高校数学A 整数の割り算と余り—商と余りの条件を式にして負の整数まで整理する｜武蔵野個別指導塾

負の整数を正の整数で割る場面で、商を動かして余りを範囲へ戻す手順を説明し、式の和・積・差にも適用します。

よくあるのは、定期テスト前に負の整数を割り、計算途中に出た負の数をそのまま余りとして書く場面です。例えば、ある整数を正の整数の倍数に近づけると、引き算の結果が負になることがあります。式が元の整数を表していても、それだけで余りの条件を満たすとは限りません。商を1つ動かすと余りがどう変わるかを確かめ、余りを決められた範囲に直しましょう。

何を求める問題か

整数の割り算では、正の整数で割った商と余りをそのまま求める型があります。正の整数だけでなく負の整数も対象です。割る数に近い倍数を探すときは、対象の整数を超えない側の倍数を選びます。割り切れる場合も含め、余りが0でよいことを忘れないようにします。

別の型では、整数を割った余りが与えられ、その整数に足した数や掛けた数の余りを求めます。元の整数を商を使って表し、計算後に除数の倍数と残りに分ける方法です。途中の残りが除数以上になったときは、さらに割り直します。

もう1つは、複数の条件から整数を絞る型です。範囲が有限なら候補を順番に確かめられます。条件の一方だけを満たした候補で止めず、もう一方にも戻して判定します。ここで扱うのは正の整数を除数とする割り算で、合同式の記号は使いません。

商と余りの約束

整数 a を正の整数 b で割るとき、商を q、余りを r とすると、次の式と範囲を同時に満たします。

a = bq + r、0 ≦ r < b

q は整数です。a が負でも、b は正で、r は0以上です。余りの上限は b そのものを含みません。例えば b が5なら、余りの候補は0、1、2、3、4です。5を残した式は成り立つことがあっても、5をもう1回分の除数として商に加えれば、余りを0にできます。

図1のように、数直線上で a のすぐ左側にある b の倍数を見ます。a が倍数そのものなら、その位置が出発点です。そこから a までの距離が余りで、隣の倍数までの間隔 b より小さくなります。負の側でも数直線の向きは変わりません。

図1では -7 の左側で最も近い4の倍数は -8 です。-8 から -7 までの距離は1なので、-7 = 4 × (-2) + 1 です。右側の -4 を使うと -7 = 4 × (-1) + (-3) という等式は作れますが、-3 は余りの範囲外です。

この約束で商と余りが1組に定まる理由も見ておきます。2組 q、r と q’、r’ が同じ a を表すなら、b(q − q’) = r’ − r です。右辺は -b より大きく b より小さい整数です。その範囲の b の倍数は0しかないので、r = r’、続いて q = q’ となります。等式と範囲の両方を満たせば、別の答えを探す必要はありません。

余りの候補を使うと、整数を重なりなく分類できます。例えば4で割る場合、整数は 4q、4q + 1、4q + 2、4q + 3 のいずれかで表せます。ここで q は整数です。負の整数もこの中に入り、-7 は 4 × (-2) + 1 なので2番目の形です。q を0以上に限定してしまうと、負の整数を表せなくなります。

割り切れる場合は余りが0です。例えば -12 = 4 × (-3) + 0 なので、商は -3 です。-12 = 4 × (-4) + 4 と書いても等式は正しいものの、残り4は除数未満ではありません。境界で迷ったら、余りの候補に除数自体が含まれないことに戻ります。

文字を含む式では、除数の倍数にあたる部分を先にまとめます。ただし、倍数の係数が整数であることが必要です。式の形だけを見て余りと決めず、残った数をもう一度除数と比べます。数の例で確かめるときは、与えられた条件を満たす整数を選び、その整数を元の式に代入します。

基本例題：負の数を割る

問題　整数 -23 を正の整数 6 で割った商と余りを、それぞれ整数で求めてください。

まず6の倍数を並べます。-23 の前後には -24 と -18 があります。-23 を超えない側は -24 なので、これを6の何倍かで表します。

-24 = 6 × (-4)

-23 は -24 より1大きいため、次のように書けます。

-23 = -24 + 1

-23 = 6 × (-4) + 1

ここで余りの候補1は 0 ≦ 1 < 6 を満たします。したがって商は -4、余りは1です。図2のように、倍数から右に進む距離を余りとして読むと、負の整数でも同じ規則で判断できます。

図2の位置と式を照らすと、-24 から1進んで -23 に戻ります。実際に 6 × (-4) + 1 = -23 であり、問題の整数に戻りました。式が合うことに加えて、余り1が0以上6未満であることまで確認して答えを完成させます。

途中で -18 を選んだ場合も、そこで手順が終わるわけではありません。-23 = 6 × (-3) − 5 は正しい等式ですが、-5 は余りにできません。商を -3 から -4 に1減らすと、6の倍数部分が6減ります。その減少を補うため残りに6を足せば、-5 + 6 = 1 です。元の値を変えず、条件に合う形に直せます。

反対に、残りが6以上になったら、商を1増やして残りから6を引きます。商と残りを別々に変更するのではなく、増減が打ち消し合うように動かします。残りが大きく外れる場合は、範囲に入るまで繰り返すか、残り自体を6で割ってまとめ直します。

少し難しい例題：式を作ってから余りを整える

問題　整数 n を7で割ると余りが5です。3n + 4 を7で割った余りを整数で求めてください。

商を整数 k とおくと、条件は n = 7k + 5 と表せます。k が負でも、この式と余り5の範囲は成立します。求める式へ代入し、7の倍数をまとめます。

3n + 4 = 3(7k + 5) + 4

= 21k + 15 + 4

= 7 × 3k + 19

ここで19を答えにしてはいけません。19 は7以上なので、さらに 19 = 7 × 2 + 5 と分けます。

3n + 4 = 7 × 3k + 7 × 2 + 5

= 7(3k + 2) + 5

3k + 2 は整数で、0 ≦ 5 < 7 です。求める余りは5です。例えば元の条件に合う n = -2 を選ぶと、-2 = 7 × (-1) + 5、3n + 4 = -2 = 7 × (-1) + 5 となります。元の場面でも余り5を得ます。これは代入計算の確認であり、一般の k による式がすべての対象を説明します。

条件が「n を7で割ると余りが5」から「n を7で割り切れる」に変われば、n = 7k です。余りの部分を5のまま使わず、0に変えて計算します。また、求める除数が変わった場合、7の倍数を新しい除数の倍数と見なせるとは限りません。どの数で割る余りかを式の最初と最後で照合します。

負の余りを答えにしない

誤答の例として、-11 を4で割ると商は -2、余りは -3 とする答案を考えます。確かに -11 = 4 × (-2) − 3 は成り立ちます。しかし -3 は0以上という条件を満たしません。等式だけで判定すると、この誤りを見逃します。

図3のように、商を1減らして倍数部分を4減らし、その分を残りに4足します。すると -3 + 4 = 1 です。修正した式は -11 = 4 × (-3) + 1 で、商は -3、余りは1です。元の -11 に戻ることと 0 ≦ 1 < 4 を両方確かめます。

図3では式の値を変えず、商と残りを組にして動かしています。商を減らしたのに残りも減らすと、元の数に戻らなくなるので注意します。逆に、余りの候補が4以上なら、4を引くと同時に商を1増やします。0は条件に入りますが、4は入りません。

余りの計算を点検する別の見方

足し算では、それぞれを同じ除数の倍数と余りに分けてからまとめられます。例えば整数 a と b を6で割った余りがそれぞれ4と5なら、整数 m、n を使い a = 6m + 4、b = 6n + 5 と書けます。したがって a + b = 6(m + n) + 9 です。9を6で割り直すと 9 = 6 + 3 なので、和の余りは3です。余り同士を足した9がそのまま答えになるとは限りません。

掛け算でも同じように、式を展開して6の倍数をまとめます。上の条件なら ab = 36mn + 30m + 24n + 20 です。最初の3項は6の倍数で、20 = 6 × 3 + 2 ですから、積の余りは2です。具体的に a = 4、b = 5 とすると和は9、積は20で、それぞれ余り3、2と確かめられます。この具体例は計算を点検する材料です。一般の場合は整数 m、n で表した式から結論します。

引き算では負の残りが出やすくなります。上の a と b の差は a − b = 6(m − n) − 1 です。-1 は余りの範囲外なので、-1 = -6 + 5 として a − b = 6(m − n − 1) + 5 に直します。余りは5です。例えば 4 − 5 = -1 = 6 × (-1) + 5 と元の計算にも戻ります。足し算、掛け算、引き算のどれでも、最後に余りの範囲を見る手順は共通です。

除数が異なる余りを同時に使うときは、それぞれの候補を別の条件で照合します。片方の条件から候補を作った後、その候補すべてがもう片方を満たすとは限りません。候補が有限なら一覧にして、端の値が問題の範囲に含まれるかも調べます。範囲外まで候補を足して答えに混ぜることも、端の候補を落とすことも防げます。

自分で確かめる問題

次の問題では、商と余りは整数で答えてください。文字は指定の範囲の整数とします。

1. -38 を5で割った商と余りを求めてください。
2. 整数 x を8で割ると余りが3です。2x + 7 を8で割った余りを求めてください。
3. 0以上40以下の整数 y のうち、6で割ると余りが2、5で割ると余りが4となるものをすべて求めてください。
4. 整数 z を9で割ると余りが7です。z − 12 を9で割った余りを求めてください。

答えと考え方

1. 商は -8、余りは2です。-38 の直前の5の倍数は -40 なので、-38 = 5 × (-8) + 2 です。2は0以上5未満で、5 × (-8) + 2 を計算すると問題の -38 に戻ります。-35 を使うと残りは -3 となるため、そのまま余りにできません。

2. 余りは5です。整数 h を使い x = 8h + 3 と書きます。すると 2x + 7 = 16h + 13 = 8(2h + 1) + 5 です。5は0以上8未満です。例えば x = 3 は元の条件を満たし、2 × 3 + 7 = 13 も8で割ると余り5です。h がどの整数でも同じ形になるので、この例だけに頼らず結論できます。

3. y = 14 のみです。範囲内で6で割ると余り2となる候補は 2、8、14、20、26、32、38 です。この7個を5で割った余りは順に 2、3、4、0、1、2、3 です。したがって両方の条件に合うのは14です。14 = 6 × 2 + 2 かつ 14 = 5 × 2 + 4 で、範囲にも入ります。候補を端から列挙したので、範囲内の取りこぼしはありません。

4. 余りは4です。整数 t を使い z = 9t + 7 とすると、z − 12 = 9t − 5 です。残り -5 は範囲外なので、9を加え、商を1減らして z − 12 = 9(t − 1) + 4 とします。例えば z = 7 は元の条件を満たし、7 − 12 = -5 = 9 × (-1) + 4 です。負になる場合も余りは4です。

問題文に商が指定されているときも、余りの範囲を先に書くと条件を整理できます。例えばある整数が 5 × 2 + 3 なら13です。逆に13から出発すると、5の倍数10に3を足して13になるので、商2と余り3を確認できます。計算の方向を逆にたどると、足し忘れや商の取り違えに気づけます。

余りの候補を一通り調べる方法は、対象となる整数そのものを全部書き出せない場合にも役立ちます。ただし、候補の分類が求める条件を判定するのに十分かは別に考えます。割る数が変われば必要な情報も変わるため、元の条件だけで決まるかどうかを先に確かめます。

手元に残す要点

• 正の除数 b に対し、a = bq + r、0 ≦ r < b と置きます。
• 負の数でも余りは負にせず、商を調整します。
• 計算後の残りが範囲外なら、除数の倍数を商側へ移します。
• 元の整数へ戻るかと、余りの範囲を両方確かめます。

途中式からつまずきを見分ける

等式は合っているのに余りが負なら、計算力よりも余りの範囲の確認が抜けています。まず除数を書き、その下に取り得る余りを並べてみます。次に商を1減らしたとき、倍数部分と残りがそれぞれどう変わるかを声に出して説明します。

式への代入で止まる場合は、元の整数を除数の倍数と余りに分ける行から確認します。個別指導で確かめるなら、残りが除数以上になった行を示し、なぜさらに割る必要があるかを本人に説明してもらいます。答えを元の条件へ戻し、等式と範囲がそろえば、負の整数の割り算も同じ約束で扱えます。