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【数学I】2次方程式・2次不等式を図解で総まとめ—判別式とグラフで解を見る｜武蔵野個別指導塾
解の公式から文字係数の条件まで、4つの例題で手順を確認できます。判別式と放物線の位置関係、連立不等式の共通範囲、重解をもつ場合の端点を図で確かめましょう。
よくあるのは、返されたテストの余白で x²-x-6=0 を x=-2, 3 と解き直し、隣の x²-x-6>0 にも同じ答えを書いた理由を考え込むという場面です。採点の印を見比べても、境目を求める計算には間違いが見つかりません。それでも不等式の答えが直せないのは、等式と不等式で探しているものが違うためです。余白に境目だけでなく、その左右で式が正になるかも書き添えると、見直すべきところが見えてきます。
方程式が探すのは、左辺の値がちょうど 0 になる x です。不等式が探すのは、左辺の値が正、あるいは負になる x の範囲です。両者を結びつけるのが、左辺を y とおいた2次関数のグラフです。x 軸との交点を求め、その間や外側でグラフがどちらにあるかを読めば、計算結果を解の範囲へつなげられます。
ここでは実数の範囲で解を考えます。因数分解と解の公式から始め、判別式、2次不等式、連立不等式、文字を含む式の条件まで進みます。最後には「解がある」と「すべての x で成り立つ」の違いも、グラフの高さから説明できるようにしましょう。
この単元で身につけること
- 2次方程式を解く方法を選びます。因数分解できる式は積の形に直し、難しい式には平方完成や解の公式を使います。どの方法でも、元の式に代入して確かめる視点を持ちます。
- 判別式から実数解の個数を調べます。D=b²-4ac の符号を、放物線と x 軸の交わり方に結びつけ、解そのものが不要な問題では計算を短くします。
- 2次不等式の解を範囲で表します。放物線の開く向きと x 軸の上下を確かめ、不等号に等号があるかによって境目を含めるか決めます。
- 複数の条件を同時に満たす範囲を求めます。連立不等式では各条件を別々に解き、数直線で重なる部分を残します。「かつ」と「または」を区別します。
- 文字係数の値による場合分けを行います。2次の係数が 0 になる場合、重解になる場合、区間内に解をもつ場合を、問題文の条件に合わせて調べます。
中学校で学んだ因数分解、平方根と、高校数学Ⅰで学ぶ1次不等式・2次関数の平方完成が土台です。新しい公式を別々に覚えるより、式を整理する操作とグラフの見方をつなぐことで、解く順序が安定します。
基本の考え方
方程式の解はグラフの高さが 0 になる場所です
2次方程式の基本形は ax²+bx+c=0 です。a, b, c は定数で、a≠0 とします。右辺に項があるときは、まずすべて左辺へ移します。たとえば x²=3x+4 は x²-3x-4=0 です。右辺が 0 になって初めて、積が 0 になる性質や判別式をそのまま使えます。
(x-4)(x+1)=0 なら、x-4=0 または x+1=0 なので x=4, -1 です。ここで使ったのは「2つの実数の積が 0 なら、少なくとも一方が 0」という性質です。積が正のときに両方が正とは限らないことと区別しましょう。負の数どうしの積も正になるため、不等式では符号の組合せを調べる必要があります。
因数分解しにくいときも、平方完成なら同じ考え方で解けます。ax²+bx+c=0 の両辺を a で割り、定数項を移すと x²+(b/a)x=-c/a です。両辺に (b/(2a))² を足すと、(x+b/(2a))²=(b²-4ac)/(4a²) となります。左辺は実数の2乗なので 0 以上です。したがって、右辺が負なら実数解はありません。
右辺が 0 以上のとき、平方根を取って整理すると解の公式 x=(-b±√(b²-4ac))/(2a) が得られます。±はプラスの場合とマイナスの場合の両方を表します。分母の 2a は分子全体を割るので、括弧を省かないで書きましょう。なお √(4a²)=2|a| ですが、±の両方を取るため、公式は a の符号によらず同じ形になります。
この計算をグラフに置き換えると、y=ax²+bx+c の高さが 0 になる位置を探していることになります。たとえば高さを表す式が与えられ、地面の高さを 0 とする場面なら、方程式は地面に達する位置を、不等式は地面より上にある範囲を調べる役割です。ただし時間や長さには負の値を使えないことがあるので、応用問題では式の解と場面の条件を最後に照合します。
判別式は交点の個数を教えます
解の公式の根号の中を判別式といい、D=b²-4ac と書きます。D>0 なら異なる2つの実数解、D=0 なら1つの実数解である重解、D<0 なら実数解なしです。重解は同じ解が重なる場合を指し、異なる実数解の個数としては1個と数えます。
図1のように、上に開く3つの放物線を比べると、D>0 は x 軸と2点で交わる場合、D=0 は x 軸に接する場合、D<0 は x 軸と共有点をもたない場合に対応します。図の左から y=x²-2x、y=x²-2x+1、y=x²-2x+2 で、軸はいずれも x=1 です。定数項を1ずつ増やすとグラフ全体が1ずつ上がり、交点の数が変わります。
図1の左の頂点は (1, -1)、中央は (1, 0)、右は (1, 1) です。各判別式は順に 4, 0, -4 となります。交点の個数だけを聞かれたときは、解の公式で根号を計算しきらなくても、この符号で判断できます。
ただし D だけではグラフが x 軸の上にあるか下にあるかまでは決まりません。平方完成すると y=a(x+b/(2a))²-D/(4a) となり、頂点の高さは -D/(4a) です。D<0 のとき、a>0 ならグラフ全体が x 軸より上、a<0 なら全体が下にあります。交点の有無を表す D と、開く向きを表す a を組み合わせることが、不等式につながります。
不等式では正負と端点を読みます
異なる2つの実数解を α, β とし、α<β とします。a>0 のとき、a(x-α)(x-β) は x<α と β<x で正、α<x<β で負です。左の範囲では2つの因数がともに負、真ん中では一方だけが負、右の範囲では両方が正だからです。この符号の変化をグラフで見ると、根の外側は x 軸の上、内側は下になります。
したがって a>0、D>0 の場合、ax²+bx+c>0 の解は x<α または β<x、ax²+bx+c<0 の解は α<x<β です。≧0 なら境目も含めて x≦α または β≦x、≦0 なら α≦x≦β となります。a<0 の場合は式全体の符号が逆になるので、正になる範囲と負になる範囲が入れ替わります。
「外側か内側か」は、必ず2つの異なる根がある場合の話です。重解だけの式や実数解がない式に、そのまま当てはめることはできません。D=0 なら a(x-p)² の形で考えます。a>0 なら x=p でだけ 0、それ以外では正です。D<0 で a>0 なら常に正なので、>0 の解はすべての実数、≦0 の解はありません。
また、不等式の両辺を負の数で掛けたり割ったりすると、不等号の向きが逆になります。-x²+4>0 を x²-4<0 に直す操作がその例です。x のように正負がまだ決まっていない式で、無条件に両辺を割ってはいけません。式を一方に集め、係数の符号がはっきりした状態で調べるのが基本です。
例題で解き方を確かめる
例題1 因数分解で境目を求めます
2次方程式 x²-5x+6=0 を解きましょう。解の公式を使っても解けますが、整数の組合せが見つかるので、ここでは因数分解から進みます。
- 積が 6、和が -5 になる2数を探します。-2 と -3 が当てはまるので、x²-5x+6=(x-2)(x-3) です。積だけでなく和も確かめるのは、x の係数を正しく再現するためです。
- (x-2)(x-3)=0 から、x-2=0 または x-3=0 と分けます。積が 0 になるにはどちらかの因数が 0 であればよく、両方を同時に 0 にする必要はありません。
- x=2, 3 を元の式に代入します。2²-5×2+6=0、3²-5×3+6=0 となるので、どちらも解です。因数分解の符号の誤りは、この短い確認でも見つけられます。
答え：x=2, 3 です。
この2つの数は、不等式を考える際の境目にもなります。ただし方程式の答えを出した段階では、正になる範囲を答えたことにはなりません。たとえば x=0 では左辺は 6、x=5/2 では -1/4 です。境目の外側と内側で符号が違うことを、実際の値でも確かめられます。
例題2 解の公式で根号を含む解を求めます
2次方程式 2x²-4x-1=0 を解きましょう。整数を使った因数分解がすぐには見つからないので、解の公式を使います。係数を代入する前に書き出すと、負号の取り違えを防げます。
- a=2、b=-4、c=-1 と確認します。判別式は D=(-4)²-4×2×(-1)=16+8=24 です。D>0 なので、異なる2つの実数解があると先に見通せます。
- 公式へ代入し、x=(4±√24)/4 とします。分子の最初が 4 になるのは -b=-(-4)=4 だからです。分母も 2a=4 と、係数を使って確かめます。
- √24=2√6 なので、x=(4±2√6)/4=1±√6/2 です。分子の両方の項と分母を 2 で割り、根号を含む解を整理します。
- 平方完成した形 2(x-1)²-3 に代入します。どちらの解でも (x-1)²=6/4=3/2 なので、2×(3/2)-3=0 です。展開を繰り返すより短く確認できます。
答え：x=1-√6/2, 1+√6/2 です。
解の公式の途中では、√24 を急いで小数に直す必要はありません。根号のままなら正確な値を保てます。グラフに位置を記すためにおよその値を使うことはあっても、方程式の答えは根号を残した形で表しましょう。
例題3 2次不等式と1次不等式を連立します
-x²+x+6≧0 と 2x-2>0 を同時に満たす x の範囲を求めましょう。片方だけ満たしても連立不等式の解にはなりません。まず各条件を別々に解き、最後に共通部分を取ります。
- -x²+x+6≧0 の両辺に -1 を掛けて、x²-x-6≦0 とします。不等号を逆にすることで、上に開く放物線の見方を使えます。
- x²-x-6=(x+2)(x-3) と因数分解します。境目は -2 と 3 で、その間では積が 0 以下なので、最初の条件の解は -2≦x≦3 です。等号があるため両端を含めます。
- 2x-2>0 から 2x>2、x>1 と求めます。正の数 2 で割っているので、不等号の向きは変わりません。
- -2≦x≦3 と x>1 の重なる部分を残します。左端の 1 は2つ目の条件を満たさず、右端の 3 は両方を満たすので、1<x≦3 です。
答え：1<x≦3 です。
図2のように、元の放物線 y=-x²+x+6 は下に開き、x=-2 から x=3 まで x 軸以上にあります。下の数直線は、そこへ x>1 の条件を加えた結果です。白丸は含めない端点、塗った丸は含める端点を表します。
図2の頂点は (1/2, 25/4) です。元の式のまま下に開くグラフを使っても、-1 倍して上に開くグラフへ直しても、得られる範囲は一致します。x=2 は両方の条件を満たしますが、x=0 は最初だけ、x=4 は2つ目だけを満たします。この違いを代入で確かめると、共通部分を取る理由がはっきりします。
例題4 文字係数を含む方程式の存在条件を調べます
m を実数とします。x についての方程式 x²-2mx+m+2=0 が実数解をもつような m の範囲を求めましょう。探すのは x の値ではなく、そのような x が存在するための m の条件です。
- x² の係数が 1 なので、どの m でも2次方程式だと確認します。判別式による実数解の条件を、そのまますべての m に対して使えます。
- D=(-2m)²-4×1×(m+2)=4m²-4m-8=4(m-2)(m+1) と計算します。係数に文字が入っていても、x の係数を b とみる点は同じです。
- 実数解をもつ条件は D≧0 です。重解も実数解に含むため、D>0 にはしません。正の数 4 で割ると、(m-2)(m+1)≧0 となります。
- m の2次不等式として解きます。境目が -1, 2 で、外側では積が正または 0 なので、m≦-1 または 2≦m です。
答え：m≦-1 または m≧2 です。
境目を元の式でも確認しましょう。m=-1 なら x²+2x+1=(x+1)²=0、m=2 なら x²-4x+4=(x-2)²=0 で、どちらも重解です。間にある m=0 では x²+2=0 となり、実数解はありません。「異なる2つの実数解をもつ」という条件なら、境目を除いて m<-1 または m>2 に変わります。
ここから、文字係数の問題で見落としやすい2つの条件も整理しておきます。1つは2次の係数が 0 になる場合です。たとえば kx²+x-1=0 では、k=0 のとき x-1=0 となり、x=1 が解です。k≠0 のときだけ2次方程式として D=1+4k≧0 を使います。この例では両方を合わせると k≧-1/4 になりますが、先に k=0 を分ける手順を省かないことが大切です。
もう1つは、解の位置が指定される場合です。x²-2x+k=0 が 0≦x≦2 に少なくとも1つ解をもつ条件を考えます。この区間では (x-1)² が 0 から 1 までのすべての値を取るので、(x-1)²=1-k が成り立つためには 0≦1-k≦1、つまり 0≦k≦1 が必要で十分です。判別式だけなら k≦1 ですが、k<0 のとき2つの根は指定区間の外に出ます。解が存在する場所まで問われたら、軸や区間の端の値も調べます。
つまずきやすいところと直し方
不等号が変わっても同じ範囲を書いてしまいます
誤った書き方は「x²-x-6>0 だから -2<x<3」です。どこが違うかというと、根の間では x+2 と x-3 の符号が逆なので、積は負になります。正しい書き方は「x<-2 または x>3」です。2つの根が見つかったら、x=0 など途中の値を1つ入れ、内側の符号を確かめましょう。
ただし、値を1つ代入しただけで常に全範囲が証明できるわけではありません。この場合は因数分解によって、符号が変わる境目が -2 と 3 だとわかっているため、各範囲の符号を整理できます。途中の値の代入は、決まった符号の読み違いを防ぐために使います。
重解の場所をすべての不等式で除いてしまいます
誤った書き方は「(x-1)²≧0 の解は x≠1」です。どこが違うかというと、x=1 でも左辺は 0 で、≧0 を満たします。正しい書き方は「すべての実数」です。一方で (x-1)²>0 なら、0 になる x=1 だけを除き、「x<1 または x>1」と書きます。
図3のように、y=(x-1)² は x 軸に接するだけで、軸の下へ入りません。グラフが軸より上という条件なら接点を除き、軸以上という条件なら接点も含めます。図の下の数直線は >0 の場合を表しています。
図3から、(x-1)²<0 は解なし、(x-1)²≦0 は x=1 とも読めます。同じ式でも不等号によって、すべての実数、一点を除く範囲、一点だけ、解なしという4種類の答えになります。「解なし」は答えを書き忘れることではなく、条件を満たす実数が存在しないという結論です。
判別式が 0 以下なら常に正だと考えてしまいます
誤った書き方は「x²-2x+k>0 がすべての実数 x で成り立つ条件は D≦0、よって k≧1」です。どこが違うかというと、D=0 のとき x 軸に接して 0 になる値が残り、厳密な >0 を満たさないことです。正しい書き方は「D<0、よって k>1」です。平方完成すれば (x-1)²+k-1 なので、最小値 k-1 が正であることからも確認できます。
同じ式で ≧0 がすべての実数 x で成り立つ条件なら k≧1 です。また、「>0 を満たす x が少なくとも1つある」だけなら、どんな実数 k でも十分大きな |x-1| を選べます。問題文の「すべての」と「少なくとも1つ」を読み替えると答えが変わるため、計算の前にどちらかを確認しましょう。
一般に ax²+bx+c>0 がすべての実数 x で成り立つためには、a≠0 のもとで a>0 かつ D<0 が必要で十分です。≧0 なら a>0 かつ D≦0 です。下に開く放物線は左右へ遠く進むと負になるので、判別式の条件だけでは足りません。文字係数では、a の符号と a=0 の可能性も別に確認します。
練習問題
解く前に、求めるものが x の値、x の範囲、文字の範囲のどれかを書き添えましょう。計算が終わったら、等号が付く境目を元の式で確認します。練習3は各不等式の答えを2本の数直線に描いてから重ねると、端点の扱いを確かめやすくなります。
練習1
3x²+x-2=0 を解きましょう。因数分解するときは、x の項の係数が 1 になることまで確認してください。
練習2
x²+2x-2≦0 を解きましょう。解の公式か平方完成で境目を求め、根号を含む形のまま範囲を表してください。
練習3
x²-4x+3>0 と x²-5x+4≦0 を同時に満たす x の範囲を求めましょう。境目の 1, 3, 4 のうち、どれを答えに含めるかも説明してください。
練習4
t を実数とします。x²-4x+t=0 が異なる2つの実数解をもつ t の範囲と、x²-4x+t>0 がすべての実数 x で成り立つ t の範囲を、それぞれ求めましょう。2つの問いでは、グラフに求める位置関係が違います。
答えと解説
練習1の答えは x=-1, 2/3 です。3x²+x-2=(3x-2)(x+1) なので、3x-2=0 または x+1=0 とします。x=-1 なら 3-1-2=0、x=2/3 なら 4/3+2/3-2=0 となり、どちらも元の方程式を満たします。
練習2の答えは -1-√3≦x≦-1+√3 です。平方完成すると (x+1)²-3≦0、つまり (x+1)²≦3 なので、-√3≦x+1≦√3 となります。両辺から 1 を引いて範囲を出します。境目では左辺が 0 になるため、今回は両端を含めます。
練習3の答えは 3<x≦4 です。最初は (x-1)(x-3)>0 より x<1 または x>3、2つ目は (x-1)(x-4)≦0 より 1≦x≦4 です。共通部分では 1 と 3 は最初の厳密な不等式を満たさず、4 は両方を満たします。2つ目の範囲全体を答えにしないよう注意します。
練習4の答えは、異なる2つの実数解をもつ条件が t<4、すべての実数 x で正になる条件が t>4 です。D=16-4t なので、前者は D>0 から求められます。後者は (x-2)²+t-4 の最小値が t-4 であることから求められます。t=4 のときは x=2 が重解で、その位置で式が 0 になるため、どちらの答えにも含めません。
次の単元へのつながりと家庭での確かめ方
2次方程式の解を交点、不等式の解を上下関係として読む考え方は、次に学ぶ関数でも使います。2つのグラフの交点なら y の値どうしを等しくし、どちらが上かなら差の符号を調べます。数学IIでは実数の範囲を広げて方程式を扱いますが、ここで学ぶ判別式の意味は、解の種類を整理する土台になります。
家庭で5分ほど使って確かめるなら、1つ目は例題1の式に =0、>0、≦0 を順に付けて、それぞれの答えを小さなグラフの横に書く方法です。根は変わらず、選ぶ範囲と境目の扱いが変わることを、自分の言葉で説明します。2つ目は練習4の t を 3, 4, 5 に変え、頂点の高さと交点の個数を並べる方法です。図を丁寧に仕上げるより、どの値で接するかを確かめます。
個別指導で確認する場合は、範囲の選び方だけでなく、積の符号や負の数で割る操作まで戻って、どこで判断が変わったかを見ます。保護者がお子さまのノートを見るときも、答えの正誤だけでなく「その端を含めた理由」を説明できるかが、理解を確かめる手掛かりになります。
まとめ
方程式が解けたのに不等式で止まったときは、求めた根を消してやり直す必要はありません。その値を x 軸に置き、軸の上と下のどちらを選ぶのか、根そのものを含めるのかを付け足せば、途中の計算が答えにつながります。
文字の条件を求める問題でも、交点が必要なのか、常に正であってほしいのかを図にすると、使う条件が定まります。2次不等式の答えは、根を求めたところではなく、選んだ範囲と端点の理由を説明したところで完成します。
- 前の単元: 【数学I】2次関数のグラフと最大・最小を図解で総まとめ—平方完成と軸の位置で場合分け
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