高校数学I 仰角から高さを求める測量—水平距離と観測点の高さを図に分けて立式する｜武蔵野個別指導塾

水平距離と仰角から目線の高さを戻し、地面からの高さを求める手順をたどる仰角の測量です。

よくあるのは、高1の高校生が建物の頂点を見上げ、三角比で出した長さをそのまま建物の高さと答える場面です。計算した長さが目線より上の部分なら、地面から目線までの高さが残っています。観測する人と建物の足元が同じ水平面にあるという条件を図に書き、どの高さを求めたかを最後まで追いかけましょう。

観測の条件を読む

問題には、水平距離と仰角から高さを求める形があります。目線の高さが与えられる場合は、三角比で出る高さにそれを足します。逆に、全体の高さが既知で距離を求める場合は、まず目線の高さを引きます。

斜めに見た距離が与えられる形もあります。水平距離とは別の辺なので、どちらが既知かに応じて使う比を選びます。また、根号を含む正確な値を求めるのか、小数で近似するのかによって最後の書き方も変わります。

高校数学Iの図形と計量では、三角比を日常の問題に活用する範囲が扱われます。ここでは観測点が1か所の高さの問題に絞り、地面は水平、対象は鉛直とします。水平でない地面や観測誤差の大きさを求めるには別の情報が必要です。

目線を通る水平線を引く

地面上の観測者の足元を A、目を P、対象の足元を B、頂点を T とします。A と B は水平な地面上にあり、AP と BT は鉛直です。P を通る水平線と BT の交点を Q とすると、PQ は AB と等しく、BQ は AP と等しくなります。三角形 PQT は Q で直角です。

図1のように、仰角 θ は水平線 PQ から視線 PT までの角です。地面の線と視線が直接交わる角と読み違えないようにします。水平距離を d、目線から頂点までの高さを h、目線の高さを e、全体の高さを H とすると、直角三角形の定義より次の関係です。

tan θ = h/d
h = d tan θ
H = e + h

d は正で、頂点が目線より上にあるので θ は 0度より大きく 90度より小さい角です。この条件では tan θ は正です。比の分母は水平距離であり、視線の長さではありません。斜めの距離を分母にすると正接ではなく正弦の関係になります。

高さを足す理由は、線分 BT が BQ と QT に分かれるからです。計算結果が QT なのか BT なのか、式の横に名前を書くと違いが残ります。観測者の目が地面にある設定なら e = 0 なので足す量はありませんが、通常の目線の高さを勝手に 0 としてはいけません。

条件が足りるかを先に確かめる

立式を始める前に、距離がどこからどこまでかを読みます。観測者の足元から対象の足元までの水平距離が与えられ、両方が同じ高さの地面にあるとき、目線から対象へ引いた水平線の長さもその距離になります。地面に傾きがある場合は、この等しさも、対象上の水平線までの高さが目線の高さと等しいことも、そのまま使えません。傾きや高低差が示されなければ、同じ式で答えを確定できません。

目線から頂点までの視線の長さが与えられても、地面からの高さを出すには目線の高さが必要です。たとえば視線と仰角が同じでも、観測者の目の位置が高ければ、水平線より上の三角形を保ったまま対象全体の高さは変わります。高さの差が求まることと地面からの高さが決まることは別です。

また、仰角が 0度なら頂点は目線と同じ高さで、見上げる直角三角形はつぶれます。90度なら水平距離が正の図としては表せず、正接の式の分母も扱えません。頂点が目線より下なら見下ろす角の条件が必要です。図と条件が食い違うときは、数字を式に代入して答えを作る前に立ち止まります。

近似値の指定がない根号の計算では、分母の有理化をしてから足すと見通しがよくなります。√3 は正なので 1/√3 = √3/3 です。小数による確認は大きさの見当をつける手段として使い、厳密な等式は根号のまま確認します。

距離を求める逆向きの問題でも、正接は対辺を隣辺で割った比です。未知数が分母にある式は、両辺に正の水平距離を掛けてから解きます。最後に求めた距離を元の比に戻せば、割る順序の取り違えを点検できます。

基本例題：目線より上の長さを出す

水平な広場で、柱の足元から水平距離 12 m の地点に立ちます。目線の高さは 1.5 m、柱の頂点の仰角は 45度です。柱は鉛直とします。柱の高さを m 単位で求めてください。

図2の水平線を基準に、目線から頂点までの高さを h m とします。tan 45度 = 1 なので、順に計算します。

tan 45度 = h/12
1 = h/12
h = 12
柱の高さ = 1.5 + 12
柱の高さ = 13.5 m

答えは 13.5 m です。戻して確かめると、目線より上は 13.5 − 1.5 = 12 m です。水平距離 12 m で割ると 1 になり、45度の正接に一致します。目線の高さも戻して初めて地面からの高さになります。

標準例題：根号のまま高さを残す

水平な地面に鉛直な旗柱が立っています。足元から水平距離 9 m の地点で、地面から 1.2 m の目線から頂点を見た仰角が 30度でした。旗柱の高さを根号を用いた正確な値で、m 単位で求めてください。

目線より上の部分を h m と置きます。30度の正接は 1/√3 = √3/3 です。水平距離を掛けてから目線の高さを加えます。

tan 30度 = h/9
√3/3 = h/9
h = 9・√3/3
h = 3√3
旗柱の高さ = 1.2 + 3√3 m

目線から頂点までの長さは正で、与えられた視線の向きに合います。答えから 1.2 m を引けば 3√3 m、これを 9 m で割れば √3/3 です。したがって元の 30度の条件に戻ります。途中で √3 を小数に置き換えないので、指定された正確な値が保たれます。

発展例題：視線の長さから水平距離へ

水平な地面に鉛直な塔があります。目線の高さが 1.8 m の地点から頂点を見たところ、仰角は 60度、目から頂点までの直線距離は 8 m でした。塔の高さと足元までの水平距離を、それぞれ根号を用いた正確な値で m 単位で求めてください。

視線は直角三角形の斜辺です。目線より上の高さを h m、水平距離を d m とすると、正弦と余弦を使えます。sin 60度 = √3/2、cos 60度 = 1/2 です。

sin 60度 = h/8
√3/2 = h/8
h = 4√3
cos 60度 = d/8
1/2 = d/8
d = 4
塔の高さ = 1.8 + 4√3 m

答えは高さが 1.8 + 4√3 m、水平距離が 4 m です。高さから目線の 1.8 m を引くと 4√3 m です。これと水平距離を使えば (4√3)² + 4² = 48 + 16 = 64 となり、斜辺は正の長さ 8 m に戻ります。さらに高さと水平距離の比は √3 で、60度の正接と一致します。

この例で 8 m を水平距離にして tan 60度 を掛けると、斜辺を別の辺と取り違えます。斜めの線に数字を書き、その線が直角の向かい側にあることを先に確認してください。正接を使いたければ、余弦で求めた水平距離 4 m に掛けても同じ高さ 4√3 m が得られます。

目線を足し忘れた答案を直す

基本例題で「12 tan 45度 = 12 より、柱の高さは 12 m」と答えたとします。掛け算そのものは合っていますが、12 m は目線を通る水平線から柱の頂点までです。柱の足元からその水平線までの 1.5 m が含まれていません。

図3のように柱を上下に分けると、求めた 12 m の下に 1.5 m が残っています。修正するには、12 + 1.5 = 13.5 m とします。答えから目線の高さを引いて仰角が元に戻るかを調べると、この忘れ物を見つけられます。

反対に、全体の高さから水平距離を求める問題で目線の高さを足すのも誤りです。その場合は、まず全体から目線までを引いて直角三角形の対辺を出します。足すか引くかは暗記で選ばず、地面から頂点までの線分のどの部分を持っているかで決めます。

単位にも注意します。目線の高さが cm、距離が m なら、足す前に同じ単位へ直します。たとえば 160 cm は 1.6 m です。160 をそのまま m の値に足しても、長さの単位がそろっていないので正しい合計になりません。

小数の近似では、途中の値を早く丸めると最後の位が変わることがあります。指定された近似値を計算の最後に用い、答えを指定の位へ丸めます。正確な根号の答えを求められたときは、近似値を答えに置き換えません。

練習問題

いずれも地面は水平、対象は鉛直で、観測する目は地面より上にあります。足元までの距離は水平距離です。問題をまとめて解き、解答と照合してください。

1. 街灯の足元から 7 m の地点で、地面から 1.4 m の目線から頂点を見た仰角は 45度です。街灯の高さを m 単位で求めてください。
2. 標識の足元から 6 m の地点で、地面から 1.6 m の目線から頂点を見た仰角は 60度です。高さを根号を用いた正確な値で m 単位で求めてください。
3. 高さ 5.2 m の鉛直な壁の上端を、地面から 1.2 m の目線で見上げると仰角が 45度でした。壁の足元までの水平距離を m 単位で求めてください。
4. 木の頂点までの視線の長さが 10 m、仰角が 30度、目線の高さが 1.3 m です。木の高さと足元までの水平距離を、根号を用いた正確な値で m 単位で求めてください。
5. 柱の足元から水平距離 8 m の地点で、地面から 150 cm の目線で頂点を見上げた仰角が 30度です。√3 = 1.732 として計算し、柱の高さを m 単位で小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求めてください。

練習問題の解答

1. 目線より上の高さを h m とします。

tan 45度 = h/7
1 = h/7
h = 7
街灯の高さ = 1.4 + 7
街灯の高さ = 8.4 m

8.4 − 1.4 = 7 m であり、水平距離 7 m との比は 1 です。元の仰角 45度に合います。

2. 目線より上の高さを h m とします。

tan 60度 = h/6
√3 = h/6
h = 6√3
標識の高さ = 1.6 + 6√3 m

答えから 1.6 m を引いて 6 m で割ると √3 です。これは 60度の正接なので、元の観測条件に戻ります。

3. 壁の上端と目線の高さの差を h m、水平距離を d m とします。地面からの高さをそのまま対辺にしないことが要点です。

h = 5.2 - 1.2
h = 4
tan 45度 = 4/d
1 = 4/d
d = 4 m

距離 4 m と高さの差 4 m の比は 1 です。目線の 1.2 m を戻すと壁の高さ 5.2 m も再現します。

4. 目線から頂点までを h m、水平距離を d m とします。視線の 10 m は斜辺です。

sin 30度 = h/10
1/2 = h/10
h = 5
cos 30度 = d/10
√3/2 = d/10
d = 5√3
木の高さ = 1.3 + 5
木の高さ = 6.3 m

答えは高さ 6.3 m、水平距離 5√3 m です。高さの差は 5 m で、5² + (5√3)² = 100 です。斜辺は 10 m に戻り、対辺を斜辺で割ると 1/2 なので仰角も 30度です。

5. 目線の高さを先に m に直します。目線より上の高さを h m とします。

150 cm = 1.5 m
tan 30度 = h/8
√3/3 = h/8
h = 8√3/3
柱の高さ = 1.5 + 8√3/3
柱の高さ ≒ 1.5 + 8・1.732/3
柱の高さ ≒ 6.1186...
柱の高さ ≒ 6.1 m

丸める前の高さから 1.5 m を引き、8 m で割ると √3/3 です。これは 30度の正接に一致します。6.1 m は指定された近似値を使った後に丸めた値です。

手元に残す要点

水平距離は視線の長さと区別します。
仰角は目線を通る水平線から測ります。
正接で出るのは目線より上の高さです。
地面からの高さには目線の高さを戻します。
近似は単位をそろえ、指定の位で行います。

式と図を見直すとき

答えが合わないときは、まず図の直角がどこにあるかを指でたどります。次に、式の分母が水平距離なのか視線なのかを調べます。最後に、求めた線分の両端を読み、地面からの高さとの差を確認します。

個別指導で確認するなら、完成した式を見せる前に、目線の水平線と仰角を図に書いて説明してみてください。講師と一緒に、三角比に入れた辺と最後に足した辺を別々にたどれば、計算の誤りと図の読み違いを区別できます。高さを上下に分けて戻すと、仰角の式が地面からの高さにつながります。