高校数学I 角錐の高さと体積—底面への垂線を特定して側辺と三角比から体積へ進む｜武蔵野個別指導塾

底面中心から頂点までの距離と側辺を使って角錐の高さを求め、体積へ進みます。側面の高さとの取り違えも図で確かめます。

よくあるのは、高1の高校生が側面の高さを角錐の高さとして体積に使う場面です。斜めの三角形に垂直な線が見えると、そのまま底面積に掛けたくなります。しかし、体積に必要なのは頂点から底面を含む平面までの垂直な距離です。線分の両端と直角の相手を確かめると、見取り図の中から必要な直角三角形を選べます。

どの長さから始めるか

正四角錐の底面の一辺と側辺が与えられ、高さや体積を求める問題があります。正三角錐なら、正三角形の中心から頂点までの距離を先に求める必要があります。側辺と底面のなす角が与えられる場合には、側辺を斜辺とする直角三角形で三角比を使えます。

逆に体積から側辺を求める場合もあります。このときは底面積から高さを戻し、底面内の距離と三平方の定理を組み合わせます。どちらの向きでも、底面の中心に垂線の足があることを確認してから式を選びます。ここでは正四角錐と正三角錐を扱い、二面角は扱いません。

底面と垂線で断面を選ぶ

角錐の体積は、底面積を S、高さを h とすると S・h/3 です。高さは頂点から底面を含む平面に下ろした垂線の長さです。底面が水平に描かれていなくても、底面に垂直かどうかで決まります。

正四角錐は底面が正方形で、頂点から底面への垂線の足が正方形の中心にある角錐です。正三角錐は底面が正三角形で、垂線の足がその中心にある角錐です。以下、頂点を P、底面の中心を O、底面の頂点の1つを A とします。PO は底面の平面に垂直なので、その平面内の OA にも垂直です。したがって三角形 POA は O が直角で、PA が斜辺です。

図1のように、見取り図の P、O、A を通る断面を取り出すと、長さと角の対応を追いやすくなります。左の立体は投影した見取り図で、描かれた角や長さを直接測る図ではありません。右は直角を保って描いた断面です。

図1の PO は角錐の高さで、PA は側辺です。角 PAO は側辺 PA とその底面への射影 AO がなす角です。側辺と底面のなす角として指定された場合、この角を用います。角 PAO を θ とすると、直角三角形の定義から次が成り立ちます。

sin θ = PO/PA
cos θ = OA/PA
tan θ = PO/OA

長さが正であることを前提に、与えられた量に合わせて式を選びます。側辺と角が既知なら PO = PA・sin θ です。底面の中心から頂点までの長さと角が既知なら PO = OA・tan θ です。角の位置が P 側に指定されている場合は、対辺と隣辺が入れ替わるため、その角を基準に式を書き直します。

底面が一辺 a の正方形なら、対角線は三平方の定理から a√2 です。中心は対角線の中点なので OA = a√2/2 です。一辺 a の正三角形では、頂点から対辺の中点に引いた線の長さは a√3/2 です。中心はその線を頂点側から 2 : 1 に分けるので、中心から頂点までの距離は a√3/3 です。これらは底面内の距離であって、角錐の高さではありません。

側辺の長さから高さを求めるときは、平方根の中身も条件の一部です。PA が OA より大きければ PO² = PA² − OA² は正で、正の高さを持つ角錐が作れます。等しいと高さが 0 となって底面に頂点が重なり、角錐になりません。PA が OA より小さいと平方根の中身が負になり、指定された長さでは直角三角形を作れません。例えば OA が 5 cm のとき側辺が 4 cm なら、斜辺が他の辺より短いという矛盾が生じます。計算を続ける前に条件を点検すると、このような成立しない設定を見分けられます。等号の場合も正の体積を持たないため、答えに含めません。

側面の高さにも注意します。正四角錐の底辺の中点を M とすると、PM は側面の三角形では底辺に垂直です。しかし PM は底面の平面には垂直ではありません。三角形 POM は O が直角で、PM はその斜辺なので PO より長くなります。側面積に必要な高さと体積に必要な高さは、目的に応じて選びます。

基本例題：側辺と角から高さへ

底面の一辺が 6 cm の正四角錐 P-ABCD で、底面の中心を O とします。側辺 PA と底面のなす角が 45度です。角錐の高さと体積を、根号を含む正確な値と単位で求めてください。

図2のように、底面の対角線の半分が OA です。立体は投影図、右側は計算に用いる正確な直角断面です。図2の角 PAO を使い、底面内の距離から PO を求めます。

底面の対角線と OA は次のようになります。

AC = √(6² + 6²)
   = 6√2
OA = AC/2
   = 3√2

PO は底面に垂直なので、三角形 POA は O が直角です。角 PAO = 45度、tan 45度 = 1 より、

tan 45度 = PO/OA
1 = PO/(3√2)
PO = 3√2 cm

底面積と体積は順に次の通りです。

S = 6・6
  = 36 cm²
V = 36・3√2/3
  = 36√2 cm³

答えは高さ 3√2 cm、体積 36√2 cm³ です。PO/OA = 1 なので 45度という条件に戻ります。また、求めた高さと底面積から体積を計算し直すと同じ値です。側辺は三平方の定理により 6 cm となり、各辺は正です。

標準例題：正三角形の中心を使う

底面の一辺が 12 cm、側辺が 10 cm の正三角錐があります。高さと体積を根号を含む正確な値と単位で求めてください。

底面の頂点を A、他の2頂点を B、C、底面の中心を O、BC の中点を M とします。正三角形の高さ AM は、直角三角形 ABM から求まります。

BM = 12/2
   = 6 cm
AM = √(12² - 6²)
   = √108
   = 6√3 cm
OA = (2/3)・6√3
   = 4√3 cm

側辺 PA = 10 cm を斜辺とする直角三角形 POA で、高さ PO は次の通りです。側辺の二乗 100 は OA の二乗 48 より大きく、正の高さが存在します。

PO² = PA² - OA²
    = 100 - 48
    = 52
PO = 2√13 cm

底面積は底辺 BC と高さ AM から計算します。

S = 12・6√3/2
  = 36√3 cm²
V = 36√3・2√13/3
  = 24√39 cm³

高さは 2√13 cm、体積は 24√39 cm³ です。逆に (2√13)² + (4√3)² = 100 なので側辺は 10 cm に戻ります。底面の高さ 6√3 cm を角錐の高さと混同せず、どちらの平面内の線かを言葉で確認します。

発展例題：体積から側辺を戻す

底面の一辺が 8 cm、体積が 64 cm³ の正四角錐があります。側辺の長さを根号を含む正確な値と単位で求めてください。

底面の中心を O、頂点を P、底面の頂点の1つを A とします。まず体積から高さ h を求めます。

S = 8・8
  = 64 cm²
64 = 64・h/3
h = 3 cm

底面の対角線の半分と、直角三角形 POA の斜辺を順に求めます。

OA = 8√2/2
   = 4√2 cm
PA² = PO² + OA²
    = 3² + (4√2)²
    = 41
PA = √41 cm

長さは正なので答えは √41 cm です。側辺と中心までの距離から高さを戻すと √(41 − 32) = 3 cm です。さらに 64・3/3 = 64 cm³ となり、体積の条件にも戻ります。高さを先に戻せば、側辺の候補に負の値を採る必要はありません。

間違いを図の中で直す

一辺 6 cm、高さ 4 cm の正四角錐で、側面の高さをそのまま 5 cm として、体積を 36・5/3 = 60 cm³ とする誤答を考えます。底面の辺の中点 M と中心 O の距離は 3 cm なので、三角形 POM の斜辺 PM は 5 cm です。5 cm という側面の高さ自体は正しい値です。

図3のように PM と PO を同じ断面で比べると、PM が斜めで PO が底面への垂線だと確認できます。図3の右側はその直角断面です。体積の式には PO を使うので、正しくは 36・4/3 = 48 cm³ です。

誤りの原因は「どこに垂直か」を省いたことです。PM は底面の一辺に垂直ですが、底面の平面には垂直ではありません。側面の面積を求めるなら PM を使えます。体積なら PO を使い、式の h が指す線分を先に図へ書き込みます。

側辺を高さにしてしまう場合も同じ点検が有効です。側辺 PA は直角三角形 POA の斜辺なので、高さ PO より長くなります。計算した高さが側辺以上になったら、比の分子と分母、あるいは引き算の順を調べます。長さが一致する退化した配置は、正の底面をもつ角錐の条件から外れます。

練習：異なる条件から高さを探す

次の5問はそれぞれ独立した正の長さをもつ角錐です。答えは根号を含む正確な値と単位で表してください。

1. 底面の一辺が 4 cm、側辺と底面のなす角が 45度の正四角錐の高さと体積を求めてください。
2. 底面の一辺が 10 cm、高さが 12 cm の正四角錐の側辺と体積を求めてください。
3. 底面の一辺が 6 cm、側辺が 4 cm の正三角錐の高さと体積を求めてください。
4. 底面の一辺が 6√2 cm、側辺が 10 cm の正四角錐の高さと体積を求めてください。
5. 底面の一辺が 9 cm、体積が 54√3 cm³ の正三角錐の高さと側辺を求めてください。

練習の答えと道筋

1. 底面中心から頂点までの距離を r、高さを h とします。角は底面への射影と側辺の間にあります。

r = 4√2/2
  = 2√2 cm
h = r・tan 45度
  = 2√2 cm
V = 4²・2√2/3
  = 32√2/3 cm³

答えは高さ 2√2 cm、体積 32√2/3 cm³ です。h/r = 1 から角は 45度に戻り、底面積と高さを掛け直して体積も確かめられます。

2. 底面中心から頂点までの距離を r、側辺を l とします。

r = 10√2/2
  = 5√2 cm
l² = 12² + (5√2)²
   = 194
l = √194 cm
V = 10²・12/3
  = 400 cm³

答えは側辺 √194 cm、体積 400 cm³ です。側辺から高さを戻すと √(194 − 50) = 12 cm となり、与えられた高さに一致します。

3. 正三角形の中心から頂点までの距離を r とします。

r = 6√3/3
  = 2√3 cm
h² = 4² - (2√3)²
   = 4
h = 2 cm
S = 6²√3/4
  = 9√3 cm²
V = 9√3・2/3
  = 6√3 cm³

答えは高さ 2 cm、体積 6√3 cm³ です。h² + r² = 4 + 12 = 16 から、側辺 4 cm に戻ります。平方根の中が正なので高さも正です。

4. 正方形の中心から頂点までの距離と高さを求めます。

r = 6√2・√2/2
  = 6 cm
h² = 10² - 6²
   = 64
h = 8 cm
S = (6√2)²
  = 72 cm²
V = 72・8/3
  = 192 cm³

答えは高さ 8 cm、体積 192 cm³ です。8² + 6² = 100 なので側辺は 10 cm に戻ります。底面積を 36 cm² としないよう、一辺全体を二乗します。

5. 底面積と中心から頂点までの距離を先に計算します。

S = 9²√3/4
  = 81√3/4 cm²
r = 9√3/3
  = 3√3 cm
54√3 = (81√3/4)・h/3
h = 8 cm
l² = 8² + (3√3)²
   = 91
l = √91 cm

答えは高さ 8 cm、側辺 √91 cm です。側辺と r から高さを戻すと √(91 − 27) = 8 cm です。底面積とこの高さから体積も 54√3 cm³ に戻ります。

手元に残すこと

底面への垂線の足を中心 O として示します。 側辺と OA と高さで直角三角形を作ります。 底面積と垂直な高さを掛け、3で割ります。 側面の高さを使う前に垂直な相手を確かめます。

図から式へのつまずきを見分ける

高さを選べないときは、まず底面を色分けし、頂点からその平面に垂直な線を指でたどります。次に底面中心と底面の頂点を結び、側辺を加えた3本が直角三角形を作ることを確認します。三角比が逆になるときは、基準の角に印を付け、斜辺とその角の向かいの辺を名前で書いてから数値を代入します。

個別指導の場では、完成した式だけでなく、垂線の足をどこに置いたかと、底面内の距離をどう求めたかを図で確かめられます。側面の高さを選んだ場合も、直角になる相手を説明すると修正の位置が見えます。底面と高さを結ぶ1本の垂線が、体積への道筋を定めます。