正負の数から実数の構成へ　数とは何かを中学・高校・大学でたどる｜武蔵野個別指導塾

負の数の計算から、有理数と無理数の違い、実数を組み立てる切断と完備性までをたどります。数直線の見方を手がかりに、いまの計算を次の学びへつなげてみましょう。

正負の数から実数の構成へ　数とは何かを中学・高校・大学でたどる

マイナスの向こうに何があるのでしょうか

よくあるのは、家の食卓に広げた方眼ノートで、正負の数の問題を解きながら「数が増えるたびに、また決まりを覚えるのですか」と手が止まる場面です。小学校では数えられるものを思い浮かべればよかったのに、負の数では目の前に置けるものが見つかりません。さらに分数や平方根が並ぶと、別々の種類の計算が積み上がっていくように感じられます。

けれども、数の種類が増えることには筋道があります。いまの数だけでは表せない答えに出会い、これまでの計算の決まりをできるだけ保ちながら、扱う範囲を広げていくのです。負の数も無理数も、その流れの中にあります。「新しい記号の暗記」と見えていたことを、「どんな問いに答えるための数か」という目で見直してみましょう。

中学では数直線を使って数の位置を考え、高校では数を性質によって分類し、大学では数直線を支える実数そのものを組み立てます。ここでは、原点からの距離という身近な見方を出発点に、その先の「すき間のない数の集まり」までたどります。大学の定義をすぐに覚える必要はありません。いま使う数にも、確かめる価値のある土台があると気づければ、旅の入口に立てています。

中学数学では数に位置と向きを与えます

正の数と負の数を考えるとき、まず役立つのが数直線です。横に引いた直線に原点の0を置き、右を正、左を負と決め、同じ長さごとに目盛りを打ちます。数の大小は左右の位置で読めます。左にある数ほど小さいので、-5は-2より小さい数です。数字の5と2だけを見て大小を決めると、この関係を取り違えてしまいます。

一方、絶対値は数直線上で原点からその数までの距離です。-5の絶対値は5で、-2の絶対値は2です。数としては-5のほうが小さくても、原点からは遠い位置にあります。「大小」と「原点からの距離」は、同じ問いへの別の答えではなく、そもそも異なる問いなのです。絶対値の記号を使えば、|-5|=5と書けます。距離なので絶対値は負にならず、0の絶対値は0です。

たし算は、この数直線の上で動く操作として読めます。-3から右へ5だけ動けば2に着くので、次の計算になります。

-3+5=2

逆に負の数をたすと、左へ動きます。ひき算は、ひく数の符号を変えてたす計算に直せます。-3から-5をひくなら、右へ5だけ動く計算になります。

-3-(-5)=-3+5=2

この2つは同じ答えですが、書かれた操作の意味は違います。式を見て、最初の数、たす数またはひく数、移動の向きをそれぞれ説明できると、符号が続いても整理しやすくなります。括弧は、負の符号がどの数に付いているかを示す目印です。途中式で括弧を急いで外さず、何をひいているかを一度読み直してください。

負の数どうしの積が正になる決まりも、ただの約束として切り離さずに眺められます。たとえば3と-3をたすと0です。その両方に-2をかけてたした結果も、分配法則を保つなら0になるはずです。

(-2)×3+(-2)×(-3)=(-2)×(3+(-3))=0

最初の項は-6ですから、もう一方の項は6でなければなりません。こうして(-2)×(-3)=6が決まります。ここで大事なのは、新しい数を入れても、括弧の外からかけて配るという以前の計算法則を残したい、という考え方です。

整数だけで足りない場面では分数も使います。1を等しく4つに分けたうちの3つは3/4です。これは数直線で0と1の間に位置を持ち、0.75とも書けます。分数と小数はいつも別の種類の数を表すわけではありません。同じ位置を別の書き方で表すことがあります。数の見た目と数そのものを分ける見方は、高校で有理数と無理数を区別するときにも必要になります。

高校数学では数を分類し、表し方を問い直します

高校数学へ進むと、個々の計算と並んで「この数はどの集まりに入るか」を考えるようになります。自然数をここでは1、2、3、…とし、0を含める流儀もあることを添えておきます。整数は、それらと0、そして負の整数を合わせた数です。有理数は、整数aと0でない整数bを使ってa/bと表せる数をいいます。整数も分母を1にすれば分数にできるため、有理数に含まれます。

有理数ではない実数を無理数といいます。実数は有理数と無理数を合わせた数で、通常の数直線の点に対応します。ただし、この説明は数直線をすでに使えるものとして受け入れています。その土台を大学で問い直すことになります。まずは、有限小数と循環小数は有理数であり、無理数の小数表示は終わらず、あるところから同じ数字の並びを繰り返すこともない、と区別しましょう。

たとえば0.125は125/1000、約分すれば1/8です。小数点があるから無理数、という判定はできません。平方根の記号についても同じです。√9は3なので有理数ですが、√2は無理数です。記号の種類を数の種類だと思わず、どの数を表しているかまで確かめます。

√2が無理数であることは、整数の性質から説明できます。仮に√2が有理数なら、互いに素な正の整数a、bを使って√2=a/bと書けます。互いに素とは、共通の正の約数が1だけという意味です。両辺を2乗して整理すると、a²=2b²です。よってa²は偶数で、aも偶数です。奇数を2乗すると奇数になるので、aを奇数とする可能性はありません。

そこでa=2kと置くと、4k²=2b²、したがってb²=2k²となり、bも偶数です。aとbがともに偶数なら共通の約数2を持ち、最初に互いに素として選んだことと矛盾します。そのため、√2を整数の比として表すことはできません。この説明では、小数を延々と計算せずに数の性質を決めています。

一方、√2の位置は有理数を使って挟めます。

1.4²=1.96、1.5²=2.25

1.41²=1.9881、1.42²=2.0164

正の数では数が大きいほど2乗も大きくなるので、√2は1.4と1.5の間、さらに1.41と1.42の間にあります。有理数で正確に表せないことと、有理数で近似できないことは違います。√2という記号は正確な数を表し、1.41はその近似値です。等号で結んでよいか迷ったら、表す位置が同じなのか、近いだけなのかを考えます。

数の範囲はさらに複素数へ広がります。実数を2乗した結果は0以上なので、x²=-1には実数の解がありません。そこでi²=-1を満たす数iを導入し、実数a、bを使ったa+biという形の数を複素数と呼びます。b=0なら実数を表せるので、実数はこの広い体系の中にも残ります。

ただし、実数で使えた性質がすべて同じ形で残るわけではありません。複素数では四則計算の法則を保てますが、実数の大小を延長し、たし算とかけ算に整合する大小関係をすべての複素数に入れることはできません。新しい数を迎えるときは、何が可能になり、どの性質を持ち越せるかを併せて考える必要があります。

大学数学では実数のすき間を定義から埋めます

大学数学では、「数直線上の点が実数です」という説明を、もう一段掘り下げます。線が途切れず続いて見えることを、そのまま数学の証明にはできません。有理数を手がかりに実数を組み立てる方法の1つが、デデキントの切断です。ここでいう構成とは、すでにわかっている対象から新しい対象を定義し、必要な性質が成り立つことを確かめる営みです。

切断を正確に述べてみましょう。有理数全体のうち、空でなく、有理数全体でもない部分集合Lで、次の条件を満たすものを考えます。Lに属する有理数より小さい有理数はすべてLに属し、しかもLには最大の要素がありません。この条件を満たすLを、ここでは切断と呼びます。部分集合とは、ある集まりから選び出した要素の集まりのことです。

たとえば、有理数2より小さい有理数をすべて集めたものが1つの切断です。どの要素を取っても、それと2の中間の有理数がさらに大きい要素になるため、最大の要素はありません。この集まり全体を使って数2を表します。1つの点を指さす代わりに、その点より左側の有理数を全部示して位置を決める、と考えると見通しが立ちます。

次は、境目が有理数にならない場合です。負の有理数すべてと、0以上で2乗すると2より小さくなる有理数すべてを合わせてLとします。この定義は有理数の大小と計算だけで書けており、√2の存在を先に仮定していません。それでも、さきほどの1.4や1.41はLに入り、1.5や1.42は入りません。この切断が、構成された実数の世界で√2に対応します。

ここにも最大の要素がないことは、有理数の計算で確かめられます。0以上のqでq²が2より小さければ、qより少し大きく、まだ2乗が2より小さい有理数を選べます。負の要素にはそれより大きい0がLの中にあります。境目となる有理数が存在しなくても、左側の集まりそのものは定義できるのです。

すべての切断を集め、集まりの包含関係によって大小を定め、たし算やかけ算も適切に定義すると、実数の体系が得られます。包含関係とは、一方の集まりの要素がすべて他方にも含まれるという関係です。有理数の各点に対応する切断も含めて作るので、もとの有理数を失わず、その間にあった境目を数として扱えるようになります。

この体系を特徴づける重要な性質が完備性です。実数の完備性は、空でない実数の集合が上に有界なら、実数の上限を持つ、と述べられます。上に有界とは、その集合のすべての要素以上となる実数があることです。そのような数を上界と呼び、上界のうち最小のものを上限と呼びます。上限そのものが集合に入っている必要はありません。

たとえば、0以上で2乗が2より小さい有理数の集合は、2を上界に持ちます。有理数の中にはこの集合の上限がありませんが、実数の中には√2という上限があります。「すき間がない」という言い方を、単に点がたくさん並ぶという意味ではなく、境界として必要な上限が存在するという性質にしたものが、ここでの完備性です。

有理数も、異なる2つの有理数の間には必ず別の有理数があるほど細かく並んでいます。そのため、「間に数を入れられる」だけでは実数を特徴づけられません。切断と完備性が扱っているのは、いくら細かく数を選んでも、有理数の中では到達しない境目まで数として受け止められるか、という違いです。

この土台は工学の近似計算にもつながります。たとえば長さを表す正の平方根を、範囲を狭めながら求めるとき、実数の理論は収束先を扱う基盤になります。ただし、コンピュータが有限の桁で保存する値は通常近似値です。実数としての答えの存在と、機械でどこまで正確に求めるかは区別します。大学では、数を作る理論と、数を使って計算する方法の両方が必要になります。

広がるたびに、残す決まりを確かめます

自然数から整数への広がりでは、より大きい数をひく計算にも答えを与えられます。整数から有理数へ進むと、0でない整数でわった結果をいつでも扱えます。有理数から実数へ進むと、有理数だけでは埋まらなかった境目が数になります。実数から複素数へ進むと、負の実数の平方根も扱えるようになります。

この流れは、すべて同じ理由で数を足しているわけではありません。整数や有理数への拡張では計算の答えを収めることが前面に出ます。実数の構成では、近づいていく先や境界の存在を支える完備性が大切になります。複素数への拡張では、実数の範囲では解けなかった方程式を扱えます。何に困っているかによって、必要とする数の性質も変わるのです。

それでも、前から使っていた数を新しい世界の中に位置づけ、計算の整合性を確かめる姿勢は共通しています。負の数の積で分配法則を守ろうとした考え方は、大学で数の体系を定義するときにも続いています。中学の符号の計算は、この大きな問いの小さな入口です。

学びの重点は、計算できることから、分類の理由を説明すること、さらに定義をもとに性質を保証することへ移ります。途中で以前の学びが不要になるのではなく、同じ計算を見る深さが変わります。わからない用語に出会ったときも、まず数直線上の位置や具体的な数に戻れば、新しい定義と知っている計算を結び直せます。

つながりを使った学び方

最初の手順は、計算前に「どの数の範囲で考えるか」を書くことです。整数、有理数、実数のどこに答えを探すのかを意識します。次に、正負の数なら位置と移動、平方根なら挟む範囲を図にします。式の変形だけで追いかけず、答えがどのあたりにあるはずかを見積もると、符号や大きさの誤りを点検できます。

その次に、計算結果を別の表し方で確かめます。分数を小数に直す、平方根の近似値を2乗する、負の数の計算を数直線で読み直す、といった方法です。ただし、近似値の確認だけで無理数であることを証明したつもりにはならないようにします。計算で確かめたことと、理由を示して言い切れたことを、ノートの中でも分けておきましょう。

さらに、定義を一度自分の言葉で説明し、例と例でないものを隣に置きます。有理数なら「整数の比で表せる」という条件を言い、分母が0ではいけないことも付け加えます。絶対値なら、原点からの距離と説明してから負の数を例にします。問題を解き直すときは、間違えた答えだけでなく、読み落とした条件を短く残すと、次に何を確認するかが具体的になります。

塾の授業では、符号の計算が止まったときに、移動の向き、括弧の読み方、計算法則のどこで迷ったかを聞き取ります。理由が違えば、戻る場所も変わるからです。高校の学習でも、無理数の定義を誤っているのか、平方根の計算で手が止まるのかを分け、その日の説明と練習問題を組み合わせます。

家庭では、お子さまに先の専門用語を覚えさせるより、解いた式について「この答えは数直線のどこにあるの」と尋ねるところから始められます。説明が途中で止まったら、その箇所を次の授業で聞くために残してください。保護者が証明を教え切る必要はなく、お子さまが問いを言葉にして持っていける状態を支えることができます。

よくある質問

負の数の計算が苦手でも、先に進めますか

進む道はありますが、符号を取り違える理由は確かめておきたいところです。たし算、ひき算、かけ算を混ぜずに見直し、どの操作なら説明できるかを整理しましょう。ひき算をたし算に直す場面だけ迷うなら、まずそこに絞って数直線と式を対応させます。

無理数は正確にはわからない数ですか

小数を有限の桁で書き切れないことと、数が定まらないことは違います。√2は、2乗すると2になる正の実数として正確に決まっています。必要に応じて近似値を使いますが、記号の√2を使った式では正確な関係を扱えます。

大学の切断を中学生のうちに覚えるべきですか

いま暗記する必要はありません。有理数だけで十分に見える数直線にも、説明すべき境目があると知っておけば十分です。中学では数の大小と絶対値を区別し、高校では有理数の定義を説明することが、その先への確かな準備になります。

数が増えるたびに、覚える負担だけが増すように見える日もあるでしょう。そんなときは、新しい数がどんな問いへの答えなのかをたどってみてください。負の数も√2も、以前の数との関係を持っています。方眼ノートの余白に引く一本の数直線から、大学で実数を組み立てる問いまで、学びは続いています。武蔵野個別指導塾の授業には、「なぜその数が必要なのか」を式のそばで話す時間があります。