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高校数学I 対角線で分ける図形の面積—二つの三角形で共有する辺と角を整理して面積を足す｜武蔵野個別指導塾
共有する対角線を余弦定理で求め、両側の角を取り違えずに足し合わせる四角形の面積を考えます。
よくあるのは、高1の高校生が四角形を対角線で分けた後、その左右の三角形に同じ角を使ってしまう場面です。線分は共有していても、線分と接するもう一方の辺は変わります。角を頂点の文字3つで書き、どちら側の面積に使うのか図に戻してみましょう。辺が直接与えられていない場合も、先に一方の三角形で対角線を求めれば、もう一方へ計算を進められます。
どの情報を橋渡しにするか
凸四角形の面積を求める問題では、4辺の長さと2つの角が与えられ、対角線が書かれていないことがあります。例えば、隣り合う2辺とその間の角から対角線を求め、その線分を使って残る三角形の面積を求める形です。先に求める量が最終的な答えでなくても、2つの三角形をつなぐ役割を持ちます。
別の問われ方は、対角線とその両側の角が与えられる場合です。左右の高さをそれぞれ計算してから足す方法と、各三角形に面積公式を使って足す方法が対応します。また、ある面積が指定され、残りの角や辺を逆に求める問題もあります。どの場合も、共有辺、各三角形の内側の角、面積の単位を順に確かめることが出発点です。
対角線の両側にある三角形
凸四角形 ABCD は、4つの内角がいずれも 180°より小さい四角形です。対角線 AC は四角形の内部を通り、四角形を三角形 ABC と三角形 ACD に分けます。2つの三角形は辺 AC を共有し、重なる部分はその線分です。したがって四角形の面積は、2つの面積の和です。
図1のように、AC を共通の底辺と考えると、B と D から直線 AC に下ろした垂線の長さをそれぞれ h₁、h₂ として、面積 S は次のように書けます。垂線の足が線分 AC の外にあっても、底辺を含む直線までの距離が高さです。
S = AC・h₁/2 + AC・h₂/2
= AC・(h₁ + h₂)/2
図1では同じ底辺に対する高さを別々にとっています。たとえば ∠BAC と ∠CAD は、ともに頂点 A にあり辺 AC に接しますが、もう一方の辺はそれぞれ AB と AD です。一方の角の大きさがわかっても、もう一方が同じとは限りません。
一般に、三角形の2辺を p、q、その間の角を θ とすると、面積は pq sin θ/2 です。角が鈍角のときも、底辺の延長に下ろした高さは q sin θ となるので式は使えます。面積に使う角は、掛ける2辺が交わる角です。共有辺 AC と AB を掛けるなら ∠BAC、AC と AD を掛けるなら ∠CAD を選びます。
対角線が未知なら、三角形 ABC の AB、BC とその間の角 ∠ABC がわかるとき、余弦定理で AC を求められます。
AC² = AB² + BC² - 2・AB・BC・cos ∠ABC左辺は長さの二乗なので、正の平方根を対角線の長さとして採用します。その後、もう一方の三角形で必要な辺と角が足りるか確かめます。対角線の長さが出ただけで、必ず面積が決まるとは限りません。共有辺に垂直な高さや、共有辺と他の辺の間の角が不足していれば追加の条件が必要です。
基本例題：共有辺を先に求める
凸四角形 ABCD で、AB = 4 cm、BC = 4 cm、∠ABC = 60°、AD = 6 cm、∠CAD = 30°とします。面積を根号を用いた正確な値で求めてください。
図2のように AC を引き、まず三角形 ABC の余弦定理でその長さを求めます。三角形 ABC は与えられた2辺と間の角から定まり、AC は正です。
AC² = 4² + 4² - 2・4・4・cos 60°
= 16 + 16 - 32・1/2
= 16
AC = 4 cm次に三角形 ABC は、与えられた2辺 AB、BC とその間の角を使います。三角形 ACD は、求めた AC と AD の間の角を使います。
三角形 ABC の面積 = 4・4・sin 60°/2
= 16・(√3/2)/2
= 4√3 cm²
三角形 ACD の面積 = 4・6・sin 30°/2
= 24・(1/2)/2
= 6 cm²
四角形 ABCD の面積 = 4√3 + 6 cm²確認として AC = 4 を余弦定理の元の式に戻すと、左辺 16 と右辺 16 が一致します。三角形 ABC は正三角形なので、AC に対する高さは 2√3 cm です。D の高さは 6 sin 30° = 3 cm です。共通の底辺と高さから計算しても、4・(2√3 + 3)/2 = 4√3 + 6 cm² となります。図の B と D は AC の反対側にあり、A と C の角の和もそれぞれ 180°未満なので、指定の四角形は凸です。
標準例題：共有辺に垂直な高さを使う
凸四角形PQRSで、PQ = 5 cm、QR = 7 cm、∠PQR = 60°、PS = 4 cm、∠RPS = 90°とします。面積を根号を用いて求めてください。
三角形PQRで余弦定理を使います。
PR² = 5² + 7² - 2・5・7・cos 60°
= 25 + 49 - 35
= 39
PR = √39 cm
三角形PQRの面積 = 5・7・(√3/2)/2
= 35√3/4 cm²
三角形PRSの面積 = √39・4・sin 90°/2
= 2√39 cm²
四角形PQRSの面積 = 35√3/4 + 2√39 cm²角QPRの余弦は15/(10√39)で正なので、この角は90°未満です。したがってPの内角も180°未満になります。Rでは、三角形PQRの角は120°未満、三角形PRSの角はPS < PRより45°未満です。和は180°未満で、QとSもそれぞれ60°、90°なので凸の条件を満たします。
PRを底辺とした高さは、Q側が35√3/(2√39) cm、S側が4 cmです。面積を高さから求め直しても、35√3/4 + 2√39 cm²となります。各面積で使う角は、その三角形の2辺が交わる角です。
発展例題：面積から辺を戻す
凸四角形 KLMN で KL = 6 cm、LM = 8 cm、∠KLM = 90°、∠MKN = 30°、四角形の面積が 36 cm² です。KN の長さを求めてください。
まず対角線 KM と三角形 KLM の面積を求めます。直角を挟む2辺がわかっているので、三平方の定理と面積公式を使えます。
KM² = 6² + 8²
= 36 + 64
= 100
KM = 10 cm
三角形 KLM の面積 = 6・8/2
= 24 cm²残る三角形 KMN の面積は、全体から既知の部分を引きます。KN = x cm と置き、KM と KN の間の角を使います。
三角形 KMN の面積 = 36 - 24
= 12 cm²
10・x・sin 30°/2 = 12
10・x・(1/2)/2 = 12
5x/2 = 12
x = 24/5したがって KN = 24/5 cm です。元の条件に戻すと、三角形 KMN の面積は 10・(24/5)・(1/2)/2 = 12 cm² で、24 cm² と合わせて 36 cm² です。長さも正です。∠LKM は鋭角なので、30°を加えても 180°未満です。M 側も、三角形 KMN の M の角は KN が KM より短いため 30°より小さく、三角形 KLM の M の角と足して 180°未満です。凸という条件と矛盾しません。
逆算では、全体の面積から引いた結果が正であることが欠かせません。もし指定された全体の面積が 24 cm² 以下なら、もう一方の三角形の面積が正にならず、この条件の凸四角形は成立しません。未知の辺が正になったことと、四角形の配置が条件に合うことを両方確認します。
角の取り違えを直す
基本例題で、三角形 ACD の面積を 4・6・sin 60°/2 とする誤答を考えます。4 と 6 は AC と AD なので、その間の角は ∠CAD です。60°は B にある ∠ABC であり、AC と AD の間の角ではありません。図3のように、式に使う2辺を先にたどると、交点 A の角を選べます。
図3では角の位置を見比べます。正しい式は 4・6・sin 30°/2 = 6 cm² です。誤った式の値は 6√3 cm² となり、D から AC への高さを 6 sin 60°とすることに相当します。しかし指定された高さは 6 sin 30° = 3 cm です。高さに戻すと、どの角を使ったかを式とは別の形で確認できます。
もう一つの誤りは、対角線の両側の面積を引くことです。凸四角形の内部は2つの三角形に分かれるので、面積は足します。引き算を使うのは、全体の面積から既知の三角形の面積を取り除いて残りを求めるときです。図に斜線を入れて、求めたい領域が和なのか残りなのかを確かめてください。
練習問題
次の四角形はいずれも凸で、指定の対角線の両側に残る2頂点があります。面積は根号を含む正確な値で、長さは分数または整数で答えてください。
- 四角形 EFGH で EF = 3 cm、FG = 3 cm、∠EFG = 60°、EH = 3 cm、∠GEH = 30°です。面積を求めてください。
- 四角形 ABCD で AB = 3 cm、BC = 4 cm、∠ABC = 90°、AD = 2 cm、∠CAD = 90°です。面積を求めてください。
- 四角形 PQRS で PQ = 4 cm、QR = 6 cm、∠PQR = 60°、PS = 3 cm、∠RPS = 90°です。面積を求めてください。
- 四角形 WXYZ で WX = 5 cm、XY = 12 cm、∠WXY = 90°、∠YWZ = 30°、全体の面積が 43 cm² です。WZ を求めてください。
- 四角形 ABCD の対角線 AC = 10 cm、AB = 4 cm、AD = 6 cm、∠BAC = 30°、∠CAD = 90°です。面積を求めてください。
練習の答えと確かめ
- 余弦定理と2つの面積公式を使います。
EG² = 3² + 3² - 2・3・3・cos 60°
= 18 - 9
= 9
EG = 3 cm
三角形 EFG の面積 = 3・3・(√3/2)/2
= 9√3/4 cm²
三角形 EGH の面積 = 3・3・(1/2)/2
= 9/4 cm²
四角形の面積 = 9√3/4 + 9/4 cm²EG² = 9 を元の式に戻せます。EG を底辺にすると2つの高さはそれぞれ 3√3/2 cm と 3/2 cm で、面積の和も同じです。
- 対角線は直角三角形から求まります。
AC² = 3² + 4²
= 25
AC = 5 cm
三角形 ABC の面積 = 3・4/2
= 6 cm²
三角形 ACD の面積 = 5・2・sin 90°/2
= 5 cm²
四角形の面積 = 6 + 5
= 11 cm²5² = 3² + 4² で、面積を高さに戻しても AC に対する高さは 12/5 cm と 2 cm です。5・(12/5 + 2)/2 = 11 cm² です。
- 対角線を求め、各三角形の間の角を使います。
PR² = 4² + 6² - 2・4・6・cos 60°
= 16 + 36 - 24
= 28
PR = 2√7 cm
三角形 PQR の面積 = 4・6・(√3/2)/2
= 6√3 cm²
三角形 PRS の面積 = 2√7・3・1/2
= 3√7 cm²
四角形の面積 = 6√3 + 3√7 cm²(2√7)² = 28 で余弦定理に戻ります。PS からの高さは 3 cm で、PR を底辺にした面積は 3√7 cm² です。
- 全体から既知の三角形を引き、WZ = x cm とします。
WY² = 5² + 12²
= 169
WY = 13 cm
三角形 WXY の面積 = 5・12/2
= 30 cm²
三角形 WYZ の面積 = 43 - 30
= 13 cm²
13・x・(1/2)/2 = 13
13x/4 = 13
x = 4答えは WZ = 4 cm です。13² = 5² + 12²、また 13・4・(1/2)/2 = 13 cm² なので、全体は 30 + 13 = 43 cm² に戻ります。
- 共通の底辺とそれぞれの角を使います。
三角形 ABC の面積 = 10・4・(1/2)/2
= 10 cm²
三角形 ACD の面積 = 10・6・1/2
= 30 cm²
四角形の面積 = 10 + 30
= 40 cm²AC に対する高さは 4 sin 30° = 2 cm と 6 sin 90° = 6 cm です。10・(2 + 6)/2 = 40 cm² となり、元の辺と角に合います。
手元に残す要点
- 凸四角形は対角線で2つの三角形に分け、面積を足します。
- 対角線が未知なら、片側の三角形で余弦定理を検討します。
- 面積公式の角は、掛ける2辺の間にある角です。
- 求めた長さと面積を元の条件に戻し、正の値と配置を確かめます。
図と式を照らすとき
式が立たないときは、まず対角線を色分けし、その両側に三角形の名前を書いてみてください。共有辺の長さが決まっているか、各三角形で使う角が与えられているかを別々に確かめます。数字が足りないときは、公式を増やす前に、どの高さが未確定かを図に示すと不足が見えます。
個別指導で確認するなら、書いた式の2辺を図で指し、その交点の角を言葉にするところから始められます。余弦定理の後は、正の平方根を選んだ理由と、求めた対角線を元の三角形に戻した計算を確かめます。2つの面積を足す理由を領域の図で説明できれば、違う配置でも自分で式を選べます。共有する線分を手がかりに、それぞれの三角形の条件を読み取ります。
読んで終わりにするか、ここから変えるか。
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