高校数学A 最大公約数と最小公倍数—素因数の指数から二つの関係を確かめて求める｜武蔵野個別指導塾

素因数の指数の選び方を、共通因子と積の関係から整理し、互いに素な組を探す手順までたどり、指数から求める最小公倍数です。

定期テストの前に、素因数分解した2つの数を見比べ、最大公約数にも大きい方の指数を選んでしまう場面があります。掛け算の形は整っていても、その答えが元の両方を割り切るとは限りません。まずは指数の大小を覚える前に、選んだ因子が両方に入っているかを調べます。最小公倍数では逆に、元の両方を因子として含む必要があります。この違いを使い、答えを元の数に戻して点検しましょう。

どの条件から数を決めるか

第一の型は、2つの正整数を素因数分解し、最大公約数と最小公倍数をそれぞれ求める問題です。共通する素因数の小さい指数を取るのか、現れた素因数の大きい指数を取るのかを、求める数が約数か倍数かに結びつけます。

第二の型は、一方の数と最大公約数、最小公倍数から他方を求める問題です。2つの正整数の積と、最大公約数と最小公倍数の積が等しい関係を使います。計算で候補が出たら、与えられた最大公約数と最小公倍数を本当に持つか、元の条件へ戻して確かめます。積の式を満たすだけでは、与えられた2つの値が実際に最大公約数と最小公倍数であるとは限らないからです。

第三の型は、最大公約数で2つの数を割り、残りが互いに素であることを利用して組を探す問題です。共通部分を取り除いた後も同じ素因数が残っていないかが、候補を絞る鍵です。ここでは正整数を扱い、負の整数や0を含む場合には広げません。

共通部分と、両方を含む数

正整数を割り切る正整数を、その数の正の約数といいます。2つの数の両方を割り切る数が公約数で、そのうち最大のものが最大公約数です。例えば12と18の公約数は1、2、3、6なので、最大公約数は6です。一方、両方の正の整数倍になっている数が公倍数で、そのうち最小の正整数が最小公倍数です。12と18では36がそれに当たります。

素因数分解では、同じ素数を何回掛けたかを指数で記録します。図1のように、12は2²×3、18は2×3²です。公約数に使える2は、両方にある1個までです。3も両方にある1個までなので、最大公約数は2×3の6です。2²を使えば12は割り切れても18は割り切れません。

図1の下側では、両方を割り切る側ではなく、両方に割り切られる側を作っています。12の倍数には2が少なくとも2個、18の倍数には3が少なくとも2個必要です。したがって2²×3²の36が最小です。片方に現れない素因数については、その側の指数を0と考えます。公約数には採用されず、公倍数には現れた側の指数が必要です。

一般に、素数ごとに2つの指数を比べると、最大公約数には小さい方、最小公倍数には大きい方を選びます。小さい指数は両方に含まれる最大の個数であり、大きい指数は両方を含むために必要な最小の個数です。2つの指数の和は大小を入れ替えても変わらないため、素数ごとに積を比べると次が成り立ちます。

2つの正整数の積 = 最大公約数 × 最小公倍数

最大公約数が1である2つの正整数を、互いに素といいます。どちらも素数である必要はありません。例えば8と15はどちらも合成数ですが、共通する素因数がないため互いに素です。1と任意の正整数も、共通する正の約数が1に限られるので互いに素です。

指数の表は、素因数分解の間違いも見つけるために使えます。元の数を各素因数の積に戻して一致するかを先に確認し、その後で縦に指数を比べます。公約数の欄に書いた積が一方しか割り切らないなら、共通部分を超えて因子を取っています。公倍数の欄を元の数で割れないなら、必要な因子が不足しています。答えが整数になっただけで判定せず、割る向きも合わせて確認しましょう。例えば公倍数の候補を小さい方の元の数で割れたとしても、もう一方でも割り切れるとは限りません。両方の商を確かめます。

また、2数が互いに素なら最大公約数は1なので、積の関係から最小公倍数は2数の積です。逆に積が最小公倍数と等しければ、正整数の積で割って最大公約数が1とわかります。この判定は、両方の数が素数かどうかとは別の話です。共通する素因数があるかを比べて判断します。

基本例題：指数を並べて選ぶ

問題　72枚の青いカードと120枚の白いカードを、それぞれ余らせず、同じ枚数ずつの束に分けます。1束の枚数として可能な最大の整数を求めてください。また、72と120の最小公倍数を整数で求めてください。

束の枚数は72と120の両方を割り切る必要があります。しかも最大を求めるので、前半は最大公約数の問題です。後半は両方の倍数を探します。まず各数を素因数分解します。

72 = 2×2×2×3×3 = 2³×3²

120 = 2×2×2×3×5 = 2³×3×5

図2のように、2の指数はどちらも3、3の指数は2と1、5の指数は0と1です。0は72に5が含まれないことを表しています。公約数には共通する分だけを使い、素数ごとに小さい指数を選びます。

最大公約数 = 2³×3 = 8×3 = 24

よって1束の枚数の最大は24枚です。72÷24 = 3、120÷24 = 5なので、青は3束、白は5束となり、どちらも余りません。24より大きい共通の束の枚数がない理由は、共通して使える素因数の指数をすでに全て取っているからです。例えば3をもう1個加えると120を割り切れず、5を加えると72を割り切れません。

最小公倍数では各素数の大きい指数を取ります。両方を因数として含めるのに必要な分をそろえると、次のようになります。

最小公倍数 = 2³×3²×5 = 8×9×5 = 360

360÷72 = 5、360÷120 = 3ですから、360は両方の倍数です。指数のどれかを減らすと、72または120に必要な素因数が足りなくなるため、これより小さい正の公倍数はありません。積の関係でも、72×120 = 8640、24×360 = 8640と一致します。図2の列を縦に比べ、どちらを取ったかを線で示すと、指数の取り違えを点検しやすくなります。

条件から2つの数を探す

問題　2つの正整数の最大公約数が6、最小公倍数が180です。小さい方が大きい方以下であるとして、考えられる2つの数の組を全て求めてください。答えは整数の組で示してください。

2つの数はどちらも6の倍数なので、6a、6bと置きます。ただしa、bは正整数で、aがb以下とします。最大公約数が6であるため、aとbは互いに素です。もし共通の素因数が残れば、6にその素因数を掛けた数も元の2数の公約数となり、6が最大でなくなります。

積の関係から、元の2数の積は6×180 = 1080です。一方、置いた文字では36abですから、

36ab = 1080

ab = 30

となります。30 = 2×3×5です。互いに素である条件により、2、3、5のそれぞれはaとbのどちらか一方に入ります。積が30である正整数の組を小さい方から列挙すると、

(a, b) = (1, 30)、(2, 15)、(3, 10)、(5, 6)

です。どの組も共通の素因数を持ちません。これ以外の組は、30の正の約数を小さい方として調べても出てこないため、列挙は網羅的です。6倍して答えは (6, 180)、(12, 90)、(18, 60)、(30, 36) です。

元の条件へ戻します。各組は共通の6を除くと互いに素なので、最大公約数は6です。また各組の積は1080なので、最小公倍数は1080÷6 = 180です。両方の条件を満たします。最大公約数の条件がなければ、共通因子が残る組も候補になります。文字で割った後に互いに素という条件を忘れると、別の問題を解くことになります。

大きい指数を両方に使ったとき

基本例題の72と120で、最大公約数を2³×3²×5 = 360とする誤答を考えます。大きい指数を選ぶ手順自体は正しいものの、それは最小公倍数の作り方です。図3のように、360は72と120より大きく、どちらかを割る数ではなく、どちらからも割られる数です。

図3で誤りを見つけたら、まず「答えで元の数を割る」という向きに戻します。72÷360も120÷360も整数ではないので、360は公約数ではありません。指数を小さい方に戻して24を作れば、72÷24と120÷24はともに整数です。

逆に、最小公倍数を24とした場合も、24÷72が整数でないため倍数の条件を満たしません。最大と最小という言葉だけで指数を決めず、何の中で最大または最小なのかを先に書きます。さらに、積の関係を使って一方を求めたときは、積が一致することに加え、約数と倍数の条件も確認します。

自分で確かめる4問

問題1　84本の赤い棒と126本の青い棒を、色を混ぜずに同じ本数ずつ束ね、余りを出さないようにします。1束の本数の最大値を整数で求めてください。

問題2　2つの正整数90と144の最小公倍数を整数で求めてください。

問題3　2つの正整数の一方は42、最大公約数は7、最小公倍数は210です。他方を整数で求めてください。

問題4　2つの正整数の最大公約数は4、最小公倍数は240です。小さい方が大きい方以下のとき、2つの数の組を全て整数で求めてください。

解答と確かめ方

問題1では84 = 2²×3×7、126 = 2×3²×7です。共通部分の指数を選ぶと2×3×7 = 42です。答えは42本です。84÷42 = 2、126÷42 = 3となり、赤は2束、青は3束で元の本数に戻ります。共通する素因数を最大限使っているため、これより大きい本数の束にはできません。

問題2では90 = 2×3²×5、144 = 2⁴×3²です。5は144には現れませんが、90の倍数にするため必要です。大きい指数を取って2⁴×3²×5 = 720となります。720÷90 = 8、720÷144 = 5です。どちらの倍数でもあり、必要な指数を減らせないので、答えは720です。

問題3では、他方をxとすると42x = 7×210です。したがってx = 1470÷42 = 35です。ここで42 = 2×3×7、35 = 5×7なので最大公約数は7です。また42×35÷7 = 210より最小公倍数も条件に合います。答えは35です。積の式から候補を出した後に、元の2つの条件を別々に確認しました。

問題4では、2つの数を4a、4bと置きます。a、bは正整数で互いに素、aはb以下です。積の関係から16ab = 4×240なので、ab = 60です。60 = 2²×3×5であり、互いに素にするには2²を途中で分けず、一方にまとめて渡します。同様に3と5もそれぞれ一方に渡します。

積が60で小さい方から並べた組は (1, 60)、(2, 30)、(3, 20)、(4, 15)、(5, 12)、(6, 10) です。このうち (2, 30) と (6, 10) は共通因子2を持つので除きます。残る組を4倍し、答えは (4, 240)、(12, 80)、(16, 60)、(20, 48) です。それぞれ4で割った組が互いに素で、積が60ですから、元の最大公約数は4、最小公倍数は4×60 = 240に戻ります。約数を小さい方から列挙したので、他の組はありません。

要点を手元に残す

公約数は両方を割り、最大公約数には小さい指数を取ります。
公倍数は両方で割られ、最小公倍数には大きい指数を取ります。
2数の積は最大公約数と最小公倍数の積に等しくなります。
最大公約数で割った2数は互いに素です。

途中式からつまずきを探す

指数を選ぶ段階で迷うときは、素因数の横に2数それぞれの指数を書き、片方にない素因数を0として扱えているか見ます。式は合っていて答えが違う場合は、指数を選んだ後の掛け算と、元の数で割った商を別々に確かめます。

個別指導では、例えば72と120の3について、なぜ最大公約数には3を1個しか使えないのかを、120を割る操作と結びつけて説明してもらいます。組を求める問題では、共通因子を除いた2数が互いに素になる理由と、候補を列挙し終えた根拠を途中式から確認します。答えを元の数の条件へ戻すことで、指数の選択から結論まで筋道がつながります。