高校数学I 三角比の相互関係—二乗の関係と角の範囲から残りの値の符号を選ぶ｜武蔵野個別指導塾

正弦から余弦の候補を出し、鈍角という条件で負の値を選びます。二乗の計算と半円上の位置を照合することで、正接の符号まで確かめられます。

よくあるのは、高1の高校生が三角比の二乗を求めた後、平方根を正の値に決めてしまう場面です。計算の途中までは合っていても、角が鈍角という条件を落とすと、半円の反対側の点を選んでしまいます。符号を決める場所を式の中に残し、最後に元の条件へ戻す練習をしましょう。

どこで選択が必要になるか

1つ目は、sin θ が与えられ、cos θ と tan θ を求める問いです。二乗の関係から cos² θ は定まりますが、そこから cos θ に戻す際には正負を調べます。鋭角か鈍角かが与えられなければ、答えが2通りになる場合があります。

2つ目は、cos θ や tan θ から残りの比を求める問いです。正接には商の形があるため、分母の cos θ が0でないことが必要です。特に90度を含む範囲では、公式へ代入する前に分母を確認します。

3つ目は、提示された値と範囲が両立するかを調べる問いです。二乗が負になったり、鈍角なのに余弦が正になったりする条件は実現しません。無理に根号を付けるのではなく、どの条件が食い違うかまで書きます。

半円の座標から符号を読む

0度以上180度以下の角 θ に対し、原点 O を中心とする半径1の上半円を考えます。正の横軸から θ だけ回った半径の先を P(x, y) とすると、cos θ = x、sin θ = y です。半円上の点なので x² + y² = 1 です。これに座標を戻すと、次の関係が得られます。

sin² θ + cos² θ = 1

ここで sin² θ は (sin θ)² を表します。これはそれぞれの値を二乗して足す関係であり、sin θ + cos θ = 1 という意味ではありません。座標の長さから得られた式なので、端の0度、90度、180度でも成り立ちます。

cos θ が0でない場合には、正接を座標の商で定義し、次の関係を使えます。

tan θ = sin θ / cos θ

図1のように、上半円では縦座標は負になりません。横座標は90度より左側、つまり鈍角側で負になります。図1を見ながら、角の範囲と符号を対応させます。

0度より大きく90度より小さいとき、sin θ と cos θ はともに正で、tan θ も正です。90度より大きく180度より小さいとき、sin θ は正、cos θ は負なので、tan θ は負です。0度と180度では sin θ = 0、90度では cos θ = 0 です。90度の正接は0ではなく、0で割れないため定義されません。

二乗の式は符号を消します。例えば u² = 9/25 からは u = 3/5 と u = -3/5 の両方が候補です。平方根の記号 √(9/25) 自体は正の3/5を表すので、負の候補は -√(9/25) と書きます。どちらを採るかは二乗の式だけでなく、角の範囲を使って決めます。

基本例題：鈍角の余弦を選ぶ

90度 < θ < 180度、sin θ = 5/13 とします。cos θ と tan θ を分数で求めてください。

図2のように、半径13の半円で縦座標を5とみると、横座標の絶対値を三平方の関係で確かめられます。図2では点が左側にあるので横座標は負です。半径1に縮めた比が求める三角比です。

二乗の関係に与えられた値を代入します。

sin² θ + cos² θ = 1
(5/13)² + cos² θ = 1
cos² θ = 1 - 25/169
cos² θ = 144/169
cos θ = ±12/13

θ は鈍角なので横座標は負です。したがって cos θ = -12/13 と選びます。この値は0でないため、商の関係を使えます。

tan θ = sin θ / cos θ
       = (5/13) / (-12/13)
       = -5/12

答えは cos θ = -12/13、tan θ = -5/12 です。戻して確かめると、25/169 + 144/169 = 1 で、商は -5/12 です。さらに半径13、縦5、横 -12 の点は左上にあるため、鈍角という元の条件にも合います。二乗の式だけでは右上の点も通るので、この位置の確認が欠かせません。

標準例題：範囲が両側に広がる場合

0度 < θ < 180度、sin θ = 8/17 とします。cos θ と tan θ の組をすべて分数で求めてください。

正弦は正なので、上半円の点は横軸より上です。ただし、正弦の値だけでは点が左右のどちらにあるか決まりません。まず二乗を計算します。

cos² θ = 1 - sin² θ
       = 1 - (8/17)²
       = 1 - 64/289
       = 225/289
cos θ = ±15/17

正の場合、商の分母は0でなく、次の値です。

tan θ = (8/17) / (15/17)
       = 8/15

負の場合も分母は0でなく、次の値です。

tan θ = (8/17) / (-15/17)
       = -8/15

よって (cos θ, tan θ) は (15/17, 8/15)、(-15/17, -8/15) の2組です。横座標が正なら鋭角、負なら鈍角で、どちらも問題の範囲に入ります。各組について 64/289 + 225/289 = 1 であり、商もそれぞれの正接に戻ります。半径17、縦8、横が15または -15 の点はともに上半円上にあり、指定された正弦を満たします。

範囲が 90度 < θ < 180度 に変更されたなら、正の余弦を持つ組は条件外です。反対に範囲が指定されず、別の範囲を勝手に想定した場合には、この2組という結論をそのまま使えません。問題文に書かれた範囲を先に線で囲んでおくと、候補を落としにくくなります。

発展例題：正接から戻る

90度 < θ < 180度、tan θ = -7/24 とします。sin θ と cos θ を分数で求めてください。

鈍角なので sin θ は正、cos θ は負です。また正接が定義されているので cos θ は0ではありません。商の関係から、sin θ を cos θ で表します。

sin θ / cos θ = -7/24
sin θ = (-7/24)cos θ

これを二乗の関係に代入します。負号は二乗で消えますが、元の式には残しておきます。

{(-7/24)cos θ}² + cos² θ = 1
(49/576)cos² θ + cos² θ = 1
(625/576)cos² θ = 1
cos² θ = 576/625
cos θ = ±24/25

鈍角では cos θ < 0 なので、cos θ = -24/25 です。元の商の式へ戻すと、次のようになります。

sin θ = (-7/24)cos θ
      = (-7/24)(-24/25)
      = 7/25

答えは sin θ = 7/25、cos θ = -24/25 です。二乗の和は 49/625 + 576/625 = 1、商は (7/25) / (-24/25) = -7/24 です。縦が正、横が負の点は鈍角側にあり、与えられた範囲と正接をともに満たします。

途中で cos θ = 24/25 を採ると、元の商から sin θ = -7/25 となり、上半円の条件に反します。二乗の式を満たすだけでは足りず、二乗前の式と符号へ戻すことが必要です。正接の負号を余弦だけに移してよい理由も、正弦が正だと範囲から確認して初めて説明できます。

間違いの位置を図に戻す

基本例題で cos² θ = 144/169 までは正しく求めたのに、cos θ = 12/13 とだけ書いたとします。正の平方根を取る計算自体は候補の1つを与えていますが、元の問題では θ が鈍角です。その候補の点は半円の右側にあり、条件を満たしません。

図3のように、同じ高さの左右の点は二乗の関係を両方満たします。図3で右の点を消す根拠は式の計算ではなく、鈍角という条件です。

直すときは、まず cos θ = ±12/13 と候補を残します。次に「鈍角だから cos θ < 0」と書き、負の値を選びます。正接まで進むなら、選んだ値が0でないことを確かめてから割ります。

別の誤りは、90度で sin θ = 1、cos θ = 0 だから tan θ = 0 とすることです。分母が0の商は定義されません。分子が0の場合と分母が0の場合は役割が異なり、0度では 0/1 = 0 と計算できますが、90度では 1/0 という計算自体ができません。

さらに、sin θ = 6/5 という条件を見たとします。二乗の関係に入れると cos² θ = 1 − 36/25 = -11/25 です。実数の二乗は負にならないので、この範囲の角は存在しません。負の値の平方根を計算しようと進める前に、与えられた条件を調べ直します。

練習：条件と答えを照らす

次の5問は、それぞれ指定した範囲で考え、値は分数で答えてください。存在しない場合はその理由を書いてください。

1. 0度 < θ < 90度、sin θ = 3/5 のとき、cos θ と tan θ を求めてください。
2. 90度 < θ < 180度、cos θ = -5/13 のとき、sin θ と tan θ を求めてください。
3. 0度 < θ < 180度、cos θ = 0 のとき、sin θ と tan θ を調べてください。
4. 0度 < θ < 90度、tan θ = 4/3 のとき、sin θ と cos θ を求めてください。
5. 90度 < θ < 180度、cos θ = 2/3 を満たす角があるか調べてください。

練習の解答と考え方

1. 鋭角では余弦が正です。二乗の関係から求めます。

cos² θ = 1 - (3/5)²
       = 1 - 9/25
       = 16/25
cos θ = 4/5
tan θ = (3/5) / (4/5)
      = 3/4

答えは cos θ = 4/5、tan θ = 3/4 です。9/25 + 16/25 = 1 で、商は 3/4 です。横と縦がともに正の点に戻るので、鋭角の条件も満たします。

2. 鈍角では正弦が正です。負の余弦を二乗してから戻します。

sin² θ = 1 - (-5/13)²
       = 1 - 25/169
       = 144/169
sin θ = 12/13
tan θ = (12/13) / (-5/13)
      = -12/5

答えは sin θ = 12/13、tan θ = -12/5 です。144/169 + 25/169 = 1、商は -12/5 です。横が負で縦が正の点に戻り、与えられた余弦と鈍角の条件に合います。

3. 二乗の関係は次のようになります。

sin² θ + 0² = 1
sin² θ = 1

範囲内では sin θ > 0 なので sin θ = 1 です。cos θ = 0 となるのは上半円の最上点で、θ = 90度です。tan θ は分母が0なので定義されません。座標 (0, 1) は指定された範囲と余弦の値を満たし、二乗の和も1です。

4. 商の式は cos θ が0でない鋭角で使えます。sin θ = (4/3)cos θ として代入します。

(16/9)cos² θ + cos² θ = 1
(25/9)cos² θ = 1
cos² θ = 9/25
cos θ = 3/5
sin θ = (4/3)(3/5)
      = 4/5

答えは sin θ = 4/5、cos θ = 3/5 です。16/25 + 9/25 = 1、商は 4/3 で、両方正なので鋭角に戻ります。

5. そのような角はありません。鈍角では半円上の横座標、すなわち cos θ は負ですが、与えられた 2/3 は正だからです。二乗の関係だけを使うと sin² θ = 5/9 となり計算は続けられますが、正の横座標の点は鈍角側にありません。元の範囲に戻すことで矛盾が見つかります。

手元に残す4行

sin² θ + cos² θ = 1 は端の角でも使えます。 二乗から戻すときは正負を候補に残します。 角の範囲から座標の符号を選びます。 tan θ の商では cos θ が0でないことを調べます。

どの行で迷ったかを確かめる

答えが合わないときは、二乗の引き算、平方根の候補、範囲による選択、商の順に行を区切って見直します。符号だけが違うなら、半円に点を置き、横座標と縦座標のどちらを求めているかを声に出して確認します。分母が0のときは計算を続けず、その式が定義される条件に戻ります。

個別指導で答案を確認するときも、最終値だけでなく ± をどの行で消したか、90度を範囲に含むかを図と式で説明してみましょう。二乗の式を満たすことと、角の条件を満たすことは別々に確かめられます。符号を選ぶ根拠が残る答案なら、初めて見る値にも同じ筋道で対応できます。

たとえば答えが2組出たときは、片方を消す条件が問題文にあるかを探します。条件がなければ、両方を元の範囲に戻し、それぞれが成立することまで記します。候補を増やす場面と候補を絞る場面を分けると、答えの個数も根拠を持って決められます。