれかに必ず入る」「2つの区分に同時には入らない」の両方を満たす必要があります。最終的な答えを見て足すかかけるか決めるのではなく、結果を分類しているのか、1つの結果を順に組み立てているのかを考えます。

順列・組合せは、何を同じとみなすかで決まる

異なるn個からr個を取り出して順に並べることを順列といいます。ただしn、rは整数で、0≦r≦nです。その総数をnPrと書き、最初の位置がn通り、次がn-1通りと減るので、nPr=n×(n-1)×…×(n-r+1)となります。文字nとPとrを横に続けた記号として読み、数どうしのかけ算とは区別してください。

1からnまでの整数の積n×(n-1)×…×2×1をnの階乗といい、n!と書きます。この「!」は数学の記号です。すべてを並べるnPnはn!で、一般にはnPr=n!/(n-r)!と書けます。0!=1と定めると、全部選ぶ場合や何も選ばない場合にも同じ式が使えます。何も置かない並べ方は、空の並び1通りと考えます。

異なるn個から順序をつけずにr個を選ぶことを組合せといい、その総数をnCrと書きます。図1のABとBAは、選んだカードの組としては同じです。各2枚の組を2!=2回ずつ数えているので、3C2=3P2/2!=3となります。一般に、選んだr個の並べ方はr!通りあるため、nCr=nPr/r!=n!/{r!(n-r)!}です。

たとえば5人から代表者を2人選ぶなら5C2=5×4/(2×1)=10通りですが、委員長と副委員長を1人ずつ選ぶなら5P2=5×4=20通りです。役職を交換すると別の人選になるためです。「選ぶ」という語があっても、役割や位置を区別するなら順列になります。

また、n人からr人を選ぶことは、選ばれないn-r人を決めることと対応するので、nCr=nC(n-r)です。特定の1人に注目すると、その人を含む選び方と含まない選び方に分けられ、nCr=(n-1)C(r-1)+(n-1)Crも成り立ちます。後の式は1≦r≦n-1で考えると、両方の項をそのまま組合せとして読めます。

重複、円形、組分けへ考え方を広げる

同じものを繰り返し選んでよく、しかも順序を区別する場合を重複順列といいます。A、B、Cの3種類から繰り返しを認めて長さ4の記号列を作るなら、どの位置も3通りなので、3×3×3×3=81通りです。一般にn種類からr個を並べる総数はnのr乗です。ただし数字を並べて整数にするときは、先頭の0を認めるかどうかを別に確認します。

これに対し、最初から同じ文字を何個か含むものをすべて並べる問題では、文字の個数は固定されています。A、A、B、B、Cを並べるとき、仮にAとBに番号をつけると5!=120通りですが、Aどうしの交換2!通りとBどうしの交換2!通りは、番号を消すと見分けられません。よって5!/(2!×2!)=30通りです。同じものを含む順列では、各種類の個数の階乗で割ります。

円順列は、異なるものを円形に並べ、回転して重なる並びを同じとみなす問題です。1人の位置を固定し、その人から時計回りに残りを並べると、n人の場合は(n-1)!通りになります。席に番号がついているなら回転で移動した席は別物なので、この式は使えません。円形に見えるというだけで割らず、問題が何を同じ座り方としているかを読み取ります。

組分けでも、区別が鍵になります。異なる4人を名前のある甲組・乙組へ2人ずつ分けるなら、甲組を選ぶ4C2=6通りです。名前のない2組に分けるなら、甲乙を交換した2通りが同じ組分けになるため、6/2!=3通りです。名前のない組でも、大きさが違えばその大きさで組を見分けられます。異なる5人を2人組と3人組に分ける場合は、5C2=10通りをさらに2で割りません。

重複組合せは、同じ種類を繰り返し選んでよく、選んだ順序を区別しない問題です。3種類の品物から合計4個を選ぶなら、各種類の個数をx、y、zとして、x+y+z=4、x≧0、y≧0、z≧0を満たす整数の組を数えます。4個の玉と2本の仕切りを並べると、その個数を表せる理由は例題4で確かめます。

例題で解き方を確かめる

例題1　0を含むカードから偶数を作る

0、1、2、3、4と書かれたカードが1枚ずつあります。このうち3枚を使って3桁の偶数を作るとき、何通りできますか。同じカードは2回使わず、百の位に0は置けません。

1. まず制約の強い一の位を決めます。偶数なので一の位は0、2、4ですが、0を一の位で使うか残すかによって百の位の選択肢の個数が変わります。そこで「一の位が0」と「一の位が2または4」に分けます。
2. 一の位が0なら、百の位は1、2、3、4の4通りです。その後、十の位は残った3枚のどれでもよいので、4×3=12通りになります。この場合は0がすでに使われており、先頭について追加の除外はありません。
3. 一の位が2または4なら、その選び方は2通りです。百の位は0と使用済みの一の位を除く3通り、十の位は残る3枚から選ぶので3通りです。十の位には0を置けるため、2×3×3=18通りになります。
4. この2つの場合は重ならず、偶数をすべて含みます。和の法則で12+18=30と求めます。先に一の位を決めるのは、0の扱いを場合分けの中で整理するためです。

答え：30通りです。

「百の位、十の位、一の位」という筆算と同じ順番で数える必要はありません。制約が厳しい位置から埋めると、どの数字がまだ使えるかが見えやすくなります。逆に、途中で使ったカードを再び候補に戻さないことにも注意しましょう。

例題2　同じ大きさの組へ分ける

異なる6人を、2人ずつの3組に分けます。組に名前はなく、同じ組の中の並び順も区別しません。組分けは何通りありますか。

1. いったん組に甲・乙・丙という名前をつけます。甲組を6人から2人選ぶ方法は6C2=15通りです。組の中に役割はないので、6P2ではなく6C2を使います。
2. 乙組を残り4人から2人選ぶ方法は4C2=6通りです。残る2人が丙組に決まるので、丙組は2C2=1通りです。積の法則から15×6×1=90通りとなります。
3. できあがった3組を固定すると、甲・乙・丙という名前のつけ方は3!=6通りあります。問題では組の名前を区別しないため、同じ組分けを6回ずつ数えています。90/6=15と計算します。

答え：15通りです。

別の数え方でも確かめられます。特定の1人をAとすると、Aの相手は5通りです。残る4人のうち1人を決まった基準で選び、その相手を3通りから決めれば、最後の2人は自動的に組になります。5×3=15となり、同じ結果です。この方法では最初から組の名前をつけていないので、さらに3!で割る必要はありません。

例題3　円形に並び、2人が隣り合う

異なる5人A、B、C、D、Eが円形に並びます。回転して重なる並びを同じとし、裏返した並びは別とします。AとBが隣り合う並び方は何通りありますか。

1. AとBをひとまとまりとして考えます。すると並べる対象は「ABのまとまり、C、D、E」の異なる4個になります。隣接の条件を先に満たしてから全体を数えるためです。
2. この4個を円形に並べる方法は(4-1)!=3!=6通りです。1つのまとまりを基準に固定すれば、残りの3個の時計回りの順番を決めることに対応します。
3. まとまりの内部では、時計回りにA、Bと並ぶ場合とB、Aと並ぶ場合の2通りがあります。したがって6×2=12通りです。円の切れ目をどこに置いても、AとBが円周上で隣り合うことは変わりません。

答え：12通りです。

図2のように、Aを上に固定した後は、BがAの右隣か左隣にいる必要があります。図ではその2つの位置を赤く示しています。Bの位置が2通り、残る3つの位置へのC、D、Eの並べ方が3!通りなので、2×3!=12と別の方法でも確認できます。

図2の左右にBを置いた結果を同じとはみなしません。回転では、Aを固定したまま時計回りの順番を逆にできないからです。ネックレスなど裏返して一致するものまで同じに扱う問題は、円順列とは条件が異なります。ここで自動的にさらに2で割るのは誤りです。

例題4　3種類から重複を認めて選ぶ

A、B、Cの3種類の菓子から合計4個を選びます。各種類の在庫は十分にあり、同じ種類の菓子は区別しません。1個も選ばない種類があってもよいとき、選び方は何通りありますか。

1. A、B、Cを選ぶ個数を順にx、y、zとおきます。求めるのはx+y+z=4を満たす0以上の整数の組です。取り出す順序は問わないため、4つの位置に3種類を入れる重複順列ではありません。
2. 4個の玉と2本の仕切りを1列に並べます。最初の仕切りの左側をAの個数、2本の仕切りの間をBの個数、最後の仕切りの右側をCの個数と読みます。たとえば「玉玉｜｜玉玉」は(x,y,z)=(2,0,2)を表します。
3. 玉と仕切りを置く場所は合計6か所です。そのうち仕切りを置く2か所を選べば残りが玉に決まるので、6C2=6×5/(2×1)=15通りです。2本の仕切りどうしに名前はなく、左右の順に境界として読みます。

答え：15通りです。

同じ個数の組からは必ず1つの並びができ、1つの並びからは必ず1つの個数の組が読めます。この1対1の対応があるため、菓子の選び方を玉と仕切りの並べ方に置き換えられます。一般にn種類から重複を認めてr個選ぶ総数は、r個の玉とn-1本の仕切りを用いて、(n+r-1)C(n-1)=(n+r-1)Crです。n≧1、r≧0とし、どの種類も0個を認める場合の式です。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　重なる場合をそのまま足してしまう

誤った書き方は、「1から20までの整数で2の倍数または3の倍数は、10+6=16個」です。2の倍数が10個、3の倍数が6個という途中の数は正しいのですが、6、12、18は両方で数えられています。「または」という語を見ただけで、区分が重ならないと思い込んでいます。

正しい書き方は、共通する6の倍数を1回引いて、10+6-3=13個です。重なりを全部消したいのではなく、2回数えたものを1回に戻したいので、引くのは1回分です。場合分けを自分で作るなら、「2の倍数」と「2の倍数ではない3の倍数」に分けても、10+3=13個と数えられます。

誤り2　組の名前がないというだけで2!で割る

誤った書き方は、「5人を2人組と3人組に分けるので、5C2/2!=5通り」です。ここで5C2は、2人組に入る人を選んでいます。2人組と3人組を交換しても、3人組は2人組の選択肢にはならないので、この式には同じ組分けの重複がありません。

正しい書き方は、5C2=10通りです。一方、例題2の3つの組は人数が等しいため、甲・乙・丙という名前を入れ替えると、同じ組分けを繰り返し数えます。階乗で割る前に、完成した1つの結果を固定し、自分の数え方ではそれが何回登場するかを確かめてください。割る数は、問題に登場する組の数から機械的に決めるものではありません。

誤り3　重複組合せを重複順列で数える

誤った書き方は、例題4に対して「3種類から4回選ぶので3×3×3×3=81通り」です。この計算は、AABBとABABとBBAAを別の取り出し順として数えています。問題が求めるのは種類ごとの個数なので、これらはすべてAが2個、Bが2個、Cが0個という同じ選び方です。

さらに81を一律に4!で割る方法も使えません。AAAAは取り出し順が1通り、AAABは4通り、AABBは6通りと、同じ選び方を数えている回数が一定ではないからです。正しい書き方は、図3のように玉4個と仕切り2本の位置を選び、6C2=15通りとする方法です。

図3の上段は(2,1,1)、下段は(2,0,2)を表します。仕切りが隣り合ってもよく、先頭や末尾に仕切りを置いてもよいので、0個の種類を自然に表せます。これに対して「どの種類も1個以上」という条件なら、先にA、B、Cを1個ずつ確保し、残った1個を3種類へ振り分けます。その場合は3通りであり、0個を認める15通りとは答えが変わります。

練習問題

各問を解く前に、数える1通りを短い言葉で書いてください。「役職つきの2人」「回転を同じとする円形の並び」のように対象を言い直せると、式が問題の条件と一致しているかを確かめやすくなります。答えだけでなく、かけた理由や割った理由も1文添えて取り組みましょう。

練習1

異なる7人から委員長と副委員長を1人ずつ選びます。兼任はできません。また、同じ7人から役職のない代表者2人を選ぶ場合も考えます。それぞれ何通りありますか。

練習2

文字A、A、A、B、B、Cの6文字をすべて1列に並べます。同じ文字どうしを区別しないとき、異なる文字列は何通りできますか。

練習3

異なる6人A、B、C、D、E、Fが円形に並びます。回転して重なる並びは同じとし、裏返した並びは別とします。AとBが隣り合わない並び方は何通りありますか。

練習4

同じ玉7個を、名前のある3つの箱A、B、Cへ入れます。空の箱を認める場合と、どの箱にも1個以上入れる場合は、それぞれ何通りありますか。玉を入れる順番は区別しません。

答えと解説

練習1の答えは、役職つきが42通り、役職なしが21通りです。委員長を7通り、副委員長を残り6通りから選ぶので7P2=7×6=42です。役職なしでは、同じ2人を選ぶ順番を区別しないため、7C2=7×6/2!=21となります。

練習2の答えは60通りです。番号をつけて区別した6文字の順列6!から、Aどうしの交換3!通り、Bどうしの交換2!通りの重複を除きます。6!/(3!×2!)=720/(6×2)=60です。Cは1個なので1!で割っても値は変わりません。

練習3の答えは72通りです。全体は(6-1)!=120通りで、AとBが隣り合う場合は、まとまりを含む5個の円順列に内部の2通りをかけて(5-1)!×2=48通りです。隣り合う場合と隣り合わない場合は重ならず全体を覆うので、120-48=72と求めます。「ない」という条件では、全体から反対の場合を引く方法も候補になります。

練習4の答えは、空の箱を認める場合が36通り、各箱1個以上の場合が15通りです。前者は玉7個と仕切り2本から9C2=9×8/2=36です。後者は各箱へ先に1個ずつ入れ、残り4個の配り方を数えるので6C2=15です。箱に名前があるため、Aに7個とBに7個は別の結果になります。最後に3!で割る必要はありません。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

確率を考えるときは、条件を満たす場合の数と全体の場合の数を比べます。その土台として、両方を同じ基準で数えることが必要です。たとえば全体では取り出す順序を区別し、条件を満たす場合だけ順序を無視すると、数える単位がそろいません。また、確率で各場合を等しく扱えるかどうかは、場合の数とは別に確認する条件です。

数学IIで学ぶ二項定理にも、組合せが現れます。(a+b)³は、(a+b)(a+b)(a+b)の各かっこからaかbを選んでかけ、その結果を足したものです。a²bになるのは、3つのかっこのうちbを選ぶ1つを決める3C1=3通りです。ab²の係数はbを選ぶ2つを決める3C2=3で、展開はa³+3a²b+3ab²+b³となります。係数は、同じ項が何回現れるかを数えた結果です。

家庭で5分使うなら、1つ目はA、B、Cと書いた3枚の紙で図1を再現する確かめ方です。2枚を並べる6通りを書いた後、順番を無視したときに同じ組になるものを線で結びます。「なぜ2で割るか」を、式を見ずに説明できれば、順列と組合せの違いを捉えられています。

2つ目は玉の代わりの丸4個と縦線2本を紙に書き、図3の並びをいくつか動かす方法です。縦線を両端に置いた場合や隣り合わせた場合を作り、それぞれの種類の個数を読みます。保護者がお子さまと確かめるなら、答えを先に伝えるより「この並びは何個ずつを表しているの」と尋ねると、対応の理解を確認できます。

個別指導では、式が違った理由を、計算の誤りだけでなく「何を同じとしたか」まで戻って確かめます。必要なら3個程度の具体物を並べる段階に戻り、重複が何回ずつ起きているかを説明してから公式へ進みます。

まとめ

解き終えたノートには、式の横に「この1通りは何を表すか」を残しておきましょう。答えが合っていてもその説明が曖昧なら、席に番号がつく、同じ文字が増える、箱を空にできなくなるといった小さな条件変更で迷いやすくなります。反対に、完成した1つの結果を具体的に示せれば、自分の数え方で重複していないか、漏れていないかを確かめられます。

場合の数の正しさは、並べた式の長さではなく、数えたい結果を1つずつ過不足なく受け止める対応で決まります。

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あわせて読む（中学の単元解説・数学の地図）

• 【中2数学】確率を図解で総まとめ—樹形図と表で数え上げる
• 場合の数から順列・組合せ、組合せ論へ