高校数学C ベクトルの相等—始点を移しても向きと大きさが変わらない理由を確かめる｜武蔵野個別指導塾

始点の異なる矢印を重ね、逆向きと零の場合も含めて判定する手順から、ベクトルの相等に迫ります。

理系の高校生が、始点の異なる二つの矢印を別物としてしまう場面はよくあります。図の左にある矢印と右にある矢印は、紙の上で重なっていません。それでも、一方を向きを変えずに平行移動したとき、もう一方にぴったり重なるなら、同じベクトルを表します。

点の位置と、点から点への移動の向き・大きさは別の情報です。相等を調べるときは、どこに描いてあるかより、矢印の始点から終点へどう進むかに注目します。逆向きや、始点と終点が一致する場合も含めて考えます。

どこを比べる問題か

相等の問題には、まず図中から同じベクトルを探す型があります。平行な辺を見つけても、それだけでは足りません。矢印を始点から終点へたどり、向きと長さの両方を調べます。向きが同じで長さが異なる場合も、長さが同じで向きが逆の場合も、相等ではありません。

次に、等式を満たす点を作る型があります。始点を指定されたら、元の矢印をその始点へ平行移動し、移した矢印の終点を求めます。終点を指定された場合は、移した矢印がそこに到着するよう始点を決めます。指定された点を取り違えると、反対側に点を作ってしまいます。

もう一つは、等式から図形や点の位置を判断する型です。例えば2本の有向線分が等しいという条件から、対応する辺が平行で等しいことを使えます。ただし、端点が重なると通常の平行四辺形にならない場合があります。図形の名前を付ける前に、点が異なるか、一直線上に並ばないかを調べます。

矢印を平行移動して重ねる

点 A を始点、点 B を終点とする向きのある線分を有向線分 AB と呼びます。それが表すベクトルを「ベクトル AB」と書きます。A と B が異なるとき、その大きさは線分 AB の長さであり、向きは A から B へ進む向きです。順序を入れ替えたベクトル BA は大きさが同じで、向きが逆です。

図1のように、矢印を回転させず、形も伸び縮みさせずに移します。始点 A が C に、終点 B が D に重なるなら、ベクトル AB = ベクトル CD です。図の線分が同じ直線上になくても、移動して重ねられます。

図1では A から B への進み方と C から D への進み方が一致します。A と C が異なることは相等を妨げません。反対に、矢印を回して重ねる必要がある場合は、長さが等しくても向きが一致していません。

非零の2つのベクトルが等しい条件は、向きが同じで、大きさが等しいことです。2つの条件はどちらも必要です。平行という情報は直線の方向を表しますが、矢印が同じ向きか逆向きかは決めません。また、同じ向きでも長さが異なれば重なりません。

A と B が一致するとき、ベクトル AA の大きさは 0 です。これを零ベクトルといい、0（ベクトル）と表します。始点と終点が同じであれば、どの点で表しても零ベクトルです。零ベクトルには定まった向きを考えないので、非零の場合の「向きが同じ」という判定をそのまま持ち込まず、両方が零かどうかを調べます。

逆向きのベクトルは、元の非零ベクトルと同じ大きさで向きが反対のベクトルです。ベクトル AB に対してベクトル BA がその例です。零ベクトルの逆向きに対応するベクトルも零ベクトルですが、零に特定の向きがあるという意味ではありません。

基本例題：平行四辺形の辺を読む

問題。図2の平行四辺形 ABCD の頂点は A、B、C、D の順に並んでいます。4頂点は異なります。ベクトル AB と等しいもの、およびベクトル AB と同じ大きさで逆向きのものを、辺を表す有向線分の中からそれぞれすべて挙げてください。

図2のように、辺 AD と辺 BC は対応し、辺 AB と辺 DC も対応します。文字の順番で矢印の向きが決まるため、線分の名前を見ただけで答えず、各辺をたどります。

解答。平行四辺形の向かい合う辺は平行で長さが等しいので、辺 AB と辺 DC の長さは等しいです。頂点の並びから、A から B と D から C は同じ向きです。したがって、

ベクトル AB = ベクトル DC

となります。辺の有向線分には AB と BA のように、各辺について2通りの向きがあります。AB 自身と DC が求める相等なものです。一方、B から A と C から D は AB と同じ長さで逆向きなので、答えは BA、CD です。

辺 AD、DA、BC、CB は AB と平行ではありません。平行四辺形がつぶれていないため、これらが AB と同じ向きや逆向きになることはありません。図2に戻して矢印を指でたどれば、DC は D から C へ、CD は C から D へ進むと確認できます。

標準例題：終点と始点を作り分ける

問題。1辺の長さが 1 の正方形の格子上に A、B、C、D を置きます。A から B へは右に 3 マス、上に 2 マス進みます。C は A と異なる格子点です。ベクトル CD = ベクトル AB となる D の位置を、C からの進み方で答えてください。また、ベクトル EA = ベクトル AB となる E の位置を、A からの進み方で答えてください。

解答。相等な矢印は、右と上への進み方も一致します。D は C を始点とする矢印の終点ですから、

C から右に 3 マス進む
そこから上に 2 マス進む
到着した格子点を D とする

これで C から D への矢印は、A から B への矢印を平行移動したものです。よってベクトル CD = ベクトル AB です。C の場所は矢印の向きと大きさを変えないので、C がどの格子点でも同じ手順で D を1点に定められます。

E の場合は A が終点です。E から右に 3 マス、上に 2 マス進んで A に着く必要があります。そこで A から逆にたどります。

A から左に 3 マス進む
そこから下に 2 マス進む
到着した格子点を E とする

実際に E から右に 3 マス、上に 2 マス戻ると A に到着します。したがってベクトル EA = ベクトル AB です。A から右上へ進んで E を置くと、できるのはベクトル AE = ベクトル AB であり、求めた等式とは始点と終点が逆です。終点を与えられた場合の確認は、作った点から矢印を描き直すことです。

発展例題：等式から図形を判定する

問題。相異なる3点 A、B、C が一直線上にないとします。ベクトル AB = ベクトル DC を満たす点 D を作り、四角形 ABCD が平行四辺形であることを示してください。さらに、A、B、C が相異なり一直線上にあるとき、同じ等式を満たす D は作れるか、できた図形を平行四辺形と呼べるかを答えてください。

解答。まず C を終点とするように、ベクトル AB を平行移動します。その始点を D とすれば、

ベクトル DC = ベクトル AB

です。C から見ると、D は B から A へ進むのと同じ移動で得られます。向きと大きさが指定されているため、D の位置は1点に定まります。

等式から、線分 AB と線分 DC は平行で長さが等しいです。A、B、C は一直線上にないので、C を通る AB に平行な直線は AB と異なります。D もその直線上にあり、A や B と一致しません。また AB は零でないので、D と C も異なります。したがって ABCD はつぶれていない四角形です。

この四角形では、向かい合う1組の辺 AB と DC が平行で長さも等しいです。よって、平行四辺形の判定条件から ABCD は平行四辺形です。逆にこの平行四辺形の向かい合う辺を A から B、D から C の順にたどれば、向きと大きさが一致するので、もとの等式にも戻ります。

次に3点が一直線上にある場合も、C を終点として同じ矢印を置けば D は1点に定まります。しかし D は A、B、C を通る直線上にあります。4点が異なる場合でも図形はつぶれており、通常の平行四辺形ではありません。例えば C を B にとれば D は A に一致しますが、これはこの問題の相異なる3点という仮定には反します。この仮定では D が A と重なることはありませんが、C が B の先にあり BC = AB となると D は B に一致します。作図できることと、異なる4頂点を持つ四角形になることを分けます。

誤答を矢印に戻す

誤答の例は、図3の平行四辺形で「向かい合う辺は平行で等しいから、ベクトル AB = ベクトル CD」とするものです。長さについての読み取りは正しいですが、等式は正しくありません。

図3のように AB は左から右、CD は右から左です。平行移動では矢印を反転できないため、2本は重なりません。文字の並びを D、C に直すと、DC は AB と同じ向きになり、長さも等しいので相等です。

別の誤りとして「長さが 0 の矢印は描けないから、ベクトル AA は存在しない」と考えることがあります。始点と終点が同じ有向線分も零ベクトルを表します。紙に矢印の向きが描けないことと、零ベクトルが存在しないことは別です。逆に、長さが等しいという条件だけで非零の矢印まで零とみなすこともできません。

練習：移した先と戻る向き

次の5問を解いてから、後の解答で矢印を元の条件に戻してください。答えは指定した文字や進み方で表します。

1. 長方形 PQRS の頂点はこの順に並び、4頂点は異なります。辺の有向線分のうち、ベクトル QR と等しいものをすべて挙げてください。
2. 格子上で U から V へ左に 4 マス、上に 1 マス進みます。ベクトル WX = ベクトル UV となる X は W からどう進んだ点ですか。
3. 格子上で M から N へ右に 2 マス、下に 5 マス進みます。ベクトル YN = ベクトル MN となる Y を N からの進み方で答えてください。
4. 異なる2点 K、L について、ベクトル KL とベクトル LK は等しいですか。また、ベクトル KK とベクトル LL は等しいですか。理由も答えてください。
5. 相異なる3点 P、Q、R が一直線上にないとき、ベクトル PQ = ベクトル RS となる S を作ります。四角形 PQSR はどのような四角形ですか。理由と、等式に戻る確認を書いてください。

練習の解答と確認

1. 答えは QR、PS です。長方形の向かい合う辺 QR と PS は平行で長さが等しく、Q から R と P から S は同じ向きです。

ベクトル QR = ベクトル PS

逆向きの RQ と SP は相等ではありません。残る辺は QR に垂直で、向きが異なります。PS を P から S へたどり直すと、QR と同じ向きに進むことを確認できます。

2. 答えは W から左に 4 マス、上に 1 マスの点です。相等な矢印は向きと大きさが同じなので、UV の移動を W から再現します。

W から左に 4 マス進む
そこから上に 1 マス進んで X に着く

作った X へ W から進むと、与えられた U から V への移動と一致します。右に 4 マスとした場合は水平の向きが逆で、元の条件に戻りません。

3. 答えは N から左に 2 マス、上に 5 マスの点です。N は求める矢印の終点なので、MN の移動を逆にたどります。

N から左に 2 マス進む
そこから上に 5 マス進んで Y に着く

Y から右に 2 マス、下に 5 マス進むと N に戻ります。よって YN と MN は同じ移動です。N から右下へ進んだ点を Y とすると、YN は求める向きと逆になります。

4. KL と LK は等しくありません。K と L は異なるので、両方とも大きさは正で、向きが逆です。

ベクトル KK = 0（ベクトル）
ベクトル LL = 0（ベクトル）

したがって KK と LL は等しいです。K も L も、それぞれ始点から同じ点へ戻る移動であることが確認になります。零の場合に逆向きの図を無理に描く必要はありません。

5. 答えは平行四辺形です。PQ を始点 R に平行移動し、終点を S とします。PQ と RS は平行で等しい長さです。

ベクトル PQ = ベクトル RS
PQ と RS は平行で、PQ = RS

P、Q、R は一直線上にないので PQSR はつぶれない四角形です。向かい合う1組の辺が平行で等しいため、平行四辺形と判定できます。逆に、この順の平行四辺形で P から Q、R から S をたどると同じ向きと長さになり、与えられた等式に戻ります。四角形の順番を PQRS とすると、辺の対応が変わる点に注意します。

覚えておくこと

• 非零のベクトルは、向きと大きさがともに等しいとき相等です。
• 始点が異なっても、平行移動で重なる矢印は同じベクトルです。
• 始点と終点を入れ替えると、非零の矢印は逆向きです。
• 始点と終点が一致する有向線分は零ベクトルを表します。
• 図形の判定では、点の一致や一直線上の場合も確認します。

どこで判断が止まったか

同じ長さの辺を選べるのに答えが逆になる場合は、文字の左から右へ点を指し、矢印を描いてみてください。平行を見つけた後に、向きも一致するかを別に尋ねると、長さと向きのどちらを落としたかが見えます。

点を作る問題で迷う場合は、等式の左側で指定された点が始点か終点かを丸で囲みます。個別指導で説明するなら、作図後に「この始点から、この終点へ」と声に出し、元の矢印と進み方を照合すると判断を確かめられます。零の場合は向きの比較を保留し、両端が一致しているかを先に見ます。矢印の位置が変わっても、進み方の一致が相等を決めます。