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【数学A】整数の性質を図解で総まとめ—約数と倍数・ユークリッドの互除法・1次不定方程式・n進法｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.10.12更新 2026.10.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学単元解説（数I・A・II・B・III・C）

【数学A】整数の性質を図解で総まとめ—約数と倍数・ユークリッドの互除法・1次不定方程式・n進法のアイキャッチ武蔵野個別指導塾

約数の組合せと互除法を図で確かめ、1次不定方程式のすべての整数解へ進みます。負の数の余り、分数が有限小数になる条件、n進法の位取りも計算の理由からたどれます。

よくあるのは、祖父母の家の客間で宿題を広げ、7x+5y=1 の答えに x=3、y=-4 と書いたあと、「すべての整数解を求めよ」の一言で手が止まるという場面です。代入すれば確かに 1 になりますが、それで答えが終わりなのか、ほかの組をどこまで探せばよいのかが見えません。整数の問題では、計算が合っていることと、条件を満たす数を漏れなく捉えていることを分けて考えます。

中学校で扱った約数や倍数は、そのための道具になります。割り切れる条件を文字で表し、余りを限られた範囲に収めると、大きな数や無限にある整数も整理できます。さらに、分数の小数表示や2進法も、同じ割り算の考え方でつながります。数を次々に試すだけの状態から、候補を絞る理由と、答えが尽くされている理由を説明できる状態を目指しましょう。

この単元で身につけること

約数と倍数を式で表します。「a が b を割り切る」という条件を b=ak と書き、k が整数であることまで読み取ります。
素因数分解から約数の個数を求めます。素数の指数を選ぶという見方で、最大公約数と最小公倍数も整理します。
商と余りを正しく決めます。割られる数が負の場合も、余りの範囲を使えば表し方を一つに定められます。
ユークリッドの互除法を使います。割り算を繰り返して最大公約数を求め、その計算を逆にたどって整数の組を見つけます。
1次不定方程式の整数解を尽くします。一組の解から文字で全体を表し、正の整数などの追加条件にも対応します。
分数と小数、n進法を結びつけます。小数が終わる条件や、割り算の余りから各桁が決まる仕組みを説明します。

土台になるのは、中学校の素因数分解と、文字式の等式変形です。難しい公式を増やすよりも、「この文字は整数か」「この割り算の余りはどの範囲か」を式のそばに添える習慣が役立ちます。

基本の考え方

約数を素数の組合せで見る

整数には負の数、0、正の数があります。0 で割ることはできないので、約数を考えるときの割る数は 0 以外です。整数 a≠0 に対し、b=ak となる整数 k があるとき、a は b の約数、b は a の倍数です。例えば 18=6×3 なので 6 は 18 の約数です。また 0=6×0 なので、0 も 6 の倍数に含まれます。約数の個数を数える問題では、特に指定がなければ正の約数を数えることが多く、ここでもその約束で進めます。

素数とは、1 より大きい自然数で、正の約数が 1 と自分自身だけの数です。1 は素数ではありません。素因数分解は、1 より大きい自然数を素数の積に分けることです。例えば 72=2³×3² と表せます。72 の正の約数には、2 を 0 個から 3 個まで、3 を 0 個から 2 個まで使えます。ほかの素数を入れると 72 を割り切れなくなるため、この選び方ですべての約数が得られます。

図1のように、横に 2 の個数、縦に 3 の個数を並べると、約数を漏れなく整理できます。例えば右上の 8 は 2 を 3 個、3 を 0 個使った数で、右下の 72 は 2 を 3 個、3 を 2 個使った数です。同じ数が重ならないのは、素因数分解が素数の並べ方を除いて一つに定まるからです。

横の選択肢は 4 通り、縦は 3 通りなので、正の約数は 4×3=12 個です。「指数に 1 を加えてかける」の 1 は、その素数を一つも使わない選択肢を表します。約数 1 も、2 と 3 をともに 0 個選んだ結果として含まれます。指数をそのままかけると、この選択を落としてしまいます。

最大公約数は共通の正の約数のうち最大の数、最小公倍数は共通の正の倍数のうち最小の数です。72=2³×3² と 120=2³×3×5 なら、最大公約数では両方に含まれる範囲だけ素因数を選びます。したがって 2³×3=24 です。最小公倍数は両方の数で割り切れる必要があるので、必要な素因数を多いほうに合わせて 2³×3²×5=360 となります。

素数ごとに見れば、指数の小さいほうと大きいほうを足した値は、もとの二つの指数の和です。このため、二つの正の整数の積は「最大公約数×最小公倍数」に等しくなります。この関係は二つの数についてのものです。三つの数の積へ、そのまま同じ公式を当てはめることはできません。また最大公約数が 1 の二つの整数は「互いに素」といいます。8 と 9 のように、それぞれが素数でなくても互いに素になります。

割り算の余りと互除法の仕組み

整数 a を正の整数 b で割るとき、a=bq+r、0≦r<b と書きます。q が商、r が余りです。この二つの条件を一緒に使うと、商と余りが一つに決まります。例えば 23=5×4+3 なので、23 を 5 で割った商は 4、余りは 3 です。余りが 5 以上なら、まだ 5 をもう一つ取り出せるので割り算が終わっていません。

余りに注目すると、数を少ない種類に分けられます。2 で割った余りは 0 か 1 なので、整数は 2k または 2k+1 と書けます。これが偶数と奇数です。奇数の平方は (2k+1)²=4k(k+1)+1 であり、k と k+1 のどちらかが偶数なので、8 で割ると 1 余ります。k が負でも連続する整数の偶奇は変わらず、この議論が通用します。

余りを使って計算を軽くすることもできます。ある数が 5k+2、別の数が 5l+3 なら、和は 5(k+l+1) となり 5 で割り切れます。積は 25kl+15k+10l+6 なので、5 の倍数を除くと余りは 1 です。余りどうしを足したりかけたりしてもよいのですが、その結果をもう一度 5 で割った余りに直す必要があります。「余りが 6」という答えにはしません。

互除法の核は、a=bq+r のとき、a と b の公約数が b と r の公約数と一致することです。a と b を割り切る数は、差 a-bq=r も割り切ります。逆に b と r を割り切る数は、和 bq+r=a も割り切ります。片方の向きだけでなく、両方の向きを確かめることで、公約数の集まりが同じだといえます。

そこで、最大公約数を求める組を「a と b」から「b と r」へ置き換えます。余りは割る数より小さくなるので、この操作を続けると余りはやがて 0 になります。その直前の 0 でない余りが最大公約数です。素因数分解しにくい数でも、小さな数の割り算へ移せる点が互除法の強みです。

分数の小数表示とn進法

分数を小数に直すときも、余りが次の計算を決めます。3/8=0.375 のように途中で終わる小数を有限小数、1/3=0.333… のように同じ数字の並びを繰り返す小数を循環小数といいます。分母を正として既約分数に直したとき、分母の素因数が 2 と 5 だけなら有限小数になります。分母が 1 の場合も有限小数として扱えます。

理由は、10=2×5 だからです。分母の素因数が 2 と 5 だけなら、分子と分母に適当な整数をかけ、分母を 10、100、1000 などにできます。例えば 3/40=75/1000=0.075 です。逆に有限小数は、分母が 10 の累乗の分数として表せるので、約分した後の分母に 2 と 5 以外の素因数は残りません。判定は必ず約分後に行います。3/12 は分母に 3 が見えますが、約分すると 1/4 なので有限小数です。

既約分数の分母にそれ以外の素因数があれば、割り算は終わらず循環します。筆算で現れる余りは分母より小さい非負の整数なので、その種類は有限個です。0 にならないなら、いつか同じ余りが再び現れ、その後の数字も同じ順序で繰り返されます。分数の小数表示が循環するのは、たまたま数字がそろうからではなく、割り算の状態が繰り返されるからです。

循環小数を分数へ戻すには、繰り返す部分をそろえて引きます。例えば x=0.272727… とおくと、100x=27.272727… です。二つの式を引けば 99x=27 となり、x=3/11 と求められます。最初に繰り返さない部分がある 0.1666… なら、10x=1.666… と 100x=16.666… を引いて 90x=15、x=1/6 です。小数点以下をそろえるために、何桁動かすかを先に決めます。

n進法は、n 個集まると一つ上の位へ繰り上がる表し方です。n は 2 以上の整数とし、各桁の数字は 0 以上 n-1 以下です。右端の位から重みが 1、n、n²、n³ と変わります。2進法では使う数字は 0 と 1、5進法では 0、1、2、3、4 です。例えば (1011)₂ のように右下に基数を書き、十進法の数と区別します。

2進法の (1011)₂ は、1×2³+0×2²+1×2+1=11 を表します。左から見た数字の列だけでなく、位の重みを掛け合わせて読むのが基本です。小数部分も同様に、右へ進むたびに重みを基数で割ります。(0.101)₂ は 1/2+0/4+1/8=5/8 です。十進法の 0.101 とは値が異なるので、基数の表示は省略しないようにします。

例題で解き方を確かめる

例題1　約数の個数と二つの数の関係

72 の正の約数の個数、および 72 と 120 の最大公約数と最小公倍数を求めます。三つの問いを一度に暗算するより、共通の材料である素因数分解を最初にそろえます。

72=2³×3²、120=2³×3×5 と書きます。素数ごとの個数を比べるために、積の形にそろえるのが目的です。
72 の約数では、2 の個数を 0、1、2、3 の 4 通り、3 の個数を 0、1、2 の 3 通りから選びます。図1のすべてのますが一つずつ約数に対応するので、個数は (3+1)×(2+1)=12 個です。
最大公約数には共通に含まれる 2 を 3 個、3 を 1 個使い、2³×3=24 とします。5 は 72 に含まれないため、共通の約数には入れられません。
最小公倍数には、2 を 3 個、3 を 2 個、5 を 1 個使い、2³×3²×5=360 とします。360÷72=5、360÷120=3 なので、両方の倍数であることも確かめられます。

答え：正の約数は 12 個、最大公約数は 24、最小公倍数は 360 です。

検算には 72×120=8640、24×360=8640 という積の一致も使えます。ただし積が一致しただけでは二つの答えがともに正しいとは限らないので、約数と倍数の条件も確認します。計算の取り違えを見つける検算と、答えを導く説明を分けることが大切です。

例題2　互除法で最大公約数を求める

84 と 30 の最大公約数を求めます。図2は横 84、縦 30 の長方形を、残った短辺と同じ一辺をもつ正方形で順に埋めた図です。辺の長さを共通に割り切れる単位を探すことが、最大公約数を求める計算と対応します。

84=30×2+24 と割ります。横に一辺 30 の正方形を 2 個置くと、横 24、縦 30 の長方形が残るので、次に 30 と 24 を比べます。
30=24×1+6 と割ります。残りの長方形から一辺 24 の正方形を取り出すと、横 24、縦 6 の細い長方形が残るため、次に 24 と 6 を比べます。
24=6×4+0 と割ります。図2の最後の部分は一辺 6 の正方形 4 個で埋まり、余りがなくなります。直前の 0 でない余り 6 が最大公約数です。

答え：84 と 30 の最大公約数は 6 です。

最後の割り算の余りは 0 ですが、最大公約数を 0 としてはいけません。84 と 30 をともに割り切る正の数を求めているので、注目するのは最後に割る数として使った 6 です。実際に 84÷6=14、30÷6=5 で、14 と 5 は互いに素になっています。

例題3　1次不定方程式のすべての整数解

7x+5y=1 を満たす整数 x、y をすべて求めます。このように二つの整数の組を求める1次の方程式を、1次不定方程式といいます。「不定」は解が決められないという意味ではなく、一組に限定せずに整数解の全体を調べる問題だと受け止めましょう。

まず一組の解を作ります。7=5×1+2、5=2×2+1 を逆に使うと、1=5-2×2=5-(7-5)×2=7×(-2)+5×3 です。したがって x=-2、y=3 が一組の解になります。
元の式と 7×(-2)+5×3=1 を引き算します。すると 7(x+2)+5(y-3)=0、すなわち 7(x+2)=-5(y-3) です。一組の解との差に注目することで、右辺の定数 1 を消せます。
7 と 5 は互いに素なので、7(x+2) が 5 の倍数であるためには x+2 が 5 の倍数である必要があります。そこで x+2=5t とおきます。t は整数で、代入すると y-3=-7t です。
x=-2+5t、y=3-7t を元の式へ代入します。7(-2+5t)+5(3-7t)=-14+35t+15-35t=1 となり、どの整数 t でも確かに解になります。

答え：x=-2+5t、y=3-7t（t は整数）です。

手順3で、任意の整数解がこの形に限られることを示し、手順4で、この形がすべて解になることを示しています。二方向の確認がそろうと、「すべて」という要求に答えられます。t=1 なら x=3、y=-4 となり、導入で見つけた解も含まれます。一組の解の選び方が違っていても、t の表し方を変えると同じ解全体になることがあります。

一般に、正の整数 a、b と整数 c に対し、ax+by=c が整数解をもつ条件は、a と b の最大公約数 d が c を割り切ることです。左辺は必ず d の倍数なので、この条件は必要です。逆に互除法を逆にたどれば d を a と b の整数倍の和で表せるため、それを c÷d 倍すれば一組の解ができます。

例えば 6x+9y=4 は、左辺が必ず 3 の倍数なのに右辺がそうでないため、整数解をもちません。一組の解を探す前に、この条件を調べると見通しが立ちます。解がある場合は式全体を d で割り、係数を互いに素にしてから例題3の方法を使えます。

例題4　十進法から5進法へ変換する

十進法の 83 を5進法で表します。今度は位の重みを足す方向とは逆に、一の位から順に数字を取り出します。

83=5×16+3 と割ります。5 の倍数の部分は上の位へ移るので、余り 3 が5進法の一の位になります。
商 16 をさらに割り、16=5×3+1 とします。この余り 1 が 5 の位で、残った商 3 がさらに上の位へ進みます。
3=5×0+3 と割ります。商が 0 になったので終了し、余りを最後から並べて (313)₅ と書きます。
3×5²+1×5+3=75+5+3=83 と戻します。位の重みを用いた計算で、余りを読む順番と各桁の値を同時に確かめられます。

答え：83 を5進法で表すと (313)₅ です。

最初の割り算は一の位を取り出す操作なので、余りを出た順に左から書いてはいけません。この例は偶然、逆から読んでも同じ数字の列ですが、一般には一致しません。商をさらに割るという操作が、一段ずつ上の位へ移ることを式で理解しておきましょう。

つまずきやすいところと直し方

負の数を割ったとき、余りまで負にする

誤った書き方は「-17=-5×3-2 だから、-17 を 5 で割った商は -3、余りは -2」です。等式自体は成立しますが、余りは 0 以上 5 未満という約束を満たしていません。割り算では、等式が合うことに加えて余りの範囲を確かめます。

正しい書き方は -17=5×(-4)+3 で、商は -4、余りは 3 です。図3のように、-17 の左側にある 5 の倍数 -20 を起点にすると、右へ 3 進んだ位置が -17 になります。-15 を起点にすると左へ戻ることになり、非負の余りでは表せません。

図3では 5 の倍数を等間隔に置き、-20 と -15 の間に -17 を示しています。負の数だから別の定義を覚えるのではなく、「左側の倍数から、割る数未満だけ右へ進む」と見ると、正の整数の場合と同じ考え方になります。商を一つ小さくすると余りは割る数だけ増える、という関係も確認できます。

不定方程式で一組の解をすべての解とする

誤った書き方は「7×3+5×(-4)=1 なので、答えは x=3、y=-4」です。これは一組の解の確認にはなっていますが、ほかの整数解がないことは示していません。「すべて」と問われたときには、解を動かす仕組みが必要です。

正しい書き方は、例題3のように x=-2+5t、y=3-7t（t は整数）と表すことです。x が 5 増えると 7x は 35 増え、y が 7 減ると 5y は 35 減るので、和は変わりません。ここで x と y に別々の文字を置き、独立に動かしてしまうと打ち消し合わなくなるため、同じ t を使います。

また「整数解」と「正の整数解」は異なります。正の整数解を求めるなら、一般解に x≧1、y≧1 を追加します。例題3では -2+5t≧1 から t≧1、3-7t≧1 から t≦0 となり、両方を満たす整数 t はありません。整数解は無限にありますが、正の整数解はない、という結論です。

小数が終わる条件を、約分前の分母だけで決める

誤った書き方は「6/15 の分母には 3 があるので、循環小数になる」です。有限小数になる条件を調べる対象は既約分数の分母です。分子と分母で消せる素因数まで残したままでは、小数表示を判定できません。

正しい書き方は、6/15=2/5=0.4 なので有限小数になる、です。一方、2/15 はこれ以上約分できず、分母に 3 が残るため有限小数にはなりません。条件の「2 と 5 だけ」は両方の素因数を必ず含むという意味でもありません。分母が 8 のように 2 だけの場合や、分母が 25 のように 5 だけの場合も含みます。

練習問題

解く前に、求める対象が個数なのか、一つの数なのか、整数の組全体なのかを確かめましょう。数値だけを書いて終えるより、使った条件を一行添えると、似た問題で手順を選びやすくなります。

練習1

180 の正の約数の個数を求めてください。また、180 と 84 の最大公約数と最小公倍数を求めてください。素因数分解の結果を共通の材料として使います。

練習2

221 と 85 の最大公約数を、ユークリッドの互除法で求めてください。割り算の式を余りが 0 になるところまで書きます。

練習3

8x+5y=3 を満たすすべての整数解を求めてください。また、その中に x≧0、y≧0 を満たす解があるかを調べてください。二つ目の問いでは 0 を含めて考えます。

練習4

十進法の 45 を2進法で表してください。また、7/40 が有限小数になるかを判定し、小数で表してください。前半は基数 2 の位取り、後半は基数 10 の分母に注目します。

答えと解説

練習1の答えは、約数が 18 個、最大公約数が 12、最小公倍数が 1260 です。180=2²×3²×5 なので、約数の個数は (2+1)×(2+1)×(1+1)=18 個です。84=2²×3×7 と比べ、最大公約数は 2²×3=12、最小公倍数は 2²×3²×5×7=1260 と求められます。

練習2の答えは 17 です。221=85×2+51、85=51×1+34、51=34×1+17、34=17×2+0 と進めます。最後の 0 でない余りが 17 で、221=17×13、85=17×5 と両方を割り切ることも確かめられます。

練習3の答えは x=1+5t、y=-1-8t（t は整数）で、x≧0、y≧0 を満たす解はありません。8×1+5×(-1)=3 から一組の解が得られます。元の式との差を取ると 8(x-1)=-5(y+1) となり、8 と 5 が互いに素なので x-1=5t とおけます。追加条件は 1+5t≧0 と -1-8t≧0 です。t が整数であることを使うと、前者は t≧0、後者は t≦-1 となり、共通の t がありません。

練習4の答えは (101101)₂ と 0.175 です。45 を順に 2 で割ると、商は 22、11、5、2、1、0、余りは 1、0、1、1、0、1 です。余りを下から読みます。32+8+4+1=45 と位の重みで戻せます。7/40 は既約分数で、40=2³×5 なので有限小数です。分子と分母に 25 をかけると 175/1000=0.175 になります。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

余りで場合を分ける考え方は、数列の周期や、文字式が整数になる条件を調べる場面へつながります。n進法の位の重みが一定の割合で変わることは、等比数列の見方と結びつきます。また、互除法で「同じ公約数をもつ小さい組へ置き換える」経験は、複雑な計算を性質の変わらない簡単な問題へ移す練習になります。

家庭では、5 分の確認を二つの方法から選べます。一つ目は、例題2の割り算の右辺だけを隠し、商と余りを埋めたあと、なぜ次の割り算へ移っても最大公約数が変わらないかを口で説明する方法です。答えの 6 を覚えていても、理由まで再現できるかを確かめます。

二つ目は、練習4の (101101)₂ の各桁の下に 32、16、8、4、2、1 と書き、使う重みだけを足して 45 に戻す方法です。お子さまのノートを見るときも、数字の列の正誤だけでなく、それぞれの 1 が何個分を表すかという説明を手がかりにできます。個別指導では、止まった箇所に応じて、約数の意味、商と余りの範囲、等式の引き算まで戻って確認します。整数という条件がどの行で使われたかも、解いた式をたどって確かめます。