高校数学III 三つの関数の積の微分—一つずつ微分する項を落とさず整理する｜武蔵野個別指導塾

一つずつ微分する3項の作り方と、零点を含む共通因子の整理をたどり、変化を捉える題材は三因子の積です。

よくあるのは演習ノートで、三つの因子の積を微分し、二項だけで答えを作る場面です。二つの積の公式を覚えていても、どこで三つ目の項が生まれるかが見えないと、途中式の中で一つの因子の変化を落とします。元の因子を並べたまま、微分する場所を一つずつ移すと、項の数と役割を追えます。

ここでは三つの微分可能な関数の積を中心に扱います。指数関数を含む例は、その微分を既に学んだ後の補足です。増減や最大・最小には進まず、導関数を正しく作り、必要に応じて整理するところまでを考えます。

どんな形で問われるか

まず、三つの多項式の積の導関数を求める問いがあります。展開してから微分することもできますが、積の形を保てば、各因子のどれを微分した項なのかを確認しやすくなります。最後に共通因子をくくれば、式を短くできる場合もあります。

次に、ある点での微分係数だけを求める問いがあります。各因子とその導関数の値をその点に代入すると、関数全体を展開せずに計算できます。特に一つの因子が0になる点では、多くの項が消えても、残る項があることに注意します。

さらに、共通因子でくくった形を作り、零点も含めて正しいかを確かめる問いがあります。元の因子で割って整理すると、その因子が0の点を計算から除いてしまいます。割らずにくくる方法なら、その点でも成り立つ式として確認できます。

二つずつの公式から三項へ

関数 f が点 a で微分可能であるとは、差商 (f(a+h) − f(a))/h が h→0 で有限の極限を持つことです。その極限を f′(a) と書きます。ある区間の各点で微分可能なら、各点の微分係数を対応させた関数が導関数 f′ です。

同じ区間で微分可能な二つの関数 u、v について、積 uv も微分可能で、(uv)′ = u′v + uv′ です。これは一方の変化と他方の変化を足す公式です。ここではこの既習の公式を2回使い、三つの関数 f、g、h の積へ広げます。f、g、h は考える点を含む区間で微分可能とします。したがって積 fg も微分可能で、次の2回目の適用ができます。

(fgh)′ = ((fg)h)′
       = (fg)′h + (fg)h′
       = (f′g + fg′)h + fgh′
       = f′gh + fg′h + fgh′

図1のように、3項にはそれぞれ微分した因子が一つあります。残りの2因子は元のままです。足し算の各項で、f、g、h の順をそろえて書くと、どの因子の変化が未記入かを調べられます。

図1の3段を横に読むと、1段目では f、2段目では g、3段目では h が変化を担当します。微分したものを3個掛けた f′g′h′ は、この3項のいずれでもありません。また、元の関数がある点で0でも、微分可能性が失われるとは限りません。公式に f、g、h による割り算は現れないため、値が0の点にもそのまま代入できます。

一方、式を fgh(f′/f + g′/g + h′/h) と書くには、各分母が0でない条件が必要です。途中で割った式はその条件の下でしか扱えません。三項の和から共通因子をくくる操作と、因子で割ってから戻す操作の条件を混同しないことが重要です。

基本例題：三つの一次因子を追う

関数 y = (x + 1)(x − 2)(x + 3) の導関数を求め、展開した多項式の形で答えてください。また x = 2 での微分係数を整数で求めてください。

各因子は多項式なので、すべての実数 x で微分可能です。左から順に微分する因子を変えて、次のように3項を書きます。一次因子の導関数はいずれも1です。

y′ = 1・(x - 2)(x + 3) + (x + 1)・1・(x + 3)
     + (x + 1)(x - 2)・1
   = (x² + x - 6) + (x² + 4x + 3) + (x² - x - 2)
   = 3x² + 4x - 5

図2のように、3項それぞれに元の3か所が対応します。導関数が1になった場所も省略せずに最初に書くと、項の作り忘れを見つけやすくなります。

x = 2 を代入すると、y′ = 3・2² + 4・2 − 5 = 15 です。元の積では中央の因子が0ですが、中央の因子を微分した項は (2 + 1)(2 + 3) = 15 と残ります。他の2項はそれぞれ中央の因子を含むので0です。元の積を展開すると y = x³ + 2x² − 5x − 6 となり、これを微分しても同じ導関数です。0になった因子を含む項と、その因子を微分した項を分けて確認できます。

標準例題：共通因子を残して整理する

関数 y = x²(x − 1)(x + 4) の導関数を求め、共通因子 x をくくった形で答えてください。あわせて x = 0 での微分係数を求めてください。

三因子 x²、x − 1、x + 4 はどれも全実数で微分可能です。積の順を変えずに、順番に2x、1、1へ置き換えます。

y′ = 2x(x - 1)(x + 4) + x²(x + 4) + x²(x - 1)
   = x{2(x - 1)(x + 4) + x(x + 4) + x(x - 1)}
   = x{2(x² + 3x - 4) + x² + 4x + x² - x}
   = x(4x² + 9x - 8)

2行目は、3項のそれぞれに掛かっている x をくくっています。x で割っていないので、x = 0 も除かれません。したがって y′(0) = 0 です。元の関数を展開すると y = x⁴ + 3x³ − 4x² であり、その導関数は 4x³ + 9x² − 8x です。くくった答えを展開すると一致します。

この例で x² を全項からくくることはできません。最初の項には一般に x が1個しかありません。例えば x = 1/2 で各項を見ると、最初の項は 2x の因子から作られており、他の項と同じ個数の x を前提にすると式が変わります。因数として残る個数は、微分した後の各項を見て決めます。

発展例題：零点と微分係数を一緒に調べる

実数 a に対し、y = (x − a)(x + 2)(x − 3) とします。x = a での微分係数を a の式で求め、それが0となる a をすべて求めてください。答えは整数で表してください。

a は x に関して定数です。3因子はいずれも全実数で微分可能なので、積の公式を適用できます。x = a で最初の因子が0になることを、公式を書いた後に使います。

y′ = (x + 2)(x - 3) + (x - a)(x - 3)
     + (x - a)(x + 2)
y′(a) = (a + 2)(a - 3) + 0 + 0
       = (a + 2)(a - 3)

求める条件は (a + 2)(a − 3) = 0 です。よって a = -2 または a = 3 です。逆にそれぞれを元の関数へ戻すと、a = -2 では y = (x + 2)²(x − 3)、a = 3 では y = (x − 3)²(x + 2) です。指定点で同じ一次因子が2個0になり、三項のどれにも0の因子が残るので、微分係数は確かに0です。

一つの因子が0という情報から、直ちに積の微分係数も0とはいえません。例えば a = 0 なら元の積は x(x + 2)(x − 3) で、x = 0 における関数値は0ですが、微分係数は 2・(-3) = -6 です。最初の因子を微分した項には、その因子自体が残らないためです。二つの因子が同時に0なら、3項のどの項にも少なくとも一つの0の因子が残ります。区別の根拠を3項に戻して見ることができます。

誤答を直す：消えた項と割れない点

y = (x + 1)(x − 2)(x + 3) で、二項だけの式

y′ = (x - 2)(x + 3) + (x + 1)(x + 3)

としたとします。左の二因子を微分する項はありますが、最後の因子 x + 3 を微分する項がありません。図3のように、微分する場所を左から右へ移すと欠けた項を特定できます。

図3で示す最後の項 (x + 1)(x − 2) を足すのが修正です。x = 0 で比べると、誤答は -6 + 3 = -3 ですが、正しい値は -6 + 3 − 2 = -5 です。一点で一致しないことは誤りの証拠になります。ただし、一点で一致しても全体の式が正しい証明にはならないので、3項の対応まで戻ります。

別の失敗は、基本例題で各因子による商を使い、x = 2 にその途中式を代入することです。分母 x − 2 が0なので、その式は x = 2 では定義されません。元の三項の公式に戻れば、先ほどのとおり15を求められます。未定義の途中式に形式的に代入せず、割る前の式を使うことが修正の要点です。

練習問題

次の5問は、それぞれ導関数または指定点での微分係数を求めてください。多項式の係数は整数で表し、因数分解を指定した場合はその形で答えます。指数関数を使う5は、その導関数を既習の場合に取り組んでください。

1. y = (x − 1)(x + 2)(x + 5) の導関数を展開した多項式で求めてください。
2. y = x²(x + 1)(x − 3) の導関数を x をくくった形で求め、x = 0 での微分係数も求めてください。
3. y = (x − 4)(x + 1)(2x + 3) の x = 4 における微分係数を整数で求めてください。
4. y = (x − b)(x − 1)(x + 5) について、x = b での微分係数が0となる実数 b をすべて求めてください。
5. y = x(x + 2)eˣ の導関数を eˣ をくくった形で求め、x = 0 での微分係数を整数で求めてください。

練習の答えと途中式

1. 3因子は全実数で微分可能です。各因子を一度ずつ微分してから展開します。

y′ = (x + 2)(x + 5) + (x - 1)(x + 5)
     + (x - 1)(x + 2)
   = (x² + 7x + 10) + (x² + 4x - 5) + (x² + x - 2)
   = 3x² + 12x + 3

元の積は x³ + 6x² + 3x − 10 です。これを微分しても同じ式になるので、係数と符号が対応します。

2. 3因子は全実数で微分可能です。割り算をせずに x をくくります。

y′ = 2x(x + 1)(x - 3) + x²(x - 3) + x²(x + 1)
   = x{2(x + 1)(x - 3) + x(x - 3) + x(x + 1)}
   = x{2(x² - 2x - 3) + x² - 3x + x² + x}
   = x(4x² - 6x - 6)
y′(0) = 0

元の式を展開した x⁴ − 2x³ − 3x² を微分しても 4x³ − 6x² − 6x です。x = 0 でも元の関数と導関数は定義されます。

3. 3因子は全実数で微分可能です。最後の因子を微分すると2になる点も含め、3項を書きます。

y′ = (x + 1)(2x + 3) + (x - 4)(2x + 3)
     + 2(x - 4)(x + 1)
y′(4) = 5・11 + 0 + 0
      = 55

元の式では x = 4 のとき最初の因子が0で、残りは5と11です。最初の因子を微分した項にこの2つの値が残ることまで確認できます。

4. b は定数で、各因子は全実数で微分可能です。

y′ = (x - 1)(x + 5) + (x - b)(x + 5)
     + (x - b)(x - 1)
y′(b) = (b - 1)(b + 5)

よって b = 1 または b = -5 です。元の式に戻すと、前者では (x − 1) が2個、後者では (x + 5) が2個あります。各指定点で3項のそれぞれに0の因子が残り、条件を満たします。

5. x、x + 2、eˣ は全実数で微分可能で、eˣ の導関数は eˣ です。

y′ = (x + 2)eˣ + xeˣ + x(x + 2)eˣ
   = eˣ{(x + 2) + x + x(x + 2)}
   = eˣ(x² + 4x + 2)
y′(0) = 1・2
      = 2

元の式で x = 0 とすると最初の因子が0、残る因子は2と1です。最初の因子を微分した項の値2と一致します。eˣ は0にならないものの、この整理でも割り算は使っていません。

手元に残す要点

三因子の積の導関数は、一因子ずつ微分した3項の和です。 公式を使う点で各因子の微分可能性を確認します。 0の因子を微分した項には、その因子の値は残りません。 共通因子でくくる操作と、0になりうる因子で割る操作を区別します。

つまずきを見分けるには

答えが合わないときは、まず3項を縦に並べ、それぞれで微分した因子に印を付けてみてください。3か所のうち印がない場所があれば項の欠落です。印がそろっていても値が違うなら、因子の導関数の係数と、くくる前の各項の符号を調べます。

個別指導で途中式を確認する際にも、元の三因子、微分後の3項、代入する点で0になる因子の順に示せば、どこで食い違ったかを特定できます。割り算を使った場合は分母が0でない条件も添えます。三つの変化を一項ずつ追うと、零点でも式の意味が見えます。