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【数学II】三角関数の定義とグラフを図解で総まとめ—弧度法・一般角・周期と平行移動｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.10.12更新 2026.10.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学単元解説（数I・A・II・B・III・C）

【数学II】三角関数の定義とグラフを図解で総まとめ—弧度法・一般角・周期と平行移動のアイキャッチ武蔵野個別指導塾

単位円の座標からsin・cos・tanの意味をたどり、弧度法、周期、グラフの移動を整理します。角の範囲が変わる方程式や不等式も、図と例題で解き進められます。

よくあるのは、文化祭の準備が終わった教室で宿題を開き、sin(7π/6)という式を見て、「πは円周率なのに、なぜ角のところに入るのだろう」と手が止まる場面です。さらにグラフの横軸には90°ではなくπ/2と書かれ、覚えていた三角比とは別の話に見えるかもしれません。しかし、角の表し方が変わっても、円の上の点を見て値を決めるという考え方は変わりません。

数学IIの三角関数では、角を1周より先まで動かしたり、反対向きに回したりします。そのときの点の高さや横の位置を順に記録すると、繰り返す波のグラフが現れます。一般角、弧度法、グラフを別々に暗記するより、このつながりを押さえるほうが式の意味を見失いにくくなります。

ここでは単位円から出発し、角の変換、周期、グラフの移動、方程式と不等式までを順に確かめます。最後には、角に2が掛かる式でも、どの範囲から解を探せばよいかを自分で決められるようにしましょう。

この単元で身につけること

一般角を回転として捉えます。正の向き、負の向き、1周を超える角を区別し、同じ動径になる角を整理します。
弧度法で角を表します。180°=πという対応を使い、度数法との換算や弧の長さの計算ができるようにします。
単位円の座標から三角関数を決めます。sinは縦、cosは横、tanはその比という定義で、値と符号を確かめます。
三角関数のグラフを読みます。周期と値の範囲を押さえ、拡大縮小や平行移動が式のどこに現れるかを見ます。
方程式と不等式を解きます。単位円の交点や弧を使い、指定された角の範囲に入る解を漏れなく取り出します。

数学Iで扱った三角比と座標平面の知識が土台になります。直角三角形で覚えた30°、45°、60°の値は引き続き使いますが、三角形が描けないように見える角でも、円上の座標なら同じ決まりで値を定められます。計算に入る前に「いま扱っているのは角か、関数の値か」を区別することが、この単元全体の出発点です。

基本の考え方

一般角と弧度法は、回転を数で表す方法です

座標平面で、原点Oからx軸の正の向きに出る半直線を始線とします。この半直線を原点のまわりに回したものを動径といい、反時計回りを正、時計回りを負と決めます。たとえば450°は正の向きに1周してから90°進んだ角で、-90°は負の向きに90°回した角です。このように回転の向きや回数を含めて考える角を一般角といいます。

90°と450°の動径は重なりますが、角として同じ数ではありません。三角関数の値を考えるときは動径の位置が同じなので同じ値になります。θと同じ動径を表す角は、θ+360°×nと書けます。ここでnは整数で、負の整数も0も含みます。

弧度法は、円の半径と弧の長さの比で角を表す方法です。半径rの円で、長さrの弧に対する中心角を1ラジアンとします。半径を2倍にすれば同じ角に対応する弧の長さも2倍になるので、比は変わりません。したがって弧度法の角は、使う円の大きさに左右されません。

円周は2πrなので、1周は2πラジアン、半周はπラジアンです。ラジアンという単位は通常省略し、180°=π、90°=π/2、60°=π/3、45°=π/4、30°=π/6と書きます。度数法から弧度法へは数値にπ/180を掛け、逆向きには180/πを掛けます。πが入っているから特別な種類の角になるのではなく、同じ回転を別の目盛りで測っています。

中心角θが弧度法で表され、θ≧0のとき、対応する弧の長さはl=rθです。通常の扇形の面積はS=r²θ/2となります。円全体に対する割合θ/(2π)を、円周2πrや面積πr²に掛ければ確かめられます。度数法の数値をそのままθに入れることはできません。また負の回転について普通の長さを求めるなら、向きを表す負号と長さを区別する必要があります。

単位円の座標がsinとcosの値です

原点を中心とする半径1の円を単位円といいます。角θの動径と単位円の交点をP(x, y)とすると、cos θ=x、sin θ=y、tan θ=y/xと定義します。ただしtan θはx=0のとき定義されません。直角三角形の「対辺÷斜辺」「隣辺÷斜辺」という定義は、斜辺が1の場合にこの座標の定義と一致します。

図1のように、θ=2π/3の点は第2象限にあります。基準になる鋭角はπ/3なので、横の座標は-1/2、縦の座標は√3/2です。円の半径は正の長さですが、座標には負の値もあることに注意しましょう。

図1の点から、cos(2π/3)=-1/2、sin(2π/3)=√3/2、tan(2π/3)=-√3と読めます。符号は、sinなら上下、cosなら左右で判断します。tanは縦と横の比なので、第1・第3象限で正、第2・第4象限で負です。軸上の角では象限だけで判断せず、座標を直接確認します。

円の方程式x²+y²=1に座標を代入すると、sin²θ+cos²θ=1が得られます。sin²θは(sin θ)²という意味で、sin(θ²)ではありません。またtan θ=sin θ/cos θです。cos θ≠0の範囲で最初の式をcos²θで割ると、1+tan²θ=1/cos²θも得られます。式を割る操作では、分母が0にならない条件を残します。

相互関係から値を求めるときには、平方根の符号を象限で決めます。sin θ=3/5だけならcos²θ=16/25までしか決まらず、cos θは4/5または-4/5です。さらにπ/2<θ<πと指定されていれば、点は左半分にあるのでcos θ=-4/5、tan θ=-3/4となります。値の条件と角の条件をセットで使うことが必要です。

角の変換と基本グラフを結び付けます

単位円をx軸について折り返すと、θは-θになり、横の座標は同じで縦の座標は反対になります。したがってsin(-θ)=-sin θ、cos(-θ)=cos θ、tan(-θ)=-tan θです。半周進めると両方の座標が反対になるので、sin(θ+π)=-sin θ、cos(θ+π)=-cos θ、tan(θ+π)=tan θとなります。tanの等式は両辺が定義される角で使います。

4分の1周、つまりπ/2だけ反時計回りに回すと、座標(x, y)は(-y, x)に移ります。そのためsin(θ+π/2)=cos θ、cos(θ+π/2)=-sin θです。関数名が入れ替わるだけでなく、符号が付く場合がある理由も座標で説明できます。またy軸についての対称移動から、sin(π-θ)=sin θ、cos(π-θ)=-cos θが成り立ちます。

θを横軸、三角関数の値を縦軸に取ったものがグラフです。y=sin θはθ=0、π/2、π、3π/2、2πの順に、値が0、1、0、-1、0となります。y=cos θは同じ角の順に1、0、-1、0、1です。どちらも値の範囲は-1以上1以下です。円上の点の横座標と縦座標は、-1以上1以下です（絶対値が半径1を超えることはありません）。

ある正の数Tだけ横に進むと同じ値を繰り返すとき、Tを周期といいます。通常、周期を問う問題では最小の正の周期を答えます。sinとcosの周期は2π、tanの周期はπです。sinとcosは半周後に符号が反対になりますが、tanは分子と分母が同時に反対になるため、比が戻ります。

y=tan θには最大値も最小値もなく、値はすべての実数を取ります。θ=π/2+nπでは定義されず、そこに縦の漸近線があります。たとえば-π/2<θ<π/2の区間では、原点を通りながら増加し、左端に近づくと負の方向へ、右端に近づくと正の方向へ限りなく大きくなります。グラフを描くときは、定義されないところを線でつなぎません。

例題で解き方を確かめる

例題1　弧度法に直して三角関数の値を求める

210°を弧度法で表し、sin、cos、tanの値を求めます。また、半径6、中心角210°の扇形の弧の長さと面積を求めます。度数法を弧度法に変える操作と、関数の値を求める操作を分けて進めましょう。

210×π/180=7π/6と換算します。弧の長さや面積の公式でも使うため、先に角を弧度法にそろえます。
7π/6=π+π/6なので、第3象限で基準になる鋭角はπ/6です。単位円の横も縦も負になるため、sin(7π/6)=-1/2、cos(7π/6)=-√3/2です。
tanはsinをcosで割ります。(-1/2)÷(-√3/2)=1/√3=√3/3となり、第3象限では正という判断とも一致します。
弧の長さは6×7π/6=7π、面積は6²×(7π/6)÷2=21πです。円全体の7/12を占めるので、円周12π、面積36πに7/12を掛けても同じ結果になります。

答え：角は7π/6、sin=-1/2、cos=-√3/2、tan=√3/3、弧の長さは7π、面積は21πです。

例題2　拡大縮小と平行移動をグラフにする

y=2sin(2x-π/2)+1の周期、最大値、最小値を求め、1周期分の代表的な点を調べます。xは弧度法で表した角です。式の中と外の変化を一度に処理しようとせず、まず括弧の中を整理します。

2x-π/2=2(x-π/4)と直します。y=sin xを横方向に1/2倍、縦方向に2倍したグラフを、右へπ/4、上へ1だけ平行移動した形だと読めます。
sinの中身が2π増えると1周期なので、2×周期=2πより周期はπです。xの係数2によって、元の波の横幅が半分になります。
-1≦sin(2x-π/2)≦1を2倍して1を足すと、-1≦y≦3です。中央の高さは1で、そこから上下へ2ずつ動くので、最大値は3、最小値は-1です。
中身を0、π/2、π、3π/2、2πの順にします。対応するxはπ/4、π/2、3π/4、π、5π/4、対応するyは1、3、1、-1、1です。この5点を滑らかに結ぶと1周期分の形が決まります。

答え：周期はπ、最大値は3、最小値は-1で、代表点は(π/4, 1)、(π/2, 3)、(3π/4, 1)、(π, -1)、(5π/4, 1)です。

図2のように、横軸の目盛りをπ/4ずつにそろえると、代表点が等間隔に並びます。緑の横線y=1は振動の中心であり、x軸とは別の線です。波の高さを測る基準を取り違えないようにしましょう。

一般にy=A sin(B(x-h))+DでA、Bが0でないとき、周期は2π/|B|、中央の高さはD、そこからの振幅は|A|です。最大値はD+|A|、最小値はD-|A|となります。Aが負なら上下が反転します。cosでも同じ見方を使えますが、sinとcosでは基準となる出発点が違います。

一方、y=A tan(B(x-h))+Dの周期はπ/|B|です。tanは値が-1から1の間に収まらないため、振幅という見方をそのまま使いません。たとえばy=tan 2xの周期はπ/2で、定義されない角はx=π/4+nπ/2です。式の中身がπ/2+nπになる場所を先に調べれば、漸近線も求められます。

例題3　角の範囲を変えて方程式を解く

0≦x<2πのとき、sin(2x-π/6)=1/2を解きます。三角関数の中に入る角を別の文字にすると、基本の方程式として扱えます。ただし、新しい角の範囲も必ず同時に変えます。

t=2x-π/6と置きます。0≦x<2πの両辺を2倍し、π/6を引くと、-π/6≦t<23π/6です。もとのxが1周分動く間に、tは2周分動きます。
sin t=1/2は、単位円で高さが1/2になる点を探す問題です。1周の中ではt=π/6、5π/6なので、一般にはt=π/6+2nπまたはt=5π/6+2nπです。nは整数です。
指定されたtの範囲に入るものを選ぶと、π/6、5π/6、13π/6、17π/6です。次の解は範囲の右端を超え、1周前の解は左端より小さくなるので、候補はこの4個です。
x=(t+π/6)/2に戻します。順にπ/6、π/2、7π/6、3π/2となります。どれも0以上2π未満に入っており、元の式に代入すると左辺が1/2になります。

答え：x=π/6、π/2、7π/6、3π/2です。

この問題で最初の2個だけを答えるのは、tの範囲を0≦t<2πだと思い込んだ場合の典型的な漏れです。置換後に範囲が2周分あるとわかれば、同じ高さを通る点も通常4個あるはずだと見通せます。答えの個数を図形的に予想しておくと、計算の抜けを発見しやすくなります。

例題4　不等式の解を円の弧として読む

0≦x<2πのとき、cos x≦-1/2を解きます。方程式と違い、答えは角の点だけではなく、条件を満たす連続した範囲です。cosが横の座標を表すことに戻りましょう。

まず境界のcos x=-1/2を解きます。単位円の左側で横の座標が-1/2になるのは、x=2π/3、4π/3です。
横の座標が-1/2以下になる円周部分を選びます。左端の点(-1, 0)を通る弧なので、2π/3から4π/3までの間です。中央のx=πでcos π=-1を代入すれば、選んだ側が正しいと確かめられます。
不等号に等号があるため、境界の2π/3と4π/3を両方含めます。もとの範囲にも収まっているので、そのまま区間で答えます。

答え：2π/3≦x≦4π/3です。

不等号がcos x<-1/2なら両端は含めず、2π/3<x<4π/3になります。またcos x≧-1/2なら、指定範囲の中では0≦x≦2π/3または4π/3≦x<2πです。後者で2πを含めないのは、三角関数の値の都合ではなく、問題が最初に指定した範囲によります。

つまずきやすいところと直し方

角と値を混ぜて計算してしまう

誤った書き方は「sin(π/6)=30°」です。π/6を度数法に直すと30°ですが、sin(π/6)は角そのものではなく、その角に対応する縦の座標です。角の換算をしたつもりで、関数の値を求める問題を途中で止めてしまっています。

正しい書き方は「π/6=30°なので、sin(π/6)=1/2」です。同様に「sin(π/6+2π)=sin(π/6)+2π」も成り立ちません。角を1周増やしても座標は元の位置に戻るので、sin(π/6+2π)=1/2です。括弧の中に足しているのか、関数の値に足しているのかを指で追うだけでも、誤りに気づく手掛かりになります。

括弧の中の定数を、そのまま移動量にする

誤った読み方は「y=sin(2x-π/2)はy=sin 2xを右へπ/2移動したもの」です。右へh動かすときは、x全体をx-hに置き換えます。したがって右へπ/2動かせばsin(2(x-π/2))=sin(2x-π)となり、もとの式とは一致しません。

正しい読み方は、2x-π/2=2(x-π/4)と括り、「右へπ/4」です。確かめるときは、中身が0になるxを求めます。今回ならx=π/4であり、正弦曲線が中央の高さを上向きに通る基準点がそこに移ります。横方向の縮小と移動を扱うときは、どのグラフを出発点にしているかも一緒に言葉にします。

三角関数ならどれも同じ周期だと思う

誤った書き方は「tan(θ+π)=-tan θなので、tanの周期は2π」です。半周するとsinとcosは両方とも符号が反対になります。比を取れば(-sin θ)/(-cos θ)=sin θ/cos θなので、tanの値は変わりません。正しい書き方は「tan(θ+π)=tan θ、周期はπ」です。

図3のように、tanのグラフは漸近線で分かれた枝がπごとに繰り返されます。橙の破線の上にはグラフの点がなく、左右の枝をつないで描くことはできません。sinやcosの滑らかな波を思い浮かべたまま描くと、定義域の違いを見落とします。

図3の中央の枝ではtan(-π/4)=-1、tan 0=0、tan(π/4)=1です。増加しているのは漸近線に挟まれたそれぞれの区間であり、実数全体で切れ目なく増加する関数ではありません。たとえばtan x>0を解くときは、0<x<π/2だけで止めず、指定範囲に第3象限が含まれるかも確認します。定義されない角を答えに入れないことも、符号の判断と同じくらい重要です。

練習問題

練習1

-300°を弧度法で表し、その角のsin、cos、tanの値を求めてください。また、半径4、中心角π/3の扇形の弧の長さと面積を求めてください。負の角は正の向きに1周足すと、動径の位置が読みやすくなります。

練習2

π<θ<3π/2でsin θ=-3/5のとき、cos θ、tan θ、sin(θ+π/2)、cos(θ+π/2)を求めてください。相互関係で2乗の値を求めたあと、象限によって符号を選びます。

練習3

y=-3cos(2(x+π/6))+2の周期、最大値、最小値を求めてください。また、y=-3cos 2x+2から見た横方向の移動を答え、x=-π/6とx=π/3での値を確かめてください。

練習4

0≦x<2πで、方程式2sin²x-sin x-1=0と、不等式tan x>0をそれぞれ解いてください。方程式ではsin xを1つの文字のように扱って因数分解し、不等式では定義されない角と符号の変わる角を分けて考えます。

答えと解説

練習1の答えは、角が-5π/3、sin=√3/2、cos=1/2、tan=√3、弧の長さが4π/3、面積が8π/3です。-300×π/180=-5π/3で、この角に2πを足すとπ/3になります。したがって関数の値は60°の値と同じです。扇形は円の1/6なので、円周8πと面積16πをそれぞれ6で割っても確かめられます。

練習2の答えは、cos θ=-4/5、tan θ=3/4、sin(θ+π/2)=-4/5、cos(θ+π/2)=3/5です。cos²θ=1-9/25=16/25で、第3象限では横の座標が負なので-4/5を選びます。変換公式はsin(θ+π/2)=cos θ、cos(θ+π/2)=-sin θです。後者では負の値にさらに負号が付くので、結果は正になります。

練習3の答えは、周期π、最大値5、最小値-1、左へπ/6の移動です。x+π/6はx-(-π/6)と読めます。x=-π/6ではcosの中身が0なのでy=-1、x=π/3では中身がπなのでy=5です。係数が-3であるため、cosが1のときに最小、cosが-1のときに最大になる点にも注意します。

練習4の方程式の答えは、x=π/2、7π/6、11π/6です。(2sin x+1)(sin x-1)=0より、sin x=-1/2またはsin x=1となります。高さ-1/2を通る角は2個、高さ1を通る角は1個です。三角関数の方程式で1つの値に常に2個の角が対応するわけではありません。

練習4の不等式の答えは、0<x<π/2またはπ<x<3π/2です。tanは第1・第3象限で正になります。x=0、πではtan x=0なので条件を満たさず、x=π/2、3π/2では定義されません。除く理由は異なりますが、どちらも端点を含めない区間になります。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

次に学ぶ加法定理では、sin(α+β)やcos(α+β)を2つの角の値から計算します。今回のπ/2だけ進める変換は、その考え方の具体的な入口です。また、数学IIIの微分や積分では、角を弧度法で表すことが三角関数の変化を調べる土台になります。波の式の中身と実際の横軸を区別する経験は、複雑な関数を扱う際にも役立ちます。

家庭では、次のどちらかを選んで5分ほど確かめられます。1つ目は、紙に単位円を描き、π/6、5π/6、7π/6の3点にsinとcosの符号を書き込む方法です。値を全部暗記できていなくても、縦と横のどちらを見ているかを言葉にしてみてください。

2つ目は、y=sin xとy=sin 2xについて、x=0から2πまでの波の回数を予想し、中身が0、π/2、πとなるxを求める方法です。お子さまの学習を見守る方も、正解だけを尋ねるより、「中身が1周する間にxはどれだけ進むのか」と聞くと、理解した箇所が見えやすくなります。

個別指導では、符号で止まっていれば座標平面の象限へ、移動量で止まっていれば括弧を使った式の整理へ戻って確かめます。同じ誤答でも、円の読み取りと式の変形のどちらに原因があるかによって、戻る位置が変わります。