高校数学III 指数対数曲線の面積—定義域と交点の条件から囲まれた領域を定める｜武蔵野個別指導塾

対数の真数条件から境界を絞り、接線や割線との上下を増減で確かめて、囲まれた面積の式を組み立てます。

よくあるのは、理系の高3が対数曲線と直線の図を描くとき、曲線を左に延ばし、真数が負となる場所まで領域を塗る場面です。図形が閉じて見えても、そこに曲線が存在しなければ境界として使えません。まず曲線の存在する範囲を決め、次に交点や端の直線を置き、最後に各位置で上と下を比べます。指数曲線でも同じ順序で考えると、積分区間を図から読み間違えにくくなります。

何を境界として読むか

指数対数曲線の面積では、曲線と直線の交点を両端とする場合と、さらに縦の直線で領域を区切る場合があります。交点の式が作れても、その解が対数の定義域内にあるかを調べなければ、境界点として採用できません。また、交点が1個であっても、指定された直線が別の端を作る場合には有限の領域ができます。

問題文の「囲まれた」という語に出会ったら、まず境界を列挙します。例えば曲線、斜めの直線、縦の直線があるなら、それぞれがどこでつながるかを書き込みます。積分の上下端は、曲線の式に見える数をそのまま選ぶのではなく、閉じた図形の左右端から決めます。交点が2個ある場合には、その間で上下関係が変わるかも調べます。

この先では自然対数を log と書きます。指数と対数の曲線と直線が作る有限領域を扱い、計算できる交点を持つ設定を使います。無限に延びる領域の面積は扱いません。答えは面積なので負にならないことも最後の点検材料です。

存在する場所から幅を作る

実数の範囲で y = log x が定義されるのは x > 0 です。y = log(x-a) なら真数の条件は x-a > 0、つまり x > a です。境界の x = a では対数の値そのものが存在しません。図1のように、定義域の左端には曲線上の点を置かず、その右側だけに曲線を描きます。

図1の縦の破線は x = a を示します。これは定義域の境目を示す線であり、それ自体を曲線の一部と見なしてはいけません。対数の式を含む方程式を変形するときも、この条件を書いた上で、得た候補を元の式に戻します。両辺を指数化して得た式だけを見て判断を終えないことが大切です。

有限の閉区間 a ≤ x ≤ b で連続な2関数 f、g が f(x) ≥ g(x) を満たすとき、そのグラフと両端の縦線で囲まれる面積は ∫[a→b] (f(x)-g(x)) dx です。各 x での縦の幅が上の値から下の値を引いたものだからです。対数を含むときは区間全体が真数の正の範囲に入ることを確かめます。両端が交点なら、その端では幅が0になります。

上下の判定には差の符号を使います。差を h(x) と置き、h′(x) の符号から増減を調べれば、図の見た目に頼らず区間内の符号を決められます。端点で差が0でも、途中で負にならないとは限りません。必要なら極値や差が0になる点を調べ、上下が入れ替わるところで積分を分けます。

指数関数はすべての実数で連続です。対数関数は真数が正の範囲で連続ですから、以下の各問題では指定区間がその範囲に収まることを確認してから積分します。面積の公式は、連続な幅を有限区間で足し合わせる考えに基づいています。

基本例題：対数と接線の間

問題。曲線 y = log x、直線 y = x-1、直線 x = e で囲まれた有限領域の面積を、e を用いた厳密な式で求めてください。

まず対数の条件は x > 0 です。曲線と直線は x = 1 でともに y = 0 となります。ほかの交点の有無と上下関係を同時に調べるため、差を次のように置きます。

h(x) = x-1-log x
h′(x) = 1-1/x = (x-1)/x

x > 0 では、h′(x) は 0 < x < 1 で負、x > 1 で正です。したがって h は x = 1 で最小となり、h(1) = 0 です。両曲線の交点は (1, 0) で、直線は曲線以上にあります。x = e は1より右にあり、区間 [1, e] は定義域に含まれます。図2のように左端の交点と右端の縦線を結ぶ部分が求める領域です。

図2では縦に切った幅が x-1-log x です。部分積分により、正の x で log x の原始関数は x log x-x です。実際に微分すると log x に戻ります。よって面積 S は次のようになります。

S = ∫[1→e] (x-1-log x) dx
  = [x²/2-x-(x log x-x)]₁ᵉ
  = [x²/2-x log x]₁ᵉ
  = e²/2-e-1/2
  = (e²-2e-1)/2

上から下を引いているので、積分前の幅は非負です。結果も正で、面積の条件と合います。端に戻して確かめると、x = 1 で幅は0、x = e で幅は e-2 です。この2点の値は図の左端と右端の高さの差に対応します。もし x = e を入れ忘れると領域の右端が決まらず、この問題とは別の図形になります。

接線という情報だけで面積を計算し始めるより、差の増減を調べるほうが安全です。接点で上下が入れ替わらないことも、この場合は h の最小値から説明できます。図は見通しを与えますが、全区間の上下関係を保証するのは符号の議論です。

標準例題：指数曲線と2本の直線

問題。曲線 y = eˣ、直線 y = 1、直線 x = log 3 で囲まれた有限領域の面積を厳密に求めてください。

曲線と y = 1 の交点は eˣ = 1 より x = 0、すなわち (0, 1) です。指数関数は増加するので、0 ≤ x ≤ log 3 では eˣ ≥ 1 です。曲線と直線はこの閉区間で連続であり、右端の曲線上の点は (log 3, 3) です。縦の幅を足して計算します。

S = ∫[0→log 3] (eˣ-1) dx
  = [eˣ-x]₀ˡᵒᵍ ³
  = (3-log 3)-1
  = 2-log 3

端点に戻すと、左の幅は1-1 = 0、右の幅は3-1 = 2です。幅は途中で正なので、結果も正でなければなりません。実際、0 < log 3 < 2 であり、答えは正です。後者は e² > 3 から確かめられます。

この領域は横に切ることもできますが、曲線を x = log y と表し直し、左右を比べる必要があります。縦切りなら最初から上下の式が与えられ、区間も交点と指定された直線から直接決まります。切る向きは好みではなく、境界の式と分割の少なさで選びます。

発展例題：2つの交点を持つ対数と直線

問題。曲線 y = log x と直線 y = (log 4)(x-1)/3 で囲まれた有限領域の面積を、log 4 を用いて厳密に求めてください。

真数条件は x > 0 です。直線は x = 1 で0、x = 4 で log 4 となるため、曲線との交点に (1, 0)、(4, log 4) があります。ほかの交点を見落としていないか、差の増減を調べます。c = (log 4)/3 と置きます。

h(x) = log x-c(x-1)
h′(x) = 1/x-c
h″(x) = -1/x² < 0

h′ は正の範囲で単調に減少します。また log 4 = ∫[1→4] (1/x) dx であり、区間の内部では 1/4 < 1/x < 1 です。よって 1/4 < c < 1 となります。したがって h′(1) > 0、h′(4) < 0 であり、h は1と4の間の1点で増加から減少へ変わります。

h(1) = h(4) = 0 ですから、その間では h > 0 です。さらに x < 1 では h は1へ向けて増加し、x > 4 では4から減少するので、両区間では h < 0 です。これで交点が挙げた2点に限られ、曲線がその間の上側であることも確定します。各関数は [1, 4] で連続です。

S = ∫[1→4] {log x-c(x-1)} dx
  = [x log x-x-c(x-1)²/2]₁⁴
  = 4 log 4-3-9c/2
  = 4 log 4-3-3 log 4/2
  = (5 log 4)/2-3

元の図形に戻すと両端の幅は0で、その間の幅は正です。したがって答えも正です。交点を2つ代入できたことと、交点がその2つに限られることは別の確認です。後者を増減で示したため、途中に別の小領域が隠れていないと判断できます。

定義域外を塗った答案を直す

曲線 y = log(x-2)、直線 y = 0、直線 x = 5 を考えます。対数曲線と横軸の交点は log(x-2) = 0 より x-2 = 1、つまり x = 3 です。定義域は x > 2 ですから、x = 2 から左には曲線が存在しません。図3のように面積の左右端は交点 x = 3 と指定された x = 5 です。

誤った答案では ∫[0→5] log(x-2) dx と書き、左側を一続きの領域にしてしまいます。しかし x ≤ 2 では被積分関数が実数として定義されません。さらに 2 < x < 3 では対数曲線は横軸より下です。定義されるかどうかと、上下のどちらかは別々に確認する必要があります。

正しくは 3 ≤ x ≤ 5 で log(x-2) ≥ 0 です。曲線はこの区間で連続なので、面積は ∫[3→5] log(x-2) dx となります。t = x-2 とすると端点は1と3に移り、面積は [t log t-t]₁³ = 3 log 3-2 です。左端で幅0、右端で幅 log 3 という元の条件にも戻ります。

積分範囲を間違えたときは、原始関数の計算だけを直しても正しい面積にはなりません。図の境界点に座標を付け、真数条件、交点、上下関係をこの順に書き直します。もし曲線が途中で直線を横切るなら、交点で分けて各区間の上から下を引き、正の面積を足します。

自分で試す5問

いずれも面積を厳密な式で求めてください。各条件の曲線と直線で囲まれた有限領域を対象とします。

1. y = eˣ、y = 1、x = log 2 で囲まれる領域。
2. y = log x、y = 0、x = 2 で囲まれる領域。
3. y = log(x+1)、y = 0、x = 3 で囲まれる領域。
4. y = eˣ、y = 2、x = 0 で囲まれる領域。
5. y = log x、y = x/2-1+log 2、x = 4 で囲まれる領域。

答えと考え方

1

交点は eˣ = 1 より x = 0 です。指数関数は連続かつ増加するので、区間 [0, log 2] で上は eˣ です。

S = ∫[0→log 2] (eˣ-1) dx
  = [eˣ-x]₀ˡᵒᵍ ²
  = 1-log 2

元の境界で幅は0から1へ増えます。答えが正であることは、log 2 = ∫[1→2] 1/x dx < 1 からも確認できます。

2

定義域は x > 0 で、横軸との交点は x = 1 です。区間 [1, 2] で対数は連続かつ非負です。

S = ∫[1→2] log x dx
  = [x log x-x]₁²
  = 2 log 2-1

両端の高さは0と log 2 で、元の図形に戻ります。幅は内部で正ですから面積も正です。

3

真数条件は x > -1、横軸との交点は x = 0 です。0 ≤ x ≤ 3 で曲線は横軸以上にあり、連続です。t = x+1 と置くと積分区間は [1, 4] です。

S = ∫[0→3] log(x+1) dx
  = ∫[1→4] log t dt
  = [t log t-t]₁⁴
  = 4 log 4-3

左端の真数は1、右端の真数は4です。どちらも正で、横軸からの右端の高さは log 4 となります。

4

交点は x = log 2 です。区間 [0, log 2] では eˣ ≤ 2 なので、上の定数から指数関数を引きます。両関数はこの区間で連続です。

S = ∫[0→log 2] (2-eˣ) dx
  = [2x-eˣ]₀ˡᵒᵍ ²
  = 2 log 2-1

x = 0 で幅1、x = log 2 で幅0です。指定された縦線と交点に戻して、引く順序が反対でないことを確かめます。

5

直線と曲線は x = 2 でともに log 2 となります。差を h(x) = x/2-1+log 2-log x とすると、h′(x) = 1/2-1/x です。x > 0 で h は x = 2 まで減少し、その後増加します。h(2) = 0 なので交点は x = 2 で、区間 [2, 4] では直線が上です。対数はこの区間で連続です。

S = ∫[2→4] (x/2-1+log 2-log x) dx
  = [x²/4+x log 2-x log x]₂⁴
  = 3-4 log 2

x = 2 で幅0、x = 4 で幅は 1-log 2 です。後者は正であり、元の上下関係に合います。接点を挟んで差が負になると誤認しないよう、導関数の符号を両側で確かめます。

手元に残す要点

• 対数は真数が正の範囲を先に書きます。
• 交点の候補は元の式と定義域に戻します。
• 有限領域の左右端と、各区間の上下を決めます。
• 連続な幅を上から下の順で積分し、面積の正負を点検します。

どこで止まったかを見分ける

最初の式が書けないときは、図に曲線の存在する範囲、交点、指定された直線を別々に記してみてください。定義域を正しく書けても積分端に反映できなければ、境界がどこでつながるかを指でたどり、縦の切り口の両端を言葉で説明します。式を作れた場合も、左右端で幅が図に合うかを代入して確かめます。

個別指導の場では、解答の面積の式だけでなく、交点の候補を元の条件に戻した行と、上下を判断した根拠を確認できます。例えば接点を求めた後で差の増減を説明できるかを見ると、図の形の暗記と符号の理解を区別できます。定義域と境界の対応が取れれば、積分はその領域の幅を表す式になります。