高校数学I 補角の三角比—左右対称な点から鈍角の値を鋭角へ戻して求める｜武蔵野個別指導塾

半円上の左右対称な点から、sin、cos、tan の値と符号を読み取る鍵は補角です。

よくあるのは、鈍角の三角比を求めるとき、高1の高校生が「鈍角だから」と sin、cos、tan をすべて負にしてしまう場面です。符号を角の大きさだけで決めると、どの比が高さに対応するかを見失います。半円の右側の点を左側に折り返すと、変わる座標と変わらない座標が見えてきます。鋭角の値を手がかりに、補角の値を順に取り出しましょう。

高校数学Iの図形と計量では、鋭角の三角比を鈍角にも広げて扱います。ここでは 180度から引いた角の関係に絞り、一般角への拡張は扱いません。

どのように問われるか

例えば、150度の三角比を求める問題では、180度から引いて30度に戻し、値と符号を決めます。30度の値をそのまま3つ並べるのではなく、どの値に負の符号が付くかを区別します。

また、鋭角の sin や cos が与えられ、その補角の比を求める問題もあります。特殊な角度を当てる必要はありません。右側の点の座標を文字で表し、左側の点との対応を見る方法が使えます。

逆に、鈍角の tan が与えられ、元になる鋭角の3つの比を求める問題では、負の符号を先に処理します。計算後は、求めた鋭角が本当に鋭角として描けるか、補角に戻した値が条件に合うかを確かめます。

折り返しても残る高さ

0度より大きく90度より小さい角を θ とします。座標平面の原点 O を中心とする半径1の上半円を考え、正の横軸から θ だけ回した半径の先を P とします。P の座標を (a, b) とすると、a、b はともに正です。半径が1なので、定義から次のようになります。

cos θ = a
sin θ = b
tan θ = b/a

P を縦軸について対称に移した点を Q とします。図1のように Q の横座標は -a、縦座標は b です。線分 OP と OQ は同じ長さで、縦軸とそれぞれの半径の間の角も等しくなります。正の横軸から OQ までの角は 180度 − θ です。

図1で縦方向の長さは変わりません。一方、右にあった点が左に移るので、横座標は正から負に変わります。したがって、半円上の座標による定義を用いると次の関係が得られます。

sin(180度 - θ) = b = sin θ
cos(180度 - θ) = -a = -cos θ
tan(180度 - θ) = b/(-a) = -tan θ

最後の式では a が正なので、分母が0ではありません。tan は縦座標を横座標で割った比です。高さは正のままでも、割る相手が負になるため、結果は負です。sin は高さそのものに対応するので、負にはなりません。

この説明を半径 r の半円で考えても、右側の点を (x, y) とすれば、左側の点は (-x, y) です。sin は y/r、cos は x/r、tan は y/x ですから、半径を1に限らなくても符号の関係は同じです。半径は正であり、左右で共通であることが要点です。

θ が90度の場合は両方の点が上端で重なり、横座標が0になります。sin と cos の対応は保たれますが、tan は0で割ることになり定義できません。0度と180度では sin が0、cos がそれぞれ1と-1、tan がともに0です。以下の式で tan を使うときは、角と分母を確認してから進みます。

基本例題：150度を30度に戻す

問題　150度の sin、cos、tan をそれぞれ根号を含む正確な値で求めてください。

解き方　150度は鈍角なので、補角の鋭角を先に求めます。

180度 - 150度 = 30度
150度 = 180度 - 30度

図2のように、30度の点と150度の点は縦軸について対称です。30度では正弦が 1/2、余弦が √3/2、正接が 1/√3 です。正接は分母を有理化して √3/3 とも表せます。

補角の関係を一つずつ適用します。

sin 150度 = sin(180度 - 30度)
          = sin 30度
          = 1/2

cos 150度 = cos(180度 - 30度)
          = -cos 30度
          = -√3/2

tan 150度 = tan(180度 - 30度)
          = -tan 30度
          = -√3/3

答えは順に 1/2、-√3/2、-√3/3 です。図2の左の点で縦座標は正、横座標は負ですから、最初の2つの符号は位置に合います。さらに (1/2)/(-√3/2) = -1/√3 = -√3/3 となり、正接も座標の比に戻して確認できます。

150度から90度を引いて60度を使いたくなるかもしれません。しかし、ここで直接使った関係は「180度から同じ角を引く」関係です。角の差が何度かを先に書くと、使う値と符号が混ざりません。

標準例題：角度がなくても点を移す

問題　0度 < θ < 90度 で、sin θ = 5/13 です。cos θ は正であることを用いて求め、続いて sin(180度 − θ)、cos(180度 − θ)、tan(180度 − θ) をそれぞれ分数で求めてください。

解き方　θ が鋭角なので、半径13の円の右上の点を使えます。高さが5なら、横の長さを x として三平方の定理が成り立ちます。x は正です。

x² + 5² = 13²
x² = 169 - 25
x² = 144
x = 12

よって鋭角の余弦は 12/13、正接は 5/12 です。補角では高さが同じで横座標が反対になるため、各式は次のようになります。

sin(180度 - θ) = sin θ
                 = 5/13
cos(180度 - θ) = -cos θ
                 = -12/13
tan(180度 - θ) = -tan θ
                 = -5/12

右側の点は (12, 5)、左側は (-12, 5) と表せます。左側の点についても (-12)² + 5² = 169 なので、半径13の円上にあります。縦座標を13で割れば 5/13、横座標を13で割れば -12/13、縦座標を横座標で割れば -5/12 です。これで与えられた sin θ = 5/13 と、求めた補角の3つの値の両方に戻せます。

途中で x = -12 を採用すると、右側の点という条件に反します。左側の横座標には負の符号が必要ですが、それは右側の長さを求めた後、対称移動によって付けます。平方根を取る段階と点を移す段階を分けると、符号を二度変える誤りを防げます。

発展例題：鈍角の正接から鋭角へ

問題　90度 < α < 180度 で、tan α = -7/24 です。θ = 180度 − α とおき、sin θ、cos θ、および sin α + cos α を根号を使わない分数で求めてください。

解き方　α が90度より大きく180度より小さいので、θ は0度より大きく90度より小さい角です。α = 180度 − θ という対応を使うと、

tan α = -tan θ
-7/24 = -tan θ
tan θ = 7/24

鋭角 θ の直角三角形で、対辺と隣辺の比を 7 : 24 とおけます。斜辺を h とすると、各辺は正なので、

h² = 7² + 24²
h² = 49 + 576
h² = 625
h = 25

よって、鋭角 θ の2つの値を得ます。

sin θ = 7/25
cos θ = 24/25

補角へ戻すと sin は同じ、cos は符号が反対です。

sin α = sin θ
      = 7/25
cos α = -cos θ
      = -24/25
sin α + cos α = 7/25 + (-24/25)
              = -17/25

答えは sin θ = 7/25、cos θ = 24/25、和が -17/25 です。左上の点を (-24, 7)、半径を25と見ると、7/(-24) = -7/24 となり、元の tan α に戻ります。7² + 24² = 25² で半径も一致し、座標の符号から α が指定された範囲にあることも確かめられます。

負の正接を見て、直角三角形の辺の長さを -7 と置いてはいけません。長さは正の 7 と 24 で作り、左側へ移った横座標に負を付けます。どこに負が生じたかを残しておけば、和の計算でも符号が追えます。

誤答を座標に戻して直す

ある人が、150度は鈍角だから sin 150度 = -1/2 と書いたとします。cos 150度 と tan 150度 が負になることを、そのまま sin にまで広げた誤りです。

図3のように、150度の点は左上にあります。横座標は負ですが、縦座標は正の 1/2 です。sin は半径1のとき縦座標なので、-1/2 ではなく 1/2 になります。もし -1/2 を縦座標にすると、点は横軸より下に移り、0度から180度までの上半円という条件に合いません。

図3で横の値と縦の値を別々に読むと、cos 150度 = -√3/2 はそのまま残せます。次に、正しい sin を cos で割れば tan も負です。3つの値をまとめて「鈍角なら負」とする代わりに、点の位置、縦と横、割り算の順に確かめます。

別の失敗は 90度の tan を0とすることです。上端の座標は (0, 1) なので、tan を座標の比で書くと 1/0 になります。0で割る計算は定義されません。sin 90度 が1、cos 90度 が0であることと、tan 90度 の値が存在しないことを分けて扱います。

練習：折り返す前と後を区別する

次の5問は、指定された形で答えてください。角度を求める必要がない場合は、点の位置と辺の比から進められます。

1. 120度の sin、cos、tan を、根号を含む正確な値で求めてください。
2. 135度の sin、cos、tan を、根号を含む正確な値で求めてください。
3. 0度 < β < 90度 とし、半径17の上半円で β に対応する点が (8, 15) です。180度 − β に対応する点の座標と、その角の sin、cos、tan を分数で求めてください。
4. 0度 < γ < 90度 で、cos γ = 4/5 です。sin γ が正であることを用い、sin(180度 − γ) − cos(180度 − γ) を分数で求めてください。
5. 90度 < δ < 180度 で、tan δ = -5/12 です。sin δ、cos δ を分数で求め、元の正接に戻して確かめてください。

練習の解答と確認

1. 120度に対応する鋭角は60度です。60度の sin、cos、tan はそれぞれ √3/2、1/2、√3 なので、

120度 = 180度 - 60度
sin 120度 = sin 60度 = √3/2
cos 120度 = -cos 60度 = -1/2
tan 120度 = -tan 60度 = -√3

答えは順に √3/2、-1/2、-√3 です。正弦を余弦で割ると (√3/2)/(-1/2) = -√3 となります。左上の点の高さは正、横座標は負であり、120度の位置にも合います。

2. 135度に対応する鋭角は45度です。45度では sin と cos がともに √2/2、tan が1です。

135度 = 180度 - 45度
sin 135度 = sin 45度 = √2/2
cos 135度 = -cos 45度 = -√2/2
tan 135度 = -tan 45度 = -1

答えは順に √2/2、-√2/2、-1 です。座標の比 (√2/2)/(-√2/2) も -1 です。また、それぞれを二乗して足すと 1/2 + 1/2 = 1 で、半径1の上半円上にあります。

3. 左右対称に移すと、横座標だけが反対になります。

(8, 15) → (-8, 15)
sin(180度 - β) = 15/17
cos(180度 - β) = -8/17
tan(180度 - β) = 15/(-8) = -15/8

答えは点が (-8, 15)、比が順に 15/17、-8/17、-15/8 です。元の点について 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17² です。移した点も横座標の二乗が変わらず、半径17の上半円上にあります。縦座標が正で横座標が負なので、補角の位置と比も一致します。

4. 鋭角 γ に対応する半径5の点の横座標を4とおき、高さを y とします。y は正です。

y² + 4² = 5²
y² = 25 - 16
y² = 9
y = 3
sin γ = 3/5
sin(180度 - γ) = 3/5
cos(180度 - γ) = -4/5
sin(180度 - γ) - cos(180度 - γ) = 3/5 - (-4/5)
                                      = 7/5

答えは 7/5 です。左側の点を (-4, 3) とすると、半径は 3² + 4² = 5² を満たし、右側へ戻した横座標から cos γ = 4/5 を復元できます。負の余弦を引くため、和になる点にも注意します。

5. ε = 180度 − δ とすると、ε は鋭角です。補角の正接の関係から、

tan δ = -tan ε
-5/12 = -tan ε
tan ε = 5/12

鋭角 ε の直角三角形で、対辺を5、隣辺を12とすると、斜辺を k として、

k² = 5² + 12²
k² = 25 + 144
k² = 169
k = 13
sin ε = 5/13
cos ε = 12/13
sin δ = 5/13
cos δ = -12/13

答えは sin δ = 5/13、cos δ = -12/13 です。点 (-12, 5) は左上にあり、δ の範囲に合います。5² + (-12)² = 13² を満たし、(5/13)/(-12/13) = -5/12 と元の正接に戻ります。

手元に残す4行

鋭角 θ と 180度 − θ の点は縦軸について対称です。 sin は同じ値、cos は反対の値になります。 tan は分母が0でなければ反対の値になります。 符号に迷ったら、半円の縦座標と横座標に戻ります。

符号の迷いを見つけるには

3つとも負にした答案では、まず鈍角の点を半円のどこに置いたかを見ます。点が左上にあるのに sin を負としたなら、高さと横の位置の読み分けが課題です。点自体を下に描いたなら、角を正の横軸から上側へ測る約束から確かめます。

個別指導の場では、答えだけでなく、左右の2点の座標と tan の分母を指して説明できるかを確かめます。符号を直した後に sin/cos が tan と一致するかも計算します。補角の対応は、点の高さを残し、横の向きを反転させる操作から導けます。