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【数学B】数列を図解で総まとめ—等差・等比・和の公式・Σ・階差数列・いろいろな数列の和｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.10.12更新 2026.10.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学単元解説（数I・A・II・B・III・C）

【数学B】数列を図解で総まとめ—等差・等比・和の公式・Σ・階差数列・いろいろな数列の和のアイキャッチ武蔵野個別指導塾

等差・等比の公式を出発点に、階差数列、部分分数、等差×等比の和、群数列まで学べます。項番号と値を分けた図や途中式のある例題で、足す範囲を自分で確かめる力を育てましょう。

よくあるのは、美術室の床のタイルを眺めて数の並びを思い浮かべ、手元の課題にある3, 7, 11, 15, …の第20項を3+4×20と書いたところで迷うという場面です。タイルの1枚目から2枚目へ指を動かす回数を数えると、位置の番号と移動の回数は同じではありません。数列でも4ずつ増えることは見抜けているのに答えが1項分ずれるのは、「何番目か」と「何回増やすか」を同じ数として扱っているためです。計算力に加えて、この2つを分ける力が必要になります。

数列の問題は、規則に従って並ぶ数のうち、ある位置の数を求める問題と、ある範囲を足す問題に大きく分けられます。公式を見た瞬間に代入するより、初めの数、項の個数、最後の数を紙に書くほうが、解き始める場所を見つけやすくなります。

数学Bで学ぶ数列では、差や比を使った基本から、隣り合う項の差を足し戻す方法、式を分解して打ち消す方法、まとまりごとに番号を数える方法へと進みます。長い足し算の中にある共通の形を見つけ、少ない計算で正確に求めることが目標です。

この単元で身につけること

項と項番号を区別します。第n項をa(n)と書き、nが順番、a(n)がその場所の値だと読み取れるようにします。
等差数列と等比数列の一般項、初項から第n項までの和を求めます。差を何回足すか、比を何回かけるかを説明して公式を使います。
Σを具体的な足し算に戻します。動く文字と固定する文字を区別し、定数・1乗・2乗・3乗の和を組み合わせて計算します。
階差数列と部分分数を使います。隣り合う項の関係を調べ、何が残り、何が打ち消し合うかに注目します。
等差数列と等比数列の積の和、群数列を扱います。式をずらして引く操作と、群の境界までの個数を数える操作を使い分けます。

中学校で学んだ文字式や1次関数、これまでに学んだ指数の計算が土台です。特に、かっこを外すときの符号と分数の通分は、後半の和の計算でも欠かせません。一般項を求める場面では1つの項を、和を求める場面では複数の項を見ていると意識してください。

基本の考え方

項番号を決めてから、差と比を調べる

順序をつけて並べた数を数列といいます。並んでいる個々の数が項で、最初の項が初項です。3, 7, 11, 15, …なら、初項は3、第2項は7です。ここでは第n項をa(n)と表します。nは1, 2, 3, …という正の整数であり、a(3)は「aに3をかける」という意味ではなく、第3項の値を指します。

nを使って第n項を表す式が一般項です。ただし、最初の数項が見えているだけでは、その先の規則はただ1つには決まりません。問題文に「等差数列」「各項を2倍して次の項を作る」などの条件があるか確かめます。見た目から予想することと、与えられた条件から決めることは区別しましょう。

隣り合う項の差が一定の数列が等差数列です。一定の差を公差といい、初項をa、公差をdとすると、一般項はa(n)=a+(n-1)dです。初項から第2項まではdを1回、第3項までは2回足すので、第n項までの回数はn-1になります。公差が負なら項は小さくなり、0なら同じ値が並びます。

図1のように、横軸を項番号n、縦軸を項の値a(n)にすると、数列の位置と値を分けて見られます。3, 7, 11, 15, 19という等差数列では、横に1進むたびに縦に4増えます。点は同じ直線上に並びますが、数列で扱う項番号は正の整数なので、点の間まで数列の項として塗りつぶすことはしません。

隣り合う項で、前の項に一定の数rをかけると次の項になる数列が等比数列で、rを公比といいます。初項aから始めると、a, ar, ar², …となり、一般項はa(n)=arⁿ⁻¹です。例えば3, 6, 12, 24, …は初項3、公比2です。公比を「次の項÷前の項」で求めるときは、割る項が0でないことが必要です。

公比が負なら、初項が0でないとき、項の符号が交互に変わります。初項2、公比-2なら、2, -4, 8, -16, …です。累乗する範囲を明確にするため、一般項は2×(-2)ⁿ⁻¹と、負の公比をかっこで囲みます。公比0を許す場合は初項の後に0が並びますが、n=1の式に0の0乗が現れる書き方を避け、初項とn≧2の項を分けて扱います。

和の公式とΣは、足す範囲を表す道具

初項から第n項までの和をS(n)と表します。等差数列では、順番どおりの和と逆順の和を縦に足すと、どの組も「初項+末項」になります。その組がn個できるので、2S(n)=n×(初項+末項)です。したがってS(n)=n(a+a(n))/2=n{2a+(n-1)d}/2となります。項数が奇数でも、2つの和を重ねる考え方はそのまま使えます。

等比数列の和は、S(n)=a+ar+…+arⁿ⁻¹にrをかけて引きます。rS(n)=ar+ar²+…+arⁿとなるので、S(n)-rS(n)=a-arⁿです。r≠1のとき、S(n)=a(1-rⁿ)/(1-r)を得ます。分子と分母の符号を同時に変えたa(rⁿ-1)/(r-1)も同じ式です。r=1なら同じ値aがn個並ぶので、S(n)=naと別に求めます。

Σは、指定された範囲で項を足す記号です。ここではΣ[k=1〜n] a(k)を、a(1)+a(2)+…+a(n)という意味で使います。kは足し算の中で1からnまで動く番号です。一方、この計算中のnは「どこまで足すか」を決める固定された正の整数です。Σ[k=1〜n] nなら、足す数がすべてnなので、答えはn²です。

基本となる公式は、Σ[k=1〜n] 1=n、Σ[k=1〜n] k=n(n+1)/2、Σ[k=1〜n] k²=n(n+1)(2n+1)/6、Σ[k=1〜n] k³={n(n+1)/2}²です。定数cを足すならΣ[k=1〜n] c=cnです。一般に、定数倍はΣの外に出せて、和や差はそれぞれの和に分けられます。

例えばΣk=1〜nは、3Σ[k=1〜n] k²-2Σ[k=1〜n] k+Σ[k=1〜n] 1です。公式を入れると、n(n+1)(2n+1)/2-n(n+1)+nとなり、整理してn(2n²+n+1)/2を得ます。n=2なら元の足し算は2+9=11で、求めた式にも2を入れると11です。小さいnで比べることは証明の代わりにはなりませんが、転記や整理の誤りを見つける助けになります。

2乗の和の公式の形を確かめたいときは、(k+1)³-k³=3k²+3k+1をk=1からnまで足します。左辺の途中の立方数が消え、(n+1)³-1=3Σ[k=1〜n] k²+3n(n+1)/2+nとなります。これを2乗の和について解けば上の公式になります。公式同士にもつながりがあり、ただ別々の式として暗記する必要はありません。

差を足す、分解する、群に分ける

もとの数列の隣り合う項の差b(k)=a(k+1)-a(k)を並べた数列が階差数列です。初項から第n項に進むには、b(1)からb(n-1)までを足すので、n≧2でa(n)=a(1)+Σ[k=1〜n-1] b(k)です。上端がn-1になる理由は、n個の項の間にある間隔がn-1個だからです。初項については、求めた一般項にn=1を入れて合うかを別に確かめます。

分数の和では、各項を隣り合う2つの分数の差に直すと計算が短くなる場合があります。1/{k(k+1)}=1/k-1/(k+1)は、右辺を通分すればすぐ確認できます。これを部分分数分解といい、k=1からnまで足すと、(1-1/2)+(1/2-1/3)+…+{1/n-1/(n+1)}です。途中が打ち消し合い、1-1/(n+1)=n/(n+1)だけが残ります。

ただし、分母の2つの数の差が変わると係数も変わります。例えば1/{k(k+2)}=(1/2){1/k-1/(k+2)}です。右辺の差を通分すると分子が2になるため、1/2が必要です。和では末尾だけでなく先頭も複数項残ることがあるので、最初と最後を数項ずつ実際に書きます。

さらに、数列を一定の規則で群に分けたものを群数列といいます。例えば正の整数を、(1)、(2, 3)、(4, 5, 6)、(7, 8, 9, 10)、…と分けると、第m群にはm個の数が入ります。第m群の末尾までの項数は1+2+…+m=m(m+1)/2です。群の中の位置を求めるときは、その群より前の項数を引きます。この例では項番号と値が同じですが、一般の群数列では必ずしも同じではありません。

例題で解き方を確かめる

例題1　等差数列の一般項と和

初項3、公差4の等差数列について、第20項と初項から第20項までの和を求めます。項と和を一度に求める問題では、まず末項を決めると、和の公式にもその値を使えます。

第20項までに増える回数を数えます。最初から20個目へは19回進むので、a(20)=3+(20-1)×4=3+76=79です。20回足すと第21項になるため、先に回数を確かめます。
和を「項数×(初項+末項)÷2」で求めます。S(20)=20×(3+79)/2=20×82/2=820です。初項と末項の平均41に、項数20をかけていると読むこともできます。
一般項を整理して確かめます。a(n)=3+4(n-1)=4n-1なので、S(20)=Σk=1〜20=4×20×21/2-20=820となり、同じ結果です。

答え：第20項は79、初項から第20項までの和は820です。

例題2　負の公比をもつ等比数列

初項2、公比-2の等比数列について、第6項と初項から第6項までの和を求めます。符号が交互に変わるので、指数の偶数・奇数を先に見ておくと、答えの符号を点検できます。

一般項にn=6を入れます。a(6)=2×(-2)⁵=2×(-32)=-64です。公比をかける回数は5回で、負の数の奇数乗だから負になります。
公比が1ではないことを確かめて、和の公式を使います。S(6)=2{1-(-2)⁶}/{1-(-2)}=2(1-64)/3=-126/3=-42です。分母の1-(-2)を3とするところまで、かっこを残して計算します。
項が6個なので、直接足して点検します。2-4+8-16+32-64=-42です。大きさが増えても符号が交互なら、和がすべての項の大きさの合計になるわけではありません。

答え：第6項は-64、初項から第6項までの和は-42です。

例題3　階差数列から一般項を求める

初項が2で、n≧1についてa(n+1)-a(n)=2n+1が成り立つ数列の一般項を求めます。初めの項は2, 5, 10, 17, …です。もとの数列の差は一定ではありませんが、差の数列3, 5, 7, …は等差数列になっています。

第n項に必要な差の範囲を決めます。n≧2ではa(n)=2+Σk=1〜n-1です。第n項に着く最後の差はa(n)-a(n-1)なので、k=n-1までにします。
Σを分けて計算します。2+2×(n-1)n/2+(n-1)=2+n(n-1)+n-1=n²+1です。1を足す回数もn-1回であることに注意します。
初項と差の条件を確かめます。n=1で1²+1=2となり、初項に合います。また{(n+1)²+1}-(n²+1)=2n+1となるため、与えられた差にも合います。

図2のように、最初の高さ2に、3、5、7、9という増分を順に加えると、高さは2、5、10、17、26になります。図の階段は項の間にどれだけ加えたかを示す補助線です。a(5)までに加える増分は4個であり、階差数列の第5項までを足すわけではありません。

答え：一般項はa(n)=n²+1（n≧1）です。

例題4　等差数列と等比数列の積の和

S(n)=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿを求めます。係数1, 2, 3, …は等差数列、2, 2², 2³, …は等比数列です。それぞれの和をかけても、この和にはなりません。等比部分の公比をかけ、同じ累乗の項をそろえて引きます。

元の式を2倍します。2S(n)=1×2²+2×2³+…+(n-1)×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹です。2倍により指数が1つ進むので、S(n)の2²の項と2S(n)の2²の項が比べられます。
2S(n)-S(n)を計算します。2²から2ⁿまでの係数の差はすべて-1です。先頭には-2、末尾には+n×2ⁿ⁺¹が残るので、S(n)=n×2ⁿ⁺¹-(2+2²+…+2ⁿ)となります。先頭と末尾は対応する相手がいないため、別に書き出します。
かっこ内の等比数列の和を求めます。2+2²+…+2ⁿ=2(2ⁿ-1)/(2-1)=2ⁿ⁺¹-2です。よってS(n)=n×2ⁿ⁺¹-(2ⁿ⁺¹-2)=(n-1)×2ⁿ⁺¹+2です。
小さい項数で式を点検します。n=3では元の和が2+8+24=34、求めた式が(3-1)×2⁴+2=34です。n=1でも2となり、先頭だけの和に合っています。

答え：S(n)=(n-1)×2ⁿ⁺¹+2です。

この方法で係数の差が一定になるのは、係数が等差数列だからです。一般の公比rでも、r倍して引く方針を使えますが、r=1のときは引いた左辺が0になります。その場合は等差数列の和として直接求めます。式を動かす前に、何を消し、何を残したいかを決めると、操作の理由が見えるようになります。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　項番号を、増やす回数や足す個数にしてしまう

誤った書き方は、初項a、公差dに対してa(n)=a+ndとすることです。n=1を入れるとa+dになり、初項aに戻りません。正しくはa(n)=a+(n-1)dです。公式が不安なときは、一般項へ1を入れて最初の項になるかを調べてください。初項が再現できなければ、その時点で添字か定数項にずれがあります。

和の途中区間でも同じずれが起こります。第4項から第10項までは、10-4=6個ではなく10-4+1=7個です。Σ[k=4〜10] kを求めるなら、S(10)-S(3)=55-6=49です。S(4)を引くと必要な第4項まで消えるので、「直前までを引く」と言葉にしてから式を書きます。

誤り2　和を分けられる性質を、積にも使う

誤った書き方は、Σ[k=1〜n]{k×2ᵏ}=(Σ[k=1〜n] k)×(Σ[k=1〜n] 2ᵏ)です。右辺を展開すると、異なる番号どうしの積まで含まれます。例えばn=2なら左辺は1×2+2×4=10ですが、右辺は(1+2)(2+4)=18です。和や差を分ける性質と、積の計算は区別する必要があります。

正しくは、例題4のようにS(n)を置き、公比倍してから引きます。一方、Σ[k=1〜n] 3kなら、3はkによって変わらないので3Σ[k=1〜n] kに直せます。外へ出したいものがすべての項に共通する定数か、番号ごとに変わる量かを確認しましょう。分数の和でも、Σの分子と分母を別々に足してから割ることはできません。

誤り3　群数列で群の番号と通し番号を混同する

誤った書き方は、各群の項数が1, 2, 3, …と増える数列で「第4群は、全体の第4項から始まる」とすることです。第4群より前には第1群から第3群までがあり、項数は1+2+3=6個です。正しくは、第4群の最初が全体の第7項、最後が第10項になります。

図3のように、正の整数を順に群に分けると、各群の末尾の通し番号は1, 3, 6, 10, 15と増えていきます。この図では各列が1つの群で、各箱の数字は通し番号であり、同時に項の値でもあります。箱の縦の位置は数量の大きさを表す座標軸ではなく、群の中の順番です。

全体の第N項が第m群に入る条件は、m(m-1)/2<N≦m(m+1)/2です。左側はその群より前の項数、右側はその群の末尾までの項数です。例えば第12項は10<12≦15なので第5群にあり、群の中では12-10=2番目です。左側を等号つきにすると前の群の最後まで含めてしまうため、不等号の向きだけでなく等号の有無も点検します。

練習問題

次の4問では、答えの前に「何番目の項か」「どこからどこまでの和か」を書いてください。練習1では和の公式、練習2ではΣの分解、練習3では分数の打ち消し、練習4では群の境界が中心です。方法を選んだ理由を短く言葉にできるかも確かめましょう。

練習1

初項5、公差-3の等差数列について、第8項と初項から第8項までの和を求めてください。また、初項3、公比2の等比数列について、初項から第5項までの和を求めてください。

練習2

Σk=1〜6を求めてください。また、Σ[k=1〜4] k³を求めてください。2乗の和と、1乗の和を2乗したものの違いに注意しましょう。

練習3

Σ[k=1〜5] 1/{k(k+2)}を求めてください。各項を部分分数に直したあと、先頭と末尾で打ち消されずに残る分数をすべて書いてください。

練習4

正の整数を(1)、(2, 3)、(4, 5, 6)、…と、第m群にm個ずつ入るように分けます。第8群の最初の数、最後の数、その群にある数の和を求めてください。また、全体の第34項は第何群の何番目か求めてください。

答えと解説

練習1の答えは、等差数列の第8項が-16、その和が-44、等比数列の和が93です。第8項は5+(8-1)×(-3)=5-21=-16、和は8{5+(-16)}/2=-44となります。等比数列は3+6+12+24+48で、公式から3(2⁵-1)/(2-1)=3×31=93です。等差数列の和が負になるのは、負の項の寄与が正の項の寄与を上回るためで、和が負というだけでは誤りではありません。

練習2の答えは、161と100です。最初は2Σ[k=1〜6] k²-Σ[k=1〜6] k=2×6×7×13/6-6×7/2=182-21=161です。次は{4×5/2}²=10²=100です。実際に1+8+27+64=100になります。Σk²は各項を2乗してから足す式で、(Σk)²は足した結果を2乗する式です。計算する順番が異なります。

練習3の答えは25/42です。1/{k(k+2)}=(1/2){1/k-1/(k+2)}より、和は(1/2){(1-1/3)+(1/2-1/4)+(1/3-1/5)+(1/4-1/6)+(1/5-1/7)}です。1/3、1/4、1/5が消え、(1/2)(1+1/2-1/6-1/7)=(1/2)×25/21=25/42となります。分母の番号が2つずれるので、最初の2項と最後の2項が残ります。

練習4の答えは、最初が29、最後が36、群の和が260で、第34項は第8群の6番目です。第7群までに7×8/2=28個、第8群までに8×9/2=36個あるので、第8群は29から36までの8個です。和は8(29+36)/2=260です。また28<34≦36より第8群で、34-28=6番目となります。群の最初の数29を引くなら、34-29+1=6と、両端を含む分だけ1を足します。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

階差数列の関係a(n+1)-a(n)=b(n)は、次の項を現在の項から決める漸化式へつながります。また、数列の公式がすべての正の整数nで成り立つことを示すときには、数学的帰納法を学びます。ここで扱った有限個の和は、数学IIIで項数を限りなく増やす極限を考えるための土台にもなります。有限個の和の式と、無限に足した結果は区別して進みます。

家で5分使うなら、1つ目は自分で初項と公差を決め、最初の4項と一般項を書いて照らし合わせる練習です。次に公差を負にして、同じ式が使えるか確かめます。2つ目は、1/{k(k+1)}をk=1から4まで書き出し、部分分数に分けて消える項に印をつける練習です。残る項を言葉で説明してから、上端をnに変えてみましょう。

個別指導では、公式を思い出せないのか、項数を数え違えるのか、符号や通分で止まるのかを、途中式から確かめます。必要なら「第2項を初項からどう作るか」や分数1組の通分まで戻ることで、どこを練習すればよいかを具体的にできます。保護者の方は、お子さまに答えの数字だけを尋ねるより、「最後に足す項はどれか」を指してもらうと、範囲を読めているか確かめやすくなります。