円と円周角から円の方程式、複素数平面へ｜武蔵野個別指導塾

円周角の図から円の方程式を作り、複素数の掛け算で点を回すところまでたどります。角度・距離・回転を結び、今の図形問題で確かめたい条件を整理しましょう。

円と円周角から円の方程式、複素数平面へ

円の問題で、補助線を引く手が止まったら

よくあるのは、雨の日の塾の廊下で、傘を畳んだあとに円の問題のプリントを開き、「中心と結べばいいと言われたけれど、どうしてそこを結ぶのですか」と尋ねる場面です。円周上の点はどれも同じように見え、図に線が増えるほど、何を探していたのか見失うことがあります。

中心へ線を引く理由は、円の定義にあります。円とは、平面上で定めた点からの距離が一定である点をすべて集めた図形です。その定めた点が中心、一定の距離が半径です。中心と円周上の点を結べば、等しい長さが現れ、二等辺三角形の性質を使えるようになります。

この「等しい距離を見つける」という見方は、高校では円の方程式に変わります。さらに複素数を学ぶと、円の上で点を回す操作が掛け算になります。大学では、点を動かす規則そのものを関数として調べます。新しい記号が増えても、手元の円から出発できる道です。まずは角度を求める図の中に、先へ持っていける条件を探してみましょう。

円周角と接線を、半径から読み解く

円周角を考えるには、最初にどの弧を見ているのかを決めます。円周上に異なる点A、B、Pを取り、線分PAとPBでできる角APBを考えます。この角が見込むのは、AとBを端点とする二つの弧のうち、Pを含まないほうです。円周角の定理は、その円周角の大きさが、同じ弧に対応する中心角の半分になるという関係を述べています。

ここで、図に書かれた小さいほうの中心角を無条件に半分にするのは危険です。Pの位置によっては、大きいほうの弧に対応する中心角を使います。角の頂点だけでなく、角の両辺を円周までたどり、どの弧を挟んでいるかを見ることが出発点です。

たとえば中心Oの円で、小さいほうの中心角AOBが100°だとします。Pが大きいほうの弧AB上にあれば、角APBが見込むのは小さいほうの弧です。このとき円周角は次のように求まります。

∠APB=100°÷2=50°

Pをその大きいほうの弧に沿って動かしても、AとBを動かさなければ円周角は50°のままです。辺の長さや三角形の形は変わりますが、見込む弧が変わらないため、角度は保たれます。「同じ弦を使っているから同じ角」と省略せず、Pが同じ側の弧にあることまで確かめると、図の読み違いを防げます。

逆にPを小さいほうの弧AB上へ移すと、見込む弧は大きいほうへ変わります。対応する中心角は360°−100°=260°なので、円周角は130°です。先ほどの50°と同じにはなりません。二つを足すと180°になることにも、円に内接する四角形の向かい合う角の関係が見えています。

定理の理由を追うときには、OとPを結びます。OA、OB、OPはいずれも半径なので、中心を含む二等辺三角形ができます。その底角が等しいことと、三角形の内角の和を使って中心角と円周角を結びます。中心が円周角の内側にある図と外側にある図では角の足し引きが変わりますが、頼る性質は同じです。補助線は当てずっぽうではなく、円の定義を角の計算へ運ぶ線なのです。

接線にも半径が働きます。円の接線は、円とただ1点を共有する直線です。その点を接点といい、接点へ引いた半径と接線は垂直になります。円の外に点Tを取り、接点をA、中心をOとすると、三角形OATはAを直角とする直角三角形です。

OA=5、OT=13なら、三平方の定理を使って接線の線分TAの長さを求められます。

TA²=13²−5²=169−25=144

長さは正なのでTA=12です。ここで13は半径ではなく、中心から外の点までの距離です。どの線分がどの役割かを整理できれば、図の向きが変わっても同じ計算ができます。円周角では等しい半径から二等辺三角形を作り、接線では半径との垂直から直角三角形を作る。この違いを言葉にしておくと、補助線の候補にも理由が付きます。

高校では円を式にし、掛け算で回す

高校で座標を使うと、円は点の満たす条件として書けます。中心が(a,b)、半径がrの円を考え、rは正とします。円周上の点(x,y)までの距離を三平方の定理で表せば、円の方程式が得られます。

(x−a)²+(y−b)²=r²

左辺の二つの差は、中心からの横と縦のずれです。中心が原点ならx²+y²=r²になりますが、中心が移れば、中心から測り直すためにaとbを引きます。丸暗記した符号よりも、「どこから距離を測るか」を考えると式の意味を保てます。

中心が(2,−1)、半径が3の円なら、式は次のようになります。

(x−2)²+(y+1)²=9

この円と直線y=1の交点を調べましょう。円の式にy=1を代入すると、(x−2)²+4=9となり、(x−2)²=5を得ます。したがって交点は(2+√5,1)と(2−√5,1)の2点です。縦のずれが2と決まったので、残りの横のずれを求めた、と図形としても読めます。

同じ円にy=2を代入すると、(x−2)²+9=9よりx=2となります。交点は(2,2)だけで、この直線は接線です。y=3なら(x−2)²=−7となり、実数のxでは成り立たないため、交点がありません。式が解けるかどうかが、そのまま図形の位置関係を表しています。

一般に、円の中心から直線までの最短距離をdとすれば、dが半径より小さいと交点は2個、等しいと1個、大きいと0個です。直線の式を円の式へ代入して得られる二次方程式について、実数解の個数を判別式で調べる方法もあります。幾何の距離と、代数の解の個数は、同じ状況を別の言葉で説明しています。

さらに高校では、複素数を平面上の点と対応させます。i²=−1を満たす数iを虚数単位と呼び、実数x、yを使ったz=x+yiを点(x,y)で表します。この平面が複素数平面です。横が実部、縦が虚部であり、zの絶対値|z|は原点からその点までの距離を表します。

|z|=√(x²+y²)

この対応の面白さは、点を表す数どうしで掛け算ができることです。たとえばz=2+iにiを掛けると、i²=−1なので次の式になります。

i(2+i)=−1+2i

点(2,1)が点(−1,2)へ移りました。一般にもi(x+yi)=−y+xiですから、iを掛ける操作は原点を中心とする反時計回り90°の回転です。距離はどちらも√5のままです。もう一度iを掛ければ−2−iになり、出発点から半回転した位置へ着きます。

絶対値が1の複素数を掛けると、原点からの距離を保ったまま回転します。絶対値が1でない場合は、回転に加えて距離の拡大や縮小も起こります。「虚数」という名前から図にできない数のように感じても、計算結果は座標として確かめられます。中学で角度として見ていた回転を、一つの掛け算として扱えるようになるのです。

大学では、平面を移す関数を調べる

大学の複素関数を学ぶ入口では、複素数を一つの点として見るだけでなく、入力された点をどこへ移すかという規則に注目します。写像とは、ある集合の各要素に対して、別の集合の要素をただ一つずつ対応させる規則です。複素関数は、複素数の集合の一部を入力の範囲とし、それぞれの入力に一つの複素数を対応させる関数です。

たとえばf(z)=izは、複素数平面全体を反時計回りに90°回転する写像です。一つの点の移動を確かめるだけでなく、円や直線をまるごと移したら何になるかを問えます。中心が原点の円は同じ円に重なりますが、中心が原点以外なら、中心そのものも回転します。写像を調べるとは、このように点の集合への作用まで見ることです。

高校の円の方程式も、複素数では短く書けます。中心を表す複素数をc、正の半径をrとすると、円は|z−c|=rを満たす点の集合です。z−cは中心からのずれを表すので、座標で(x−a)と(y−b)を使ったことが、一つの引き算にまとまっています。新しい式の中にも、一定の距離という円の定義がそのまま残っています。

次にf(z)=z²を考えます。これは一定の角度だけ回す写像とは違います。0でない複素数は、原点からの距離rと、正の実軸からの向きを表す角θを使って書けます。

z=r(cosθ+i sinθ)

角θを偏角と呼びます。同じ向きは1周分の角度を足しても変わらないため、偏角は一つには定まりません。以下では角をラジアンで表し、1周を2πとします。ラジアンは円の弧の長さを半径で割って測る角の単位です。

複素数を掛けると絶対値は掛け合わされ、偏角は足し合わされます。そのため二乗では、原点からの距離はr²となり、向きは2θになります。単位円、つまり中心が原点で半径が1の円は、二乗しても単位円上へ移ります。ただし、入力が円を1周する間に、出力は2周します。

実際、1と−1はどちらも二乗すると1になり、iと−iはどちらも二乗すると−1になります。入力ごとに出力は一つなので関数ですが、同じ出力を持つ入力が複数あります。「関数なら逆向きにも必ず一つに戻れる」というわけではありません。図形を動かす規則として見ることで、単純な回転との違いがはっきりします。

この見方を広げたものが、1のn乗根です。nを正の整数とし、n個の同じ複素数zを掛け合わせて1になるzを考えます。その絶対値をrとすると、rをn回掛けて1になるのでr=1です。つまり解はすべて単位円上にあります。さらに偏角をn倍したとき、1周の整数倍になれば、掛け算の結果の向きも1と一致します。

したがって解の偏角は2πk/nと表せます。ここでkは0からn−1までの整数です。これらは互いに異なるn個の点で、それ以外の整数kを使っても同じ点が繰り返されます。nが3以上なら、それらを円周に沿って結んだ形は正n角形です。

たとえば1の3乗根は、1、−1/2+(√3/2)i、−1/2−(√3/2)iです。円周を3等分する向きに並び、どれも3乗すると1になります。実数だけなら見えにくかった解の配置が、円として姿を現します。方程式を解くことと、回転を等分することが同じ問題になったのです。

工学や情報の分野では、等間隔に並ぶデータを周期的な成分に分ける離散フーリエ変換に、こうした単位円上の複素数が使われます。回転する向きのそろい方を、掛け算と足し算で調べるためです。円周上の等間隔な配置が、信号の周期を調べる計算につながります。

角度、距離、回転をつなぐ一本の線

ここまでをつなぐのは、「何を変え、何を保つか」という問いです。中学の円周角では、円周上で頂点を動かしても、同じ弧を見込む角度が保たれました。高校の円の方程式では、円周上で座標が変わっても、中心からの距離が保たれます。複素数の回転では、点の向きが変わっても、原点からの距離が保たれます。

ただし、どの場面でも同じものが保たれるわけではありません。二乗する写像では、単位円上の点は単位円にとどまりますが、向きの変化は入力の偏角に依存します。中学で覚えた性質を新しい計算へ持ち込むときには、何が同じ条件で、何が変わったのかを区別する必要があります。

表し方にも段階があります。図では半径や弧に印を付け、座標では点の条件を等式にし、複素数では点の移動を演算にします。どれが優れているという順番ではありません。接線と半径の直角を見つけるには図が助けになり、交点を漏れなく調べるには式が役に立ち、回転を繰り返すには掛け算が簡潔です。

式で行き詰まったら、中心と半径を図に戻してみましょう。図で位置が曖昧なら、座標や複素数を置いてみましょう。同じ円を別の表し方へ移せることが、学年を越えて使える力になります。中学の補助線も高校の代入も、条件を使える形に言い換える作業としてつながっています。

つながりを使った学び方

最初の手順は、図の条件を短い言葉にすることです。円周角なら「どの弧を見込むか」、接線なら「どの半径と垂直か」を余白に書きます。「円だから」とまとめず、次の計算に使う性質まで特定してください。図に同じ長さの印や直角の印を付け、文章と対応させると、自分の判断を追い直せます。

次に、計算の前に答えの姿を予想します。円と直線なら、交点がいくつありそうかを簡単な図で見ます。複素数にiを掛けるなら、移った点がどの方向に来るかを指で示します。予想と計算が違ったときは、どちらかを消す前に条件へ戻りましょう。図の思い込みと符号の誤りを見分ける手掛かりになります。

三つ目は、答えを出発点の条件へ戻すことです。求めた交点を円と直線の両方の式に代入する、回転後の点について原点からの距離を比べる、といった確かめ方ができます。答え合わせを正誤の確認だけで終えず、「この条件も満たす」と言えるところまで進めます。

最後に、一つの条件だけを変えます。直線を平行にずらしたら交点はどう変わるか、iをもう一度掛けたらどこへ行くかを試しましょう。変える条件を一つに絞ると、結果が変わった理由を説明しやすくなります。まだ習っていない複素数の式まで解く必要はなく、中学生なら点Pを弧に沿って動かすだけでも十分です。

塾では、途中式と図を並べ、どこで対応が切れたかを確かめます。半径の取り違えなら図に戻り、代入後の計算ならその行を分けて整理します。解き方を最初からすべて言い直す前に、生徒自身が説明できる部分を聞き、次に確かめる条件を具体的にします。

家庭では、お子さまに新しい公式を説明する役を持たなくてもかまいません。「この点を動かすと何が変わるの」と、本人が描いた図を見ながら尋ねることができます。すぐ言葉が出ないときも、考える間を取ってください。学習を終える前に、次に確かめたい箇所を一つ残せれば、次回はそこから考え始められます。

よくある質問

円周角が苦手でも、複素数は学べますか

学べます。複素数の計算はi²=−1という約束から始められます。ただし、角をどこから測るか、回転の中心はどこかという図形の読み方は役立ちます。円周角の全問題を解けるまで先へ進めない、と考えず、同じ弧を見込む条件を図で説明するところから補っていきましょう。

円の方程式で、中心の符号を間違えます

中心を代入して、左辺が0になるかを見てください。中心が(2,−1)なら、横のずれはx−2、縦のずれはy+1です。なお、中心は半径が正の円周上にはないので、円の方程式そのものは満たしません。ここでは左辺が「中心からの距離の二乗」になっているかを点検しています。

1のn乗根を学ぶ前に、三角関数が必要ですか

一般の解を式で表すには三角関数が役立ちます。一方、1、i、−1、−iを順に90°ずつ回し、それぞれを4乗すると1になることは、i²=−1から確かめられます。まず手で追える回転を描き、その後で角を使った表し方へ進むと、式の役割が見えやすくなります。

円を学び直す入口は、難しい問題を選ぶこととは限りません。いま描いている半径が何と等しいか、求めた点が本当に円の上にあるかを、一つずつ説明してみてください。その説明は、座標を置くときにも、複素数で点を動かすときにも残ります。遠く見える大学の式にも、中心からの距離と回転という、同じ円の姿があります。

武蔵境の武蔵野個別指導塾での対話の出発点は、生徒が一本の半径を引いた理由です。答えの横に残った小さな線から、その先の数学へ話をつなげられます。