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【数学II】微分法を図解で総まとめ—平均変化率・微分係数・導関数・接線・増減と極値｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.10.12更新 2026.10.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学単元解説（数I・A・II・B・III・C）

【数学II】微分法を図解で総まとめ—平均変化率・微分係数・導関数・接線・増減と極値のアイキャッチ武蔵野個別指導塾

放物線の割線から接線へ進む図で微分の意味をつかみ、3次関数の増減表、区間内の最大・最小、方程式の実数解の個数まで手順を追って確かめられます。

よくあるのは、授業前に塾の待合の長椅子へ座り、質問する箇所を探してノートを開くと、「x=2 における接線の方程式」で f(2) と f′(2) のどちらを傾きにするのか迷うという場面です。膝の上でページを押さえて見直すと、微分の計算はできています。それでも、得られた数を直線の式のどこに入れるのかが決まりません。講師に尋ねる前にこの迷いを言葉にすると、関数の値と変化の割合の区別が確かめたい点だとわかります。

微分法では、曲線のある点での傾きを数にします。その数を場所ごとに調べれば、曲線が上がる区間と下がる区間、山や谷になる位置を読み取れます。さらに、限られた範囲での最大・最小や、方程式がいくつ実数解をもつかまで考えられます。

最初から公式だけを覚えると、接線や増減表が別々の問題に見えがちです。平均変化率から始めて「2点を結ぶ直線の傾きが、1点での接線の傾きに近づく」という流れをつかむと、計算の目的を見失いにくくなります。数学IIの多項式関数を中心に、式とグラフを行き来しながら進めましょう。

この単元で身につけること

平均変化率を求めます。関数の値の差を x の差で割り、2点を結ぶ直線の傾きとして説明できるようにします。
微分係数の意味をつかみます。区間の幅を 0 に近づけたときの平均変化率の極限が、指定された点での接線の傾きです。
導関数を求めます。場所を表す x を残したまま微分し、任意の位置での傾きを調べる式を作ります。
接線の方程式を立てます。接点の座標と傾きという、直線を決める2つの情報を別々にそろえます。
増減と極値を調べます。導関数の符号から増減表を作り、区間の端の値も含めて最大・最小を判断します。
方程式や不等式に利用します。グラフと水平な直線との交点を数えたり、差を表す関数の最小値から大小関係を示したりします。

土台になるのは、1次関数で学んだ傾き、2次関数のグラフ、整式の展開と因数分解です。微分が難しく見えるときも、差を括弧で正しく引けるか、2次式の正負を区間ごとに判断できるかまで戻ると、止まっている場所が見えてきます。

基本の考え方

平均変化率は2点の間の傾き

関数 y=f(x) で、x が a から b まで変わるとします。ただし a と b は異なる値です。このとき、x の変化量は b-a、y の変化量は f(b)-f(a) です。平均変化率は、次の比で定めます。

平均変化率 = (f(b)-f(a))/(b-a)

分母と分子では、必ず同じ向きに差を取ります。分母を「後の x – 前の x」としたら、分子も「後の y – 前の y」です。上下をともに逆向きにしても値は変わりませんが、片方だけを逆にすると符号が変わります。

たとえば、時刻 x 秒での位置が f(x) メートルと表されているなら、この比はその区間の平均の速度に当たり、単位はメートル毎秒になります。単に移動後の位置を時間で割るのではなく、位置の変化を時間の変化で割っている点が大切です。出発位置が 0 でなくても同じ式が使えます。

グラフでは、A(a, f(a)) と B(b, f(b)) を結ぶ直線の傾きです。曲線上の2点を通るこの直線を割線といいます。図1では y=x² の A(1, 1) と B(2, 4) を結ぶ割線が橙色で、傾きは (4-1)/(2-1)=3 です。

図1の緑色の直線は A における接線です。割線の傾き 3 と接線の傾き 2 が異なるのは、前者が x=1 から x=2 までの全体の変化を表し、後者が x=1 付近の局所的な変化を表すからです。曲線では、どの区間を選ぶかによって平均変化率が変わります。

区間の幅を近づけると微分係数になる

B の x 座標を a+h と書くと、A から B までの x の変化量は h です。h は 0 以外とし、平均変化率を (f(a+h)-f(a))/h と書きます。h を 0 に近づけたとき、この比がある一定の値に近づくなら、その極限値を x=a における微分係数といい、f′(a) と表します。記号 ′ はプライムと読みます。

f′(a) = lim（h→0）(f(a+h)-f(a))/h

lim は極限を表す記号です。ここで行うのは h=0 を最初から代入する操作ではありません。h が 0 でない状態で式を整理し、h を限りなく 0 に近づけたとき、式全体が何に近づくかを調べます。h は正の側からも負の側からも近づけ、同じ値に近づくことが必要です。

y=x² なら、分子を展開して (a+h)²-a²=2ah+h² となります。h≠0 なので h で割れて、平均変化率は 2a+h です。h→0 のとき 2a+h は 2a に近づくため、f′(a)=2a と決まります。a=1 なら傾きは 2 であり、図1の接線の傾きと一致します。

実際に a=1 としてみると、h=0.1 の平均変化率は 2.1、h=0.01 では 2.01 です。反対側の h=-0.1 では 1.9、h=-0.01 では 1.99 となります。左右のどちらから近づけても 2 に近づく様子が、2+h という式から読み取れます。これらの小数は接線の傾きの近似であり、極限を求めた結果の 2 が微分係数です。

接線は「曲線と交点が1個しかない直線」と覚えないようにします。特に3次関数では、ある点での接線が別の点でも曲線と交わることがあります。微分でいう接線を決めるのは、その点の近くでの傾きです。

導関数は傾きを返す関数

f′(a) は、a を決めれば1つの数になります。一方、どの x でもその位置の微分係数を返す関数を導関数といい、f′(x) と表します。もとの関数 f(x) から導関数 f′(x) を求めることを、微分するといいます。

多項式の微分では、定数の導関数は 0、x の導関数は 1、x² の導関数は 2x、x³ の導関数は 3x² です。一般に正の整数 n に対し、x の n 乗を微分すると「n × x の (n-1) 乗」となります。定数倍は係数をそのまま掛け、和や差は項ごとに微分できます。定数項は位置を上下にずらしますが、傾きは変えないので微分すると 0 になります。

たとえば f(x)=2x³-5x²+4x-7 なら、f′(x)=6x²-10x+4 です。まず各項の次数と係数を確認し、微分後に項を並べると、定数項を残すミスや負号の落としを防げます。また、(x+1)(x²-2) のような積は、この範囲では x³+x²-2x-2 と展開してから微分すると、3x²+2x-2 が得られます。積の両方を別々に微分して掛ける計算はできません。

ここまでの公式は、定義から毎回極限を計算する手間を省くためのものです。傾きの意味が消えたわけではありません。f(x) はグラフの高さ、f′(x) はグラフのその位置での傾き、と役割を分けて読むことが、次の接線と増減の問題をつなぎます。

例題で解き方を確かめる

例題1　平均変化率と微分係数を定義から求める

f(x)=x²+2x について、x が 1 から 3 まで変わるときの平均変化率と、x=1 における微分係数を求めます。同じ関数で2種類の変化率を比べ、どの幅の変化を扱っているかを確認します。

両端の関数の値を求めます。分子は x の値そのものの差ではなく、関数の値の差だからです。f(1)=1+2=3、f(3)=9+6=15 となります。
変化量の比を取ります。平均変化率は (15-3)/(3-1)=12/2=6 です。2点 (1, 3)、(3, 15) を結ぶ直線の傾きが 6 とわかります。
x=1 の近くで区間の幅を h とします。1点での傾きを求めるため、(f(1+h)-f(1))/h を作ります。f(1+h)=3+4h+h² なので、分子は 4h+h² です。
h≠0 のもとで割り、極限を取ります。(4h+h²)/h=4+h が h→0 で 4 に近づくため、f′(1)=4 です。

答え：平均変化率は 6、x=1 における微分係数は 4 です。

平均変化率と微分係数が一致しなくても、計算が誤りとは限りません。この関数は右へ進むほど傾きが大きくなるので、x=1 での傾きより、1 から 3 までの平均の傾きのほうが大きくなります。公式で f′(x)=2x+2 と計算しても f′(1)=4 となり、定義による結果と一致します。

例題2　接点と傾きから接線の式を作る

f(x)=x³-3x のグラフ上の、x=2 に対応する点における接線の方程式を求めます。点 (a, f(a)) を通り、傾きが f′(a) である直線は、y-f(a)=f′(a)(x-a) と書けます。

接点の座標を求めます。直線がどこを通るかを決めるため、微分する前の関数に代入します。f(2)=8-6=2 なので、接点は (2, 2) です。
導関数を求めて x=2 を代入します。接線の傾きを決めるため、f′(x)=3x²-3、f′(2)=12-3=9 と計算します。
点と傾きの情報を直線の式に入れます。y-2=9(x-2) から y=9x-16 です。最後に x=2 を代入すると y=2 となり、接点を通ることを確かめられます。

答え：接線の方程式は y=9x-16 です。

図2の緑色の直線が、この接線です。接点の y 座標は 2 ですが、接線の傾きは 9 です。同じ x=2 を代入していても、f に代入した結果と f′ に代入した結果は使い道が異なります。

図2では接点の近くに接線が描かれています。式で曲線と接線の差を取ると、x³-3x-(9x-16)=x³-12x+16=(x-2)²(x+4) です。このため接線は、図の範囲外の x=-4 でも曲線と交わります。接線かどうかを交点の個数だけで判断できないことも確かめられます。

例題3　増減表から極値と区間内の最大・最小を求める

f(x)=x³-3x の増減と極値を調べ、-2≦x≦3 における最大値と最小値を求めます。極大・極小は近くの値と比べた山や谷、最大・最小は指定された範囲全体で比べた一番大きい値と小さい値です。

導関数を因数分解します。符号が切り替わる候補を見つけるため、f′(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1) とします。f′(x)=0 の解は x=-1、1 です。
その2点で数直線を区切って符号を調べます。x<-1 では2つの因数がともに負なので積は正、-1<x<1 では符号が異なるので負、x>1 ではともに正なので正です。係数 3 は正で、符号を変えません。
導関数の正負をもとの関数の増減に読み替えます。f′(x)>0 の区間では増加し、f′(x)<0 の区間では減少します。f(-1)=2、f(1)=-2 を入れると、次の増減表ができます。

x	x<-1	-1	-1<x<1	1	x>1
f′(x)	+	0	–	0	+
f(x)	↗	2	↘	-2	↗

前後の増減を見て極値を判定します。x=-1 では増加から減少に変わるので極大値 2、x=1 では減少から増加に変わるので極小値 -2 です。極値は y の値であり、x の値は極値を取る位置です。
指定区間の両端も比較します。閉じた区間での最大・最小は端で取る場合があるため、f(-2)=-2、f(-1)=2、f(1)=-2、f(3)=18 を並べます。最大は 18、最小は -2 で、最小値を取る x は2つあります。

答え：x<-1 と x>1 で増加、-1<x<1 で減少し、x=-1 で極大値 2、x=1 で極小値 -2 を取ります。-2≦x≦3 での最大値は 18（x=3）、最小値は -2（x=-2、1）です。

図2の赤い2点が極大点と極小点です。ただし図2の表示範囲には x=3 の点を入れていません。描かれた部分の中で一番高い点を選ぶのではなく、問題の定義域の端まで式で確かめる必要があります。

グラフをかくときは、増減表で上がる向きと下がる向きを決めてから、極大点・極小点、座標軸との交点を打ちます。この関数では x³-3x=x(x²-3) なので、x 軸との交点の x 座標は -√3、0、√3 です。原点を通ることも合わせて確認すると、山と谷の位置が安定します。点を順につなぐ際には、極大点・極小点で接線が水平になることを反映させます。

例題4　グラフから実数解の個数と不等式を考える

実数 k に対して、方程式 x³-3x=k の異なる実数解の個数を調べます。続いて、x≧-2 で x³-3x+2≧0 が成り立つことを示します。どちらも例題3の関数の値の動きを利用できます。

方程式をグラフの交点に読み替えます。左辺を y=f(x)、右辺を y=k と見れば、実数解の個数は曲線と水平な直線との交点の個数です。x の値を直接解く必要はありません。
極大値 2 と極小値 -2 を境に k を分けます。-2<k<2 なら、増加・減少・増加のそれぞれの部分に交点が1個ずつあり、合計3個です。k>2 または k<-2 なら、交点は1個になります。多項式のグラフが途切れず、各区間で一方向に動くことを使っています。
境目を別に調べます。k=2 では x³-3x-2=(x-2)(x+1)²=0 なので、異なる実数解は -1、2 の2個です。k=-2 では x³-3x+2=(x+2)(x-1)²=0 なので、異なる実数解は -2、1 の2個です。重なった根を2個の異なる解とは数えません。
不等式を最小値の問題に変えます。x≧-2 では、f は -2 から -1 まで増加し、-1 から 1 まで減少し、1 以後は増加します。f(-2)=f(1)=-2 なので、この範囲で f(x)≧-2 です。両辺に 2 を加えると求める不等式になります。

答え：異なる実数解は -2<k<2 で3個、k=-2 または 2 で2個、それ以外で1個です。また x≧-2 で x³-3x+2≧0 が成り立ち、等号は x=-2、1 です。

不等式は、因数分解した (x+2)(x-1)² の符号からも確かめられます。指定範囲では x+2≧0 で、平方は常に 0 以上なので積も 0 以上です。微分による説明と代数による説明が同じ結論を指しているかを確認すると、増減表の符号の誤りにも気づけます。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　極限を求める前に h=0 を代入する

誤った書き方は「(f(a+h)-f(a))/h に h=0 を代入すると 0/0 だから、微分係数は 0」です。0/0 は値が決まる割り算ではなく、この式にそのまま代入することはできません。「0 に近づける」と「0 に置き換える」を区別する必要があります。

正しい書き方は、まず h≠0 の範囲で展開や因数分解をして h を約分し、その後で極限を求める形です。f(x)=x² なら、(2ah+h²)/h=2a+h としてから h→0 により 2a とします。約分前には代入できなかった値でも、0 以外の h で等しい式に整理することで、近づく先を調べられます。

誤り2　導関数の値を接点の高さに使う

誤った書き方は、例題2で「f′(2)=9 だから接点は (2, 9)、接線は y-9=9(x-2)」とすることです。9 は傾きであり、グラフの高さではありません。この直線は本当の接点 (2, 2) を通らないので、指定された接線にはなりません。

正しい書き方は「f(2)=2 から接点 (2, 2)、f′(2)=9 から傾き 9、よって y-2=9(x-2)」です。途中の数の横に「高さ」「傾き」と短く役割を書いておくと、式に入れる位置を判断できます。接線を求めた後は、接点を通ることと傾きが一致することの両方を確かめます。

誤り3　導関数が 0 なら必ず極値があるとする

誤った書き方は「f′(a)=0 だから x=a で極大または極小」です。導関数が 0 であることは極値の候補を見つける条件ですが、それだけで増加から減少、または減少から増加への切り替わりは決まりません。

正しい書き方は、候補の前後で導関数の符号を調べてから極値を判定する形です。図3の y=x³ は f′(x)=3x² なので f′(0)=0 ですが、x<0 でも x>0 でも f′(x)>0 です。原点で接線は水平になっても、関数はその前後で増加し続け、x=0 では極値を取りません。

図3のような例を増減表に直すと、導関数の符号は「+、0、+」になります。「0 があるか」だけでなく、「0 の両側で符号が変わるか」を読みます。また、極値をすべて見つけても、最大・最小を求める作業は終わりません。指定された区間がある場合は、その端の値を比較表に加えるところまでを1つの手順にします。

練習問題

練習1

f(x)=x²-4x+1 について、x が 0 から 3 まで変わるときの平均変化率と、x=3 における微分係数を求めてください。平均変化率は両端の値から、微分係数は導関数から求め、2つの値を比べます。

練習2

f(x)=2x³-x²+1 のグラフ上の、x=-1 に対応する点における接線の方程式を求めてください。接点の高さと傾きをそれぞれ計算してから、点と傾きによる直線の式を使います。

練習3

f(x)=x³-3x² について、増減と極値を調べ、-1≦x≦3 での最大値・最小値と、それを取る x の値を求めてください。増減表には導関数の符号を書き、端の値も別に計算します。

練習4

実数 k に対し、方程式 x³-3x²=k の異なる実数解の個数を調べてください。さらに x≧0 における不等式 x³-3x²+4≧0 を、練習3の増減を使って示し、等号が成り立つ x を求めます。

答えと解説

練習1の答えは、平均変化率が -1、微分係数が 2 です。f(0)=1、f(3)=-2 なので、平均変化率は (-2-1)/(3-0)=-1 です。一方、f′(x)=2x-4 より f′(3)=2 です。区間全体で見れば終点は始点より低くても、終点付近では曲線が上がっていることがあります。2つの符号が違っても矛盾ではありません。

練習2の答えは y=8x+6 です。f(-1)=-2-1+1=-2 で接点は (-1, -2)、f′(x)=6x²-2x より f′(-1)=8 です。したがって y+2=8(x+1) となります。完成した式に x=-1 を入れると y=-2 で、接点を通ることも確かめられます。

練習3は、f′(x)=3x²-6x=3x(x-2) と因数分解します。符号は x<0 で正、0<x<2 で負、x>2 で正なので、順に増加・減少・増加です。x=0 で極大値 0、x=2 で極小値 -4 を取ります。区間の端では f(-1)=-4、f(3)=0 です。よって最大値は 0（x=0、3）、最小値は -4（x=-1、2）となります。同じ最大値や最小値を別々の位置で取ることがあるので、x の値を1つ見つけて止めないようにします。

練習4は、-4<k<0 で3個、k=-4 または 0 で2個、k<-4 または k>0 で1個です。境目では、k=0 の式は x²(x-3)=0 から x=0、3、k=-4 の式は (x+1)(x-2)²=0 から x=-1、2 となります。また x≧0 では f は x=2 まで減少し、その後増加するので最小値は -4 です。したがって f(x)+4≧0 で、等号は x=2 のときだけです。因数分解した式のもう1つの根 x=-1 は、今回の範囲に含まれません。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

微分の次に学ぶ積分では、導関数からもとの関数を考える操作が出てきます。たとえば導関数が 2x になる関数には x² だけでなく x²+3 もあり、微分すると定数が消えることが積分の定数につながります。数学IIIでは三角関数や指数関数などにも微分が広がりますが、接線を点と傾きで決める考え方や、導関数の符号から増減を見る流れは引き続き使います。

家庭では、次の2つをそれぞれ5分で確かめられます。1つ目は y=x² で x=1 から x=1+h までの平均変化率を作り、h=0.1 と h=-0.1 を入れて、どちらも 2 に近いことを説明することです。2つ目は f(x)=x³-3x の増減表だけを白紙に書き、x=-1 と x=1 の左右の符号、極値、区間 -2≦x≦3 の端の値を順に埋めることです。

お子さまのノートを見ながら確かめる場合は、「この 2 は高さですか、傾きですか」と数の意味を尋ねると、途中の理解が見えます。個別指導で確認する際も、微分公式を忘れたのか、差の計算や因数分解で止まったのか、符号から増減への読み替えに迷ったのかを分け、必要な段階まで戻って確かめます。