【数学II】積分法を図解で総まとめ—不定積分・定積分の計算から面積・区分の考え方まで｜武蔵野個別指導塾

不定積分の積分定数から、符号で区間を分ける面積計算、2曲線間の1/6公式までを3枚の図で整理します。定積分で表された関数も、例題と練習で手順を確かめられます。

よくあるのは、理科室の実験台の脇で片付けが終わるのを待ちながら数学の課題を見直し、面積を求めたはずなのに答えが0になっていることに気づくという場面です。閉じた実験ノートの上でプリントを開き、積分の計算を指でたどっても同じ答えになると、公式そのものがわからなくなった気がするかもしれません。しかし、原因は計算ではなく、定積分と面積を同じものとして扱ったことにある場合があります。

積分では、微分した結果から元の関数を探す作業と、ある区間にわたる量をまとめる作業がつながっています。このつながりが見えると、曲線で囲まれた図形にも計算の入口を作れます。直線で囲まれた三角形や台形に限らず、放物線とx軸の間や2つの曲線の間の面積を求められるようになります。

まずは「何を求める問題か」を読み分けましょう。不定積分では関数を、定積分では区間を固定した値を、面積では図形の広さを求めます。この3つを区別しながら、数学IIで扱う多項式の積分を順に確かめます。

この単元で身につけること

• 微分すると与えられた関数になる原始関数を見つけ、不定積分を積分定数Cとともに書けるようにします。計算後に微分すれば、自分で答えを確かめられます。
• 定積分を「上端を代入した値から下端を代入した値を引く」計算で求めます。区間の分割や積分の向きを変える性質も、符号を含めて扱います。
• x軸との間の面積を、関数の正負に応じて区間に分けて求めます。定積分の値が負になる場合にも、面積は負にならない理由を説明できるようにします。
• 2曲線の交点と上下関係を調べ、上の関数から下の関数を引いて積分します。差が2次式になる場合には、条件を確認して1/6公式も使います。
• 積分区間の端に変数がある式を関数として読みます。積分の中の文字と端の文字を区別し、微分や条件への代入につなげます。

前の単元の導関数と、数学Iで学んだ2次関数のグラフ・符号が、この単元の土台です。特に因数分解で交点を求め、区間ごとの正負を判断する力は、積分公式と同じくらい使います。

基本の考え方

不定積分は微分を逆向きにたどる

関数F(x)を微分した結果がf(x)になるとき、F(x)をf(x)の原始関数といいます。たとえばx³を微分すると3x²なので、x³は3x²の原始関数です。ここでx³+5を微分しても3x²になります。定数を微分すると0になるため、微分した結果だけから、元の関数の定数部分は決められません。

そこで原始関数全体を、∫3x² dx=x³+Cと書きます。これが不定積分で、Cは任意の定数を表す積分定数です。記号∫は積分を表し、dxはxについて積分することを示します。dxを数として掛けたり割ったりする必要はありません。まずは「どの文字を変数として扱うかを示す部分」と読んでください。

基本の計算は、微分の公式を逆に使います。∫1 dx=x+C、∫x dx=x²/2+C、∫x² dx=x³/3+Cです。たとえばx³/3を微分すると、3が前に出て分母の3と打ち消し合い、x²に戻ります。「次数を1つ増やし、増やした次数で割る」という操作には、この理由があります。多項式では各項を別々に積分して足せばよく、定数倍もそのまま外に出せます。

ただし、この操作をどんな関数にもそのまま当てはめるのは避けましょう。ここで扱うのは、定数項を含む多項式です。分母にxがある関数などまで同じ説明で処理しようとせず、まず多項式を正確に積分できるようにします。また、積を積分するときに「それぞれの不定積分を掛ける」という決まりはありません。たとえばx(x+1)はx²+xに展開してから、項ごとに積分します。

原始関数を1つ選ぶ場面では、積分定数を0としたものを選んでもかまいません。一方、不定積分の答えは原始関数全体を表すので、最後の+Cが必要です。さらにF(0)=2のような条件があれば、Cを決定して1つの関数に絞れます。定数が残る問題なのか、条件で決める問題なのかを、問題文の最後まで読んで判断します。

定積分は区間を指定して差を求める

f(x)の原始関数をF(x)とすると、aからbまでの定積分は∫[a,b] f(x) dx=F(b)-F(a)で求められます。このページでは、積分記号の下端aと上端bを、読みやすいように∫[a,b]と横に並べて書きます。角括弧の中は関数への代入ではなく、積分する区間の端を表しています。

計算では[F(x)][a,b]という書き方も使い、これはF(b)-F(a)の意味です。たとえば∫[0,2] x² dx=[x³/3][0,2]=8/3です。原始関数をx³/3+Cと選んでも、差を取るとC-C=0になるので結果は同じです。したがって、定積分の答えに積分定数を残すことはありません。

定積分には、計算を組み立てるための性質があります。∫[a,a] f(x) dx=0、∫[b,a] f(x) dx=-∫[a,b] f(x) dxです。また、a<c<bなら、∫[a,b] f(x) dx=∫[a,c] f(x) dx+∫[c,b] f(x) dxと区間を分けられます。これはF(b)-F(a)の途中にF(c)を入れると、F(c)-F(a)+F(b)-F(c)になることから確かめられます。

和と定数倍については、不定積分と同じように項ごとに計算できます。定数kに対し、∫[a,b] kf(x) dx=k∫[a,b] f(x) dxです。ただし、定積分同士の積が、関数の積の定積分になるわけではありません。性質を使う際は、和なのか積なのか、式のつながりを見ます。

面積との関係を細い長方形で考える

図1のように、0≦x≦2でy=x²とx軸の間を考えます。幅が小さい長方形を並べれば、曲線の下の面積に近い値を作れます。図の長方形は幅1/2で、各区間の左端の高さを使っています。関数が増加しているので、どの長方形も曲線の下に収まり、合計は本当の面積より小さくなります。

図1では、長方形の高さは順に0、1/4、1、9/4です。幅1/2を掛けた面積の合計は7/4となり、定積分から求める8/3にはまだ届きません。最初の長方形は高さ0なので、図では面として見えません。分け方を細かくすると、曲線と長方形との隙間を小さくできる、というのが区分して量を足す考え方です。ここでは長方形の足し算の式を一般化するより、幅と高さを掛けたものを集めていると理解しましょう。

a<bで、その区間のf(x)が0以上なら、曲線とx軸の間の面積は∫[a,b] f(x) dxになります。一方、f(x)が0以下なら、高さは0-f(x)なので、面積は-∫[a,b] f(x) dxです。上下両方にまたがる場合は、符号が変わるところで区間を分けます。定積分はx軸より上の部分を正、下の部分を負として合計するため、そのまま図形全体の面積になるとは限りません。

2曲線の場合にも「縦の長さ×小さい横幅」を足す考え方が使えます。縦の長さは、上の曲線のy座標から下の曲線のy座標を引いたものです。両方の曲線がx軸より下にあっても、この引き算は変わりません。面積を決めるのは、それぞれがx軸の上下どちらにあるかではなく、2曲線の間の高さです。

例題で解き方を確かめる

例題1　不定積分と条件から関数を決める

F′(x)=3x²-4x+2、F(1)=5を満たすF(x)を求めます。導関数が与えられたので、最初に原始関数全体を書き、その後で条件を使う順番にします。

1. 各項を積分し、F(x)=x³-2x²+2x+Cと置きます。3x²はx³へ、-4xは-2x²へ、定数2は2xへ戻ります。定数項をそのまま2にしてしまうと、微分したときに0になるので注意します。
2. 条件F(1)=5を代入し、1-2+2+C=5とします。左辺の定数部分は1なので、C=4です。条件がなければCは決まりませんが、この問題では通る点が指定されています。
3. 得られたF(x)=x³-2x²+2x+4を微分すると3x²-4x+2になり、さらにF(1)=5です。導関数と点の条件の両方を確かめて、求める関数だと判断します。

答え：F(x)=x³-2x²+2x+4です。

不定積分を求めるだけの問いなら、手順1の式が答えです。条件つきの関数決定では、そこで止まらず、定数を決めるところまで進めます。微分の確認だけでは定数の間違いが見つからないので、条件への代入も省かないようにします。

例題2　負の下端を含む定積分

∫[-1,2] (3x²-2x+1) dxを求めます。積分区間に負の数があるときも、上端から下端を引く順番は変わりません。

1. 原始関数をG(x)=x³-x²+xとします。各項を微分して元の式へ戻ることを確かめれば、積分の係数の取り違えを防げます。定積分を計算するためなので、積分定数は0のものを選びます。
2. 上端を代入してG(2)=8-4+2=6、下端を代入してG(-1)=-1-1-1=-3とします。(-1)²=1なので、-x²の項は-1です。負の数を代入する際は、累乗の範囲を括弧で示します。
3. G(2)-G(-1)=6-(-3)=9と計算します。下端の値が負なので、最後の引き算は足し算になります。代入と引き算を1行に詰め込まず、上下の値を別々に求めると符号を追いやすくなります。

答え：定積分の値は9です。

同じ関数を2から-1まで積分すれば、値は-9です。また、-1から0までの値は3、0から2までの値は6で、足すと9になります。区間を分けても同じ値になることが、定積分の性質の具体的な確認になっています。

例題3　2曲線で囲まれる面積と1/6公式

y=x²とy=2xで囲まれる部分の面積Sを求めます。図2のように、交点で区間を定め、途中の上下関係から高さを決めます。

1. 交点ではx²=2xなので、x(x-2)=0からx=0、2です。対応するy座標は0、4となり、交点は(0,0)、(2,4)です。面積の積分区間は、この2つのx座標から0≦x≦2と決まります。
2. 上下関係を調べます。2x-x²=x(2-x)は0<x<2で正なので、この区間では直線が上、放物線が下です。したがって縦の長さは2x-x²になります。図2のx=1では、上が2、下が1で、高さは1です。
3. S=∫[0,2] (2x-x²) dx=[x²-x³/3][0,2]=4-8/3=4/3と計算します。交点を求めただけでは引き算の順番は決まらないので、手順2を挟んでから積分することが大切です。

答え：囲まれた部分の面積は4/3です。

この問題は1/6公式でも求められます。2曲線の差が2次式A(x-α)(x-β)で、α<βの2つの交点の間に囲まれた部分があるとき、面積は|A|(β-α)³/6です。ここでAは、元のどちらか一方の関数の係数ではなく、「2曲線の差」の2次の係数です。差を逆向きに取っても|A|は変わりません。

公式の形にも理由があります。幅をh=β-αとし、左の交点からの横方向の距離をuとすると、縦の長さは|A|u(h-u)になります。そこで0からhまで積分すると、|A|[hu²/2-u³/3][0,h]=|A|(h³/2-h³/3)=|A|h³/6です。幅の3乗が出るのは、横幅だけでなく、2次式で表される高さも幅に応じて変化するためです。

例題3では差x²-2x=x(x-2)から、A=1、α=0、β=2です。したがってS=1×2³/6=4/3となり、直接積分した結果に一致します。「2つの交点がある」「差が2次式」「その交点間の面積」という条件を確認して使う公式であり、任意の区間や3次式の差にそのまま当てはめることはできません。

例題4　定積分で表された関数を調べる

H(x)=∫[1,x] (3t²-2t) dtとするとき、H(x)、H′(x)、およびH(x)=0を満たすxを求めます。積分の中のtは計算用の変数で、xは積分の上端を決める変数です。

1. tについて積分して、H(x)=[t³-t²][1,x]とします。tについての原始関数に上端xを代入するとx³-x²、下端1を代入すると0になるので、H(x)=x³-x²です。下端が固定されていても、その値を代入する操作は必要です。
2. 求めた式を微分して、H′(x)=3x²-2xとなります。これは積分の中の関数でtをxに置き換えた式です。固定した下端からxまでの定積分を微分すると元の関数に戻る、という微分と積分の関係が表れています。
3. H(x)=0はx³-x²=x²(x-1)=0なので、x=0、1です。x=1は積分の両端が同じになる場合です。x=0も解になることから、定積分が0になるのは両端が等しい場合だけではないとわかります。

答え：H(x)=x³-x²、H′(x)=3x²-2x、H(x)=0の解はx=0、1です。

ここではx<1の値も使えます。上端が下端より小さくなったときには、積分の向きを逆にする性質に従って計算します。図形の面積としてだけ読もうとすると戸惑いますが、F(x)-F(1)という差として読めば、区間の向きも自然に扱えます。

一般に、多項式f(t)についてH(x)=∫[a,x] f(t) dtならH′(x)=f(x)、H(a)=0です。反対に、∫[x,a] f(t) dtなら微分した結果は-f(x)になります。また、∫[a,b] f(t) dtの両端が固定されていれば、その値はxによらない定数です。記号∫を見てすぐ微分の規則を当てはめず、どこに変数xが置かれているかを先に確認しましょう。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　増やした次数で割らない

誤った書き方は、∫x² dx=x³+Cです。どこが違うかは、右辺を微分すると3x²になり、元のx²の3倍になることからわかります。正しい書き方は、∫x² dx=x³/3+Cです。次数を増やすだけでなく、その次数で割るところまでを1組として扱います。

同じ理由で、定数項の積分にもxが必要です。∫2 dx=2x+Cとなり、右辺を微分すると2に戻ります。計算の練習では、答えのすぐ下に微分した式を書き、各項の係数が元の式と一致しているかを見ると修正箇所がはっきりします。すべての項に別々の積分定数を書く必要はなく、定数の和をまとめたCを最後に1つ書けば十分です。

誤り2　定積分の値をそのまま面積にする

y=x²-1とx軸、および直線x=2で囲まれる部分を、-1≦x≦2の全体で考えます。誤った書き方は、S=∫[-1,2] (x²-1) dx=0だから面積は0、というものです。積分の計算自体は合っていますが、x軸の下の部分を負として足しているため、図形の広さは求められていません。

図3のように、x²-1=(x-1)(x+1)は-1<x<1で負、1<x≦2で正です。正しい書き方は、S=-∫[-1,1] (x²-1) dx+∫[1,2] (x²-1) dxです。原始関数P(x)=x³/3-xを使うと、前半の定積分は-4/3、後半は4/3なので、面積は4/3+4/3=8/3です。図の緑の部分と橙の部分は、積分では相殺されますが、面積では両方とも加えます。

全区間の定積分を求めた後で絶対値をつけるだけでも直りません。この例では|0|=0のままです。符号が変わる場所で先に分け、それぞれの部分を正の面積として足す順番が必要です。x軸との交点を求めることは、単に図をきれいにかくためではなく、面積の式を決める計算なのです。

誤り3　2曲線の差を順番だけで決める

例題3で誤った書き方をすると、S=∫[0,2] (x²-2x) dx=-4/3となります。問題文で先に書かれた関数から後の関数を引いても、それが縦の長さになるとは限りません。どこが違うかは、x=1でx²-2x=-1になり、「高さ」が負になっていることで見つけられます。

正しい書き方は、S=∫[0,2] (2x-x²) dx=4/3です。交点の間では上が2x、下がx²なので、この順に引きます。複数の交点があって上下関係が途中で変わる問題なら、区間ごとに引く順番を変えます。交点のx座標を小さい順に並べ、各区間の代表の値で差の符号を確認すると、分割すべき場所を整理できます。

面積の答えが負だったら、最後に符号だけ変える前に、立てた積分を見直しましょう。全区間で引き算が逆だったのか、途中で上下が入れ替わったのかでは修正方法が違います。式の誤りを図のどの部分に対応させるかまで戻ると、次の問題でも同じ間違いを防げます。

練習問題

次の4問では、計算を始める前に、求めるものが関数・定積分の値・面積のどれかを余白に書きましょう。面積の問題には、小さな概形と交点のx座標も添えてください。答えが一致した場合も、積分定数、端点の代入、引き算の順番まで確かめると、理解できた部分を区別できます。

練習1

F′(x)=6x²+2x-3、F(0)=2を満たすF(x)を求めましょう。まず積分定数を含む形を書き、条件を使って1つの関数に決めます。

練習2

∫[0,3] (2x-2) dxの値と、0≦x≦3で直線y=2x-2とx軸の間にある部分の面積を、それぞれ求めましょう。区間の両端の直線x=0、x=3も境界に含め、x軸との交点で分けて考えます。

練習3

y=2x²とy=6xで囲まれる部分の面積を求めましょう。直接積分する方法と1/6公式を使う方法の両方で確かめ、公式の係数がどこから来るかも説明します。

練習4

K(x)=∫[2,x] (2t+1) dtについて、K(x)、K′(x)、K(x)=0の解を求めましょう。下端が2なので、その代入値を忘れずに引きます。

答えと解説

練習1の答えはF(x)=2x³+x²-3x+2です。各項の積分からF(x)=2x³+x²-3x+Cとし、F(0)=C=2を使います。微分すると6x²+2x-3に戻り、x=0の代入値も2なので、2つの条件を満たしています。

練習2の答えは、定積分の値が3、面積が5です。定積分は[x²-2x][0,3]=9-6=3です。直線はx=1でx軸と交わり、0≦x<1では負、1<x≦3では正です。それぞれの定積分は-1と4なので、面積は-(-1)+4=5になります。底辺1・高さ2の三角形と、底辺2・高さ4の三角形として求めても、面積は1+4=5です。

練習3の答えは9です。2x²=6xから交点のx座標は0、3で、間では6xが上です。S=∫[0,3] (6x-2x²) dx=[3x²-2x³/3][0,3]=27-18=9となります。差2x²-6x=2x(x-3)の2次の係数は2なので、1/6公式では2×3³/6=9です。係数2を落とすと半分の値になるため、幅だけでなく差の係数も確認します。

練習4の答えはK(x)=x²+x-6、K′(x)=2x+1、方程式の解はx=-3、2です。[t²+t][2,x]から、下端の値6を引いてK(x)を得ます。K(x)=0は(x+3)(x-2)=0と因数分解できます。x=-3は下端2より小さいですが、定積分は向きを逆にした区間でも定義されるので、除外しません。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

数学IIIでは、三角関数や指数関数などの積分、置換積分や部分積分を学びます。さらに、断面の面積を積み重ねて体積を求める考え方へ進みます。対象となる関数や図形が増えても、「微分すると戻るか」「何を細かく分けて足しているか」という確認は使い続けます。

家庭で5分ほど使うなら、1つ目は不定積分の往復確認です。ノートに短い多項式を1つ書き、積分してから微分して元の式に戻るかを確かめます。積分定数の値を変えても微分の結果が変わらないことまで確認すると、Cをつける理由も結びつきます。

2つ目は、練習2の直線を小さくかいて、「負になる区間」「面積のために符号を変える区間」を指で示す方法です。計算を全部繰り返さなくても、定積分が3で面積が5になる理由を説明できれば、使い分けを確認できます。お子さまの学習を見守る際も、答えの数字だけでなく、どこで区間を分けたかを聞くと、考えた過程が見えやすくなります。

個別指導では、積分の計算を増やす前に、係数の誤りなら微分の公式まで、面積の符号の誤りなら2次不等式とグラフまで戻って確かめます。交点を求められるのに面積の式が立たない場合は、図に縦の線分を1本引き、その長さを式にするところから取り組みます。

まとめ

面積を求める式の前には、交点を探す、上下を見る、高さを引き算で表すという判断があります。積分の途中式だけを眺めて行き詰まったときは、図の中に細い縦の線分を1本置いてみましょう。その線分の長さと自分の式が一致するかを確かめると、計算を直す場所が具体的になります。

積分の答えは、微分で元の式へ戻し、図で量の意味を確かめることで、自分の手で検証できます。面積計算の出発点は、積分記号ではなく、図の中の正しい高さです。

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