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【数学I】数と式を図解で総まとめ—展開・因数分解から実数・絶対値・1次不等式まで｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.10.12更新 2026.10.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学単元解説（数I・A・II・B・III・C）

【数学I】数と式を図解で総まとめ—展開・因数分解から実数・絶対値・1次不等式までのアイキャッチ武蔵野個別指導塾

展開公式を面積図で、連立不等式と絶対値を数直線で確かめます。因数分解や平方根の計算も、4つの例題と練習を通して、途中式の理由から学べます。

よくあるのは、定期テスト前の自習室で、展開の問題は進められるのに、不等式を負の数で割る行に来ると手が止まるという場面です。「符号を変える」という記憶はあっても、項の正負を変えるのか、不等号の向きを変えるのかが曖昧だと、前の行を見直しても判断がつきません。数と式では、計算の速さに加えて、何を保ったまま式を書き換えているのかを捉えることが必要です。

展開や因数分解は、同じ値を表す式の形を変える操作です。一方、方程式や不等式では、条件を満たす数がどれかを調べます。この違いを意識すると、「計算して終わり」なのか、「xの範囲まで答える」のかも区別できます。ここでは、整式の計算から実数と平方根へ進み、絶対値、1次不等式、連立不等式までをつなげます。面積図で積の意味を見て、数直線で数の位置を確かめながら、途中式を自分で説明できるところを目指しましょう。

この単元で身につけること

整式を項に分け、同類項をまとめられるようにします。文字の部分が同じかを見分けると、加減の計算でまとめてよい項が決まります。
分配法則と展開公式を使い、積を和の形に直します。公式を使うときも、真ん中の項がどの積からできるかを説明できるようにします。
共通因数や展開公式の逆向きの利用で、因数分解を行います。答えを展開して元の式に戻るかを確かめれば、自分で誤りを見つけられます。
有理数と無理数を区別し、平方根を含む式を整理します。根号の中を小さくすることと、分母を有理化することを別の操作として扱います。
絶対値を数直線上の距離として読み、方程式や不等式に直します。端点を含むか、範囲の内側か外側かを図と式の両方で判断します。
1次不等式を解き、連立不等式の共通範囲を答えます。負の数で掛けたり割ったりする場面を見逃さないことが中心になります。

中学校で学んだ正負の数、分配法則、平方根、1次方程式が土台です。計算が止まったときは、高校の公式を増やす前に、その行で使っている中学校の決まりへ戻ると原因を絞れます。

基本の考え方

整式は項の形を見て整理します

数や文字の積で表される式を単項式といい、単項式の和で表される式を多項式といいます。単項式と多項式をまとめて整式と呼びます。例えば、3x²-2x+5は、3x²、-2x、5という3つの項からできています。項を取り出すときは、直前の符号を含めます。-2xの係数は-2で、文字を含まない5は定数項です。

単項式の次数は、掛け合わされている文字の個数で考えます。3x²yは、xが2個、yが1個なので、xとy全体について3次です。ただし、どの文字に着目するかを指定された場合は、その文字だけを数えます。3x²yをxについて見ると2次で、係数は3yです。多項式の次数は、同類項を整理したあとに残る項の次数のうち最大のものです。

同類項とは、文字の部分が同じ項です。3x²と-5x²はまとめられますが、3x²と-5xはまとめられません。りんごの個数とみかんの個数を別々に数えるように、x²の項とxの項は分けて扱います。3x²-5x²=-2x²であり、文字の形はそのまま、係数だけを計算します。加減では、まず括弧を外し、それから同類項を集める順序が確実です。特に括弧の前にマイナスがあるときは、括弧の中のすべての項の符号を変えます。

掛け算では、分配法則a(b+c)=ab+acを使います。文字の積は掛け算の記号を省いてabと書けますが、数どうしなら2×3のように書きます。例えば、(x+2)(x+3)は、xをxと3に、2をxと3にそれぞれ掛けるので、x²+3x+2x+6=x²+5x+6です。最初と最後だけを掛けるのではなく、組合せをすべて拾うことが重要です。

代表的な展開公式は、(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²、(a+b)(a-b)=a²-b²です。さらに、(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+abもよく使います。文字a、bのところには、数だけでなく2xやy+1などの式をひとかたまりとして入れられます。まずどこをa、どこをbと見るかを決めてから当てはめると、係数を落としにくくなります。

図1のように、1辺がa+bの正方形を、長さaとbの位置で縦横に分けます。左上の面積はa²、右下はb²で、残る2つの長方形はそれぞれabです。この4つを足すと、(a+b)²に2abが必要な理由が見えます。図は長さとしてa>0、b>0の場合を描いていますが、公式自体は分配法則によって負の数を含む場合にも成り立ちます。

因数分解は、和や差の形の整式を、整式の積の形に直すことです。最初にすべての項に共通する因数がないかを調べます。例えば、2x²+6x=2x(x+3)です。共通因数をくくったあと、括弧の中をさらに因数分解できないかも見ます。x²+5x+6なら、和が5、積が6になる2数を探して、(x+2)(x+3)とします。x²-9なら平方の差なので、(x+3)(x-3)です。

和と積で探すときは、符号が手掛かりになります。積が正なら2数は同符号、積が負なら異符号です。例えば、x²-x-6では、積が-6で和が-1になる組は-3と2なので、(x-3)(x+2)です。ここで「因数分解せよ」と言われたら積の形が答えです。方程式ではないので、勝手に=0を付けてxの値を求める必要はありません。

実数と平方根は表す数の意味から考えます

整数mと0でない整数nを使い、m/nと表せる数が有理数です。整数も、分母を1とすればこの形になります。小数では、有限小数や循環小数が有理数です。これに対して、√2のように有理数として表せない数を無理数と呼びます。無理数の小数表示は、有限で終わらず、同じ並びが繰り返される循環にもなりません。有理数と無理数を合わせたものが実数です。数直線上の各点には実数が対応します。

a≧0のとき、√aは2乗するとaになる非負の数を表します。「9の平方根」は3と-3の2つですが、記号√9が表す値は3だけです。√0は0で、実数の範囲では負の数の平方根はありません。平方根という言葉と、記号√が選んでいる値を区別すると、答えに不要な±を付けずに済みます。

a≧0、b≧0なら、√a×√b=√(ab)です。また、a≧0、b>0なら、√a/√b=√(a/b)です。根号の中に平方数の因数があると、√12=√(4×3)=2√3のように外へ出せます。足し算では、根号の中が同じものどうしをまとめます。2√3+5√3=7√3ですが、√2+√3を√5にすることはできません。積に使える決まりを和に持ち込まないようにします。

分母の有理化は、分母にある根号を除く変形です。例えば、1/√2は、分子と分母に同じ√2を掛けて、√2/2となります。値を変えないため、分母だけに掛けてはいけません。分母が√3+1なら、√3-1を掛けると、平方の差を使って分母を3-1にできます。展開公式は整式だけでなく、平方根の計算にもつながっています。

絶対値と不等式は数直線で読みます

絶対値|a|は、数直線で原点0とaの距離です。したがって常に0以上で、|3|=3、|-3|=3です。文字については、a≧0のとき|a|=a、a<0のとき|a|=-aと表します。後者の-aは「負の数」という意味ではありません。例えばa=-3なら、-a=3となり、距離が正になるように符号を変えています。

|x-p|は、点pと点xの距離です。r>0として、|x-p|=rならx=p-rまたはx=p+rです。|x-p|<rならp-r<x<p+rとなり、|x-p|>rならxp+rとなります。等号を含む不等号なら端点も含めます。r=0の場合は別に考え、例えば|x-p|≦0の解はx=pだけです。右辺が負の場合も、絶対値が負にならないことから判断できます。

1次不等式では、両辺に同じ数を足したり引いたりしても、不等号の向きは変わりません。両辺に同じ正の数を掛けたり、同じ正の数で割ったりするときも同様です。ただし、同じ負の数を掛けたり割ったりすると、向きが逆になります。2<5の両辺に-1を掛けると-2>-5です。数直線上で0を中心に左右を反転すると、大小の順序も入れ替わると考えられます。

連立不等式は、複数の不等式を同時に満たす条件です。1つずつ解いてから、共通する範囲を取り出します。例えばx>1とx≦4なら1<x≦4です。「または」で結ばれた条件では、少なくとも一方を満たせばよいので、同じ取り方にはなりません。数直線では、端点を含む場合を塗った丸、含まない場合を白い丸で表すと、最後の等号を確かめやすくなります。

例題で解き方を確かめる

例題1　展開と因数分解を行き来します

(2x-3)²-(x+1)(x-1)を展開して整理し、(2) x²-x-6を因数分解します。最初は公式に当てはまる部分を探し、次に式全体の符号を処理します。

(1)の平方には(a-b)²の公式を使います。a=2x、b=3なので、(2x-3)²=4x²-12x+9です。真ん中の項は-2×2x×3であり、-6xではありません。
(x+1)(x-1)=x²-1と直し、式全体を4x²-12x+9-(x²-1)と書きます。引く対象がx²-1全体なので、括弧を残すことに意味があります。
括弧を外して4x²-12x+9-x²+1とし、同類項をまとめて3x²-12x+10とします。定数項は9-1ではなく9+1です。
(2)では共通因数がないため、積が-6、和が-1になる2数を探します。-3と2を選ぶと、(x-3)(x+2)です。展開するとx²+2x-3x-6となり、元の式に戻ります。

答え：(1) 3x²-12x+10、(2) (x-3)(x+2)です。

答えの形にも注目してください。(1)は和の形、(2)は積の形が求められています。計算結果が同じ値を表していても、問題が求める形になっているかを最後に見直します。

例題2　平方根の整理と有理化を組み合わせます

√12+√27-1/(√3+1)を簡単にします。根号の足し算を先に整理し、分母の有理化を別に進めてから合わせると、符号を追いやすくなります。

√12=2√3、√27=3√3なので、最初の2項は5√3です。根号の中から平方数を取り出したことで、同じ√3の係数を足せます。
1/(√3+1)の分子と分母に√3-1を掛けます。分母は(√3+1)(√3-1)=3-1=2となり、分数は(√3-1)/2です。掛ける式が0でないことも確かめます。
全体は5√3-(√3-1)/2です。分母を2にそろえると、(10√3-√3+1)/2=(9√3+1)/2となります。分数の前のマイナスが、分子の-1にも掛かる点を確認します。

答え：(9√3+1)/2です。

有理化は近似値を求める作業ではありません。√3を小数に置き換えず、同じ値のまま扱いやすい形に直しています。途中で小数にすると丸めた分だけずれるため、正確な値を求める問題では根号を保って進めます。

例題3　連立不等式を共通範囲で答えます

2x-3<5と、5-3x≦8を同時に満たすxの範囲を求めます。2本の不等式の解は別々に求め、そのあとで重なりを調べます。

2x-3<5の両辺に3を足すと2x<8です。2は正なので、両辺を2で割っても不等号の向きは変わらず、x<4となります。
5-3x≦8の両辺から5を引くと-3x≦3です。両辺を-3で割ると不等号の向きが逆になり、x≧-1となります。
x<4は4の左側、x≧-1は-1とその右側です。図2のように、同じ目盛りの数直線に重ねると、共通する部分は-1から4までです。-1は含み、4は含みません。
端点を元の2本の式へ代入します。x=-1では-5<5と8≦8がともに成立します。x=4では最初が5<5となって成立しません。したがって左右の等号の有無が確かめられます。

答え：-1≦x<4です。

図2の上2段は、それぞれ単独の条件です。一番下の緑の部分だけが両方を満たします。どちらかの線がある場所をすべて選ぶと、例えばx=5のように一方しか満たさない数まで入ってしまいます。

例題4　絶対値を距離と場合分けで解きます

|x-2|=3、(2) |2x-1|<5を解きます。(1)は距離を直接使い、(2)は絶対値の中身をはさむ不等式に直します。

(1)は、2からの距離が3である点を求める問題です。2の左に3進んだ点は-1、右に3進んだ点は5なので、候補は2つあります。
候補を代入すると、|-1-2|=|-3|=3、|5-2|=|3|=3です。符号の違う中身が同じ距離を表していると確認できます。
(2)は、2x-1が0から5未満の距離にある条件なので、-5<2x-1<5です。両側を同時に満たす必要があり、「または」では結びません。
3つの部分すべてに1を足して-4<2x<6とし、正の2で割って-2<x<3とします。左右の端では絶対値がちょうど5になるため、端点は含みません。

答え：(1) x=-1、5、(2) -2<x<3です。

距離の読み方に迷ったときは、定義に戻る方法もあります。(2)で2x-1≧0、つまりx≧1/2のとき、|2x-1|=2x-1なのでx<3です。仮定と合わせると1/2≦x<3です。x<1/2のときは|2x-1|=-(2x-1)なので、-2x+1<5からx>-2となり、-2<x<1/2です。この2つの場合を合わせると、同じ-2<x<3になります。

場合分けでは、計算で出た範囲と、その場合の前提を必ず重ねます。前提を忘れると、その場合には使えない式で得た値まで答えに入ることがあります。絶対値が複数ある問題でも、中身が0になる点で区切って同じ考え方を使えます。

つまずきやすいところと直し方

平方を各項の平方だけにしてしまいます

誤った書き方は、(x+3)²=x²+9です。括弧全体を2乗することは、(x+3)を2回掛けることなので、xと3を掛けた項が2つ生まれます。図1の長方形2つを抜かしてしまった状態です。

正しい書き方は、(x+3)²=x²+6x+9です。公式を忘れたら、(x+3)(x+3)=x²+3x+3x+9と分配法則へ戻ってください。x=1を入れるだけでも、左辺16に対して誤った右辺は10となり、等しくないと気づけます。ただし、1つの値で一致しただけでは式がいつでも正しい証明にはなりません。代入は誤りの発見に使い、最後は展開の手順を確認します。

根号と2乗がいつでもそのまま消えると思ってしまいます

誤った書き方は、すべての実数xについて√(x²)=xとすることです。√が表す値は非負ですが、右辺のxは負にもなります。例えばx=-3なら、左辺は√9=3、右辺は-3となって一致しません。

正しい書き方は、√(x²)=|x|です。x≧0ならx、x<0なら-xと書けます。同じ理由で、√((x-2)²)=|x-2|です。x-2の符号はx=2を境に変わるので、根号を外す前に、その中の式が正か負かを調べます。文字の値の条件が問題に与えられている場合は、その条件が符号の判断に使えないかを確認しましょう。

絶対値が大きい範囲を内側にしてしまいます

誤った書き方は、|x-2|≧3から-1≦x≦5とすることです。これは、2からの距離が3以下の範囲であり、求める条件と逆です。実際、内側のx=2を入れると0≧3となり、成立しません。

正しい書き方は、x≦-1またはx≧5です。図3のように、中心2から左右に3離れた-1、5を境に、外側へ伸びる2つの範囲を取ります。「以上」なので、距離がちょうど3の端点も塗った丸で含めます。x≦-1とx≧5を同時に満たす数はないため、この2つを「かつ」でつながないことも重要です。

式で確かめるなら、x-2≧3またはx-2≦-3と分けます。左側の条件を-(x-2)≧3として処理してもよいですが、そのときは-x+2≧3、-x≧1、x≦-1の順です。最後は負の数で割るため、不等号が逆になります。距離で描いた図と計算の向きが一致しないときは、この行を優先して見直してください。

境界が0や負の場合にも、同じ公式を機械的に当てはめないようにします。例えば|x-2|<0を満たす実数はなく、|x-2|≧0はすべての実数で成り立ちます。絶対値は距離なので負にならないという出発点が、特別な場合の答えも決めます。

練習問題

計算する前に、答えが「式」なのか「数や範囲」なのかを確認してください。途中式は、符号が変わる行と、絶対値を外す行を省略せずに書きます。答えを見る前に、自分の結果を元の式へ戻せるかも試しましょう。

練習1

(x+4)²-(x+2)(x-2)を展開して整理してください。(2) 3x²-12xを因数分解してください。平方の公式と共通因数の見つけ方を確かめる問題です。

練習2

√48-√27+2/√3を簡単にしてください。(2) x<2のとき、√((x-2)²)を根号も絶対値記号も使わずに表してください。与えられた条件をどの行で使うかがポイントです。

練習3

3x+1≧-5と、4-2x>0を同時に満たすxの範囲を求めてください。2本を解いたあと、端点の等号を別々に確認してください。

練習4

|x+1|=4、(2) |x+1|≧4を解いてください。中心となる数が-1であることに気をつけ、2つの答えを数直線で描き分けてください。

答えと解説

練習1の答えは、(1) 8x+20、(2) 3x(x-4)です。(1)はx²+8x+16-(x²-4)=8x+20となります。x²が消えても間違いではありません。(2)では両方の項に3xが共通しています。3だけをくくった3(x²-4x)は、括弧の中にまだ共通因数xがあるため、さらに進められます。

練習2の答えは、(1) 5√3/3、(2) 2-xです。(1)は4√3-3√3+2√3/3=√3+2√3/3=5√3/3となります。(2)はまず|x-2|に直します。x<2よりx-2<0なので、-(x-2)=2-xです。x-2と答えると、非負であるはずの根号の値が負になってしまいます。

練習3の答えは、-2≦x<2です。1本目は3x≧-6からx≧-2、2本目は-2x>-4からx<2となります。2本目で負の-2で割るときに向きを逆にします。x=-2は元の両方の条件を満たし、x=2は2本目が0>0になるため含めません。

練習4の答えは、(1) x=-5、3、(2) x≦-5またはx≧3です。中心-1から4離れた点は、-1-4=-5と-1+4=3です。(1)は2点だけ、(2)はその2点を含めた外側全体となります。(2)に中心のx=-1が入っていないことを確かめれば、内側と外側の取り違えも点検できます。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

展開と因数分解は、2次方程式を解くときや、2次関数の式を整理するときに使います。平方の公式は平方完成にもつながり、式の形からグラフの頂点を読み取る準備になります。不等式の範囲を重ねる考え方は、関数の定義域や、条件つきの最大・最小を扱う場面でも必要です。絶対値の定義に戻って場合分けする習慣は、文字の値によって式の形が変わる問題を整理する助けになります。

家庭で5分ほど使うなら、まず因数分解を1問選び、答えを見ずに解いてから、展開して元に戻してください。次に絶対値の不等式を1問選び、中心、境界の点、答えの範囲を数直線に描き、内側と外側から1つずつ数を選んで代入します。どちらも問題数を増やすより、自分の答えを検査するところまで進める練習です。

個別指導では、誤答の直前の行を見て、同類項の区別、括弧の前の符号、負の数で割る決まりのどこまで戻る必要があるかを確かめます。お子さまのノートを一緒に見るときも、答えが合ったかだけでなく、「ここで不等号の向きが変わるのはなぜですか」と1行の理由に焦点を当てると、理解している部分と曖昧な部分を区別しやすくなります。