高校数学C 平面ベクトル｜演算・内積から交点・面積・軌跡まで｜武蔵野個別指導塾

高校数学Cの平面ベクトルを、演算と成分、内積、位置ベクトル、交点、面積と軌跡へと進む30の問いに分けた目次です。向きと成分で迷う場合は前半から、図形の条件を式へ直す部分で止まる場合は位置ベクトル以降から読み進められます。各項目では自作例題の途中式と練習問題で考え方を確かめます。

矢印の向きや成分の符号を間違えるときは、相等・和と差・実数倍から始めてください。内積は定義、成分計算、角度、垂直の順に進むと、それぞれの条件を整理できます。

図形の証明で手が止まるときは位置ベクトルから読み、内分と外分、係数比較、交点へ進みます。面積や軌跡では、計算結果を元の図形に戻し、点が動ける範囲まで確かめます。

演算・成分と係数比較

• 高校数学C ベクトルの相等—始点を移しても向きと大きさが変わらない理由を確かめる
• 高校数学C ベクトルの和と差—折れ線のつなぎ方から引き算の向きを判断する
• 高校数学C ベクトルの実数倍—負の係数と零を含めて平行になる条件を整理する
• 高校数学C ベクトルの成分—二点の座標の差から演算と未知の成分を求める
• 高校数学C 単位ベクトル—長さをそろえる操作と逆向きの解を区別して求める
• 高校数学C 一次独立と係数比較—平行でない二つのベクトルで表す根拠を確かめる

内積・角度と長さ

• 高校数学C 内積の定義—長さとなす角から符号と値の意味を読み取る
• 高校数学C 内積の成分計算—座標による計算と分配法則を使って式を整理する
• 高校数学C ベクトルのなす角—余弦の範囲と非零条件から角度を決める
• 高校数学C ベクトルの垂直条件—未知数を含む成分から直交する場合を選び出す
• 高校数学C ベクトルの大きさの展開—和と差の長さから内積を逆に求める
• 高校数学C 内積と長さの不等式—成分の式から等号が成立する向きを調べる

位置ベクトルと図形の証明

• 高校数学C 位置ベクトルと原点—二点を結ぶ差が原点の取り方によらないと示す
• 高校数学C 内分点の位置ベクトル—比の向きと重みを図から式へ対応させる
• 高校数学C 外分点の位置ベクトル—符号と存在しない比を点の位置から確かめる
• 高校数学C 三角形の重心—中線上の比と三頂点の平均を二通りで確かめる
• 高校数学C 三角形の内心—辺の長さによる重みと角の二等分線をつなぐ
• 高校数学C 三点の一直線条件—実数倍と係数の和で共線を証明する
• 高校数学C 二直線の交点—二つの媒介変数を区別して連立条件を解く
• 高校数学C 線分の交点と比—媒介変数の範囲から交わる場所を判定する
• 高校数学C 三角形の線分の共点—二本の交点が残る一本にも乗ると示す

方程式・面積と軌跡

• 高校数学C 直線のベクトル方程式—通る点と方向から動点の範囲を表す
• 高校数学C 法線ベクトルの方程式—内積が一定の条件から直線の向きと位置を読む
• 高校数学C 垂線の足と距離—内積から射影の係数を求めて最短の位置を示す
• 高校数学C 内積と三角形の面積—長さとなす角を消去して面積を求める
• 高校数学C ベクトルの係数と面積比—底辺と高さの比から分割した面積を結び付ける
• 高校数学C 三角形の内部を表す条件—二つの係数の不等式から境界と領域を読む
• 高校数学C 円のベクトル方程式—中心と半径の式を内積表示と行き来する
• 高校数学C 距離比が一定の軌跡—二乗した式から円と直線の分かれ目を調べる
• 高校数学C 動点の位置ベクトルと軌跡—媒介変数を消去した後に到達できる範囲を戻す

自分の答案で最初に根拠が書けなくなった式を探し、その条件を扱う項目の例題から解き直してください。