高校数学III 積分法の応用｜面積・回転体・長さ・道のりの立式と検算｜武蔵野個別指導塾

高校数学IIIの積分法の応用を、面積、媒介変数の面積、断面積と回転体、曲線の長さ、速度と道のり、簡単な微分方程式の30の問いに分けた目次です。図から積分の式を作る手順、条件で分かれる解法、誤答の直し方を基本・標準・発展の例題で確かめ、練習問題で解き直せます。

面積の式で迷うときは、軸との位置関係から始め、二曲線の上下、横切り、媒介変数の順へ進んでください。回転体は断面積を作る記事から、円板、円環、軸をまたぐ領域へ進めます。

長さと道のりを学ぶときは、関数表示の弧長から媒介変数表示へ進み、往復による重複を確かめてください。微分方程式は積分の利用を深めたい人に向けた発展の入り口です。

面積と積分する変数

• 高校数学III 曲線と軸の間の面積—符号を調べて定積分から図形の広さを求める
• 高校数学III 交差する二曲線の面積—交点ごとに上下を入れ替えて積分を組み立てる
• 高校数学III 横に切る面積—左右の境界を比べて積分する変数を選び直す
• 高校数学III 三角関数で囲む面積—周期と対称性を確かめて必要な区間を選ぶ
• 高校数学III 指数対数曲線の面積—定義域と交点の条件から囲まれた領域を定める
• 高校数学III 逆関数を用いる面積—対称な領域と長方形の差から積分を減らす
• 高校数学III 動く直線と面積—交点の位置による場合分けで面積の式を作る

媒介変数で表す面積

• 高校数学III 媒介変数曲線の面積—座標の増減と端点から変数を置き換える
• 高校数学III 折り返す媒介変数曲線の面積—進行方向を分けて重なりのない領域を数える
• 高校数学III 楕円の媒介変数と面積—対称性と積分区間で一周分を対応させる
• 高校数学III サイクロイドの面積—一つの弧と軸の領域を置換して求める

断面積と回転体

• 高校数学III 断面積から求める体積—切り口の形と厚さを対応させて積分する
• 高校数学III 断面が変わる立体の体積—切り口の境界で式を分けて足し合わせる
• 高校数学III 横軸のまわりの回転体—円板の半径と区間から体積の式を作る
• 高校数学III 縦軸のまわりの回転体—横向きの断面から半径を表して体積を求める
• 高校数学III 穴のある回転体の体積—外半径と内半径の二乗を別々に積分する
• 高校数学III 平行な直線のまわりの回転体—軸からの距離で半径を書き直す
• 高校数学III 軸をまたぐ領域の回転体—断面の重なりと外半径の切替を調べる
• 高校数学III 媒介変数で表す回転体—半径と断面の厚さを同じ変数でそろえる

曲線の長さ

• 高校数学III 関数表示の曲線の長さ—微小な線分から根号を含む積分を立てる
• 高校数学III 曲線の長さの根号整理—平方の形と符号を確かめて積分を計算する
• 高校数学III 媒介変数曲線の長さ—二つの座標の変化から速さに当たる量を作る
• 高校数学III 尖点を含む曲線の長さ—零になる導関数と区間の分割を確かめる
• 高校数学III 往復する曲線の長さ—軌跡の長さと動いた道のりを区別する

速度・道のりと微分方程式

• 高校数学III 速度から位置を求める積分—初期位置と変位を結びつけて条件へ戻す
• 高校数学III 速度と道のりの積分—向きが変わる時刻で速さを分けて足す
• 高校数学III 平面運動の道のり—座標の速度から速さを作って時間で積分する
• 高校数学III 簡単な微分方程式と初期条件—変化率の式を積分して関数を決める
• 高校数学III 変化率が量に比例する微分方程式—指数関数の解と零の解を確かめる
• 高校数学III 増減を表す微分方程式の利用—自作の量と時間の条件から定数を決める

式が作れないときは、図に積分する向きと細い断面を描き足し、境界が切り替わる場所を探してください。