高校数学I 仮説検定の結論—仮定を退ける判断と証明できないことを言葉にする｜武蔵野個別指導塾

観測以上の結果の割合を事前の基準と比べ、仮定を退ける判断が証明とは異なる理由を言葉にしてみましょう。

よくあるのは、高1が自作の測定表や実験結果を復習し、まれな結果の割合を、その仮定が誤りである確率と読む場面です。たとえば「同じくらい出る」と仮定した実験で、片方が多く出たとします。その偏りが仮定の下で起こりにくくても、仮定そのものが誤っている確率を直接測ったわけではありません。何を前提に数えた割合なのかを言葉に戻すと、結論の強さを調整できます。

結果を読む3つの問い

1つ目の型は、反復実験の集計と、前もって決めた基準を与えられ、仮定を退けるかを答える問題です。観測値に一致した回数ではなく、指定された方向に観測値以上に偏った回数を集めます。分母は実験の総回数で、実際の観測をその分母に加えません。

2つ目の型は、退けなかった結果を文章に直す問題です。たとえば「偏りがあるとはいえない」という判断から、「偏りがないと証明された」と結ぶことはできません。結果が仮定の下で特に珍しくなかったことと、仮定が真であることは別の事柄です。

3つ目の型は、別々の反復実験の結果が基準の両側に分かれたときに、結論を点検する問題です。同じ条件でも、実験による割合は揺れます。比較する向きや基準を結果の後で動かすのではなく、決めておいた条件と実験回数を示し、境界付近の判断には揺れが残ると伝えます。

仮定の下で数えた割合を結論へつなぐ

仮説検定の考え方では、まず比較の出発点となる仮定を置きます。たとえば、表と裏の出やすさが等しいという仮定です。次に、実際の観測と同じ回数だけ試す操作を1組とし、仮定に従う組を独立に繰り返します。各組で何回表が出たかを記録し、観測と同じか、それ以上に指定方向へ偏った組の割合を求めます。

この割合の意味は「仮定が成り立つ条件で、指定したほど偏る結果が出る割合」です。仮定が正しい確率でも、誤っている確率でもありません。前提と結果の順序を入れ替えるには別の情報が必要で、反復実験の集計だけからは求まりません。

図1のように、仮定、数える範囲、割合、判断の順にたどります。判断の基準も前もって決めます。ここでは自作問題ごとに、割合が基準以下なら仮定を退けるという約束を置きます。基準は問題の条件であり、どの場面にも共通する決まりとして扱いません。

図1のように、判定は観測と実験の条件に結びついています。仮定を退けた場合も、その仮定の下では観測以上の偏りが起こりにくいという根拠に基づく判断です。起こりにくい結果が偶然出る可能性は残り、仮定の誤りが論理的に証明されたとはいえません。

反対に、基準を超えたため退けない場合は、今回の結果だけでは仮定に反する十分な根拠が得られなかったと表します。実際に差があっても、少ない観測では差がはっきり現れないことがあります。どちらの判断でも、観測方法や独立性の仮定が適切だったかを確認し、結論を条件の外まで広げないことが必要です。

基本例題：偏った結果の範囲を合計する

袋から札を1枚取り、色を記録して戻す操作を6回行います。各回は独立で、赤が出る割合は1/2という仮定を置きます。実際には赤が5回出ました。赤が多い方向に注目し、観測以上の割合が1/5以下なら仮定を退けると実験前に決めます。

同じ条件の6回を1組として、独立に100組作ったところ、赤の回数ごとの組数が次のようになりました。この集計を用い、割合を既約分数で求めて判断し、結論を文章にしてください。

図2のように、数えるのは赤5回と6回の組です。6回も5回以上なので含めます。各組数の合計は2 + 8 + 24 + 32 + 22 + 10 + 2 = 100で、分母に一致します。

観測以上の組数 = 10 + 2
               = 12
割合 = 12/100
     = 3/25
1/5 = 5/25
3/25 < 5/25

図2の集計を元に戻すと、100組中12組が条件を満たし、残る88組は赤が4回以下です。割合は基準以下ですから、定めた規則では仮定を退けます。結論は「赤と赤以外が同じくらい出るという仮定の下では、6回中5回以上赤が出る結果は、この実験では比較的まれであり、仮定を退けます」と書けます。

ただし、これは練習のために与えた集計です。12%を仮定が誤りである確率と読んではいけません。また、赤が多く出るという方向を観測後に選んだ場合は、最初に決めた規則とは異なり、そのまま同じ判断はできません。両方向を見る場合は、何を数えるかを先に定め直す必要があります。

標準例題：退けないことの意味

ある装置が左右のどちらに玉を落とすかを調べます。左右が同じくらい出ると仮定し、1組を8回の独立な落下とします。実際には右が6回でした。右が多い側で観測以上を数え、割合が1/10以下なら仮定を退けると事前に定めます。

仮定に従う200組の集計で、右が6回の組は42組、7回は14組、8回は2組でした。割合を既約分数で示し、判断と、そこから言えないことを答えてください。

観測以上の組数 = 42 + 14 + 2
               = 58
割合 = 58/200
     = 29/100
1/10 = 10/100
29/100 > 10/100

200組のうち58組を数え、残りの142組は右が5回以下です。基準を超えたので仮定を退けません。「この観測は、左右が同じくらい出るという仮定に反すると判断するには十分でない」と述べます。

この結論は、装置が完全に左右対称であるという証明ではありません。右が出やすい装置でも8回という短い観測では偏りが目立たないことがありえます。また「右が出やすい」という主張が必ず誤りだともいえません。退ける対象が左右同等という仮定であることと、調べたい主張が右への偏りであることを、混ぜずに書き分けます。

発展例題：反復実験の揺れと境界

同じ大きさの2色の玉を戻しながら10回引き、青が8回以上出る組を数えます。各回は独立で青の出やすさは1/2という仮定を置き、実際の観測は青8回です。観測前に、青が多い片側を比較し、割合が1/10以下なら仮定を退けると決めました。

同じ条件で作った2つの集計A、Bは、それぞれ500組中48組、500組中53組が青8回以上でした。それぞれの割合を既約分数で求め、規則による判断と、2つを並べたときの注意を答えてください。集計AとBは、実験結果として与えられたものです。

Aの割合 = 48/500
        = 12/125
1/10 = 50/500
48/500 < 50/500
Bの割合 = 53/500
53/500 > 50/500

Aでは48組を数え、残り452組は青が7回以下です。Bでは53組を数え、残り447組は青が7回以下です。Aの規則上の判断は仮定を退ける、Bの判断は退けない、となります。どちらも同じ基準と同じ方向を使っています。

2つの割合が異なることは矛盾ではありません。反復実験の組の内容は毎回変わり、割合も変動するからです。基準の近くで判断が入れ替わるときは、片方の判定だけを絶対視せず、実験回数と割合を添えて、見積もりの揺れを示します。独立な組数を増やせば相対度数の変動は小さくなる傾向がありますが、追加するたびに基準となる値へ単調に近づくとは限りません。

結果に合わせて基準を1/10から別の値へ変更すれば、同じ規則で比較したことになりません。観測前の規則を保ち、必要なら新たな条件の下で改めて観測を計画します。仮定の下のまれさが主張の正しさを直接与えるわけではない点も、2つの判定に共通します。

結論の言い過ぎを直す

図3のように、同じ割合でも、何の条件の下で数えたかを落とすと意味が変わります。仮定の下で観測以上の割合が1/20だったとき、「仮定が誤っている確率は19/20」とする答えを考えます。

図3の誤答の原因は、仮定を前提に結果を数えた割合を、結果を前提に仮定の正しさを測る割合へ入れ替えたことです。修正後は「仮定の下で観測以上に偏る割合は1/20でした」とし、事前の基準に照らした判断を別の文で添えます。1/20が基準以下かどうかは、基準を聞かなければ決まりません。

別の誤りは「退けなかったので、仮定は正しい」です。観測が仮定と両立しやすかったとしても、他の説明が排除されたわけではありません。「今回の条件では仮定を退ける根拠が十分でなかった」と直します。さらに「退けたので偶然では絶対に起こらない」も言い過ぎです。まれな結果にも起こる可能性は残ります。

実験の途中で集計が壊れた場合、欠けた組を0回として足したり、正常に記録された組を予定数で割ったりすると割合が変わります。どの組が記録されたか、欠け方が結果と関係しないかを確かめ、必要な情報がなければその集計から判定を確定できません。時間切れや道具の故障で予定数に届かなかったときも、実際の組数を記録し、途中で止まった事情を添えて判断を保留することがあります。都合のよい結果になるまで実験を続けた集計とは区別します。

練習：結論を条件つきで書く

次の各問では、示された集計を用い、割合は既約分数で答えてください。各組の操作は独立で、数える方向と基準は観測前に決めたものとします。

1. 印のある面が同じくらい出ると仮定し、1組で円盤を7回回します。実際に印が6回出ました。300組中、印が6回の組は15組、7回の組は3組です。印が6回以上の割合が1/10以下なら仮定を退けます。割合と結論を答えてください。
2. 左右が同じくらい出ると仮定し、1組で矢印を9回動かします。実際は左が6回でした。400組中、左が6回以上の組は108組です。割合が1/5以下なら仮定を退けます。割合、判断、正しいと証明されたかを答えてください。
3. 2色が同じくらい出ると仮定し、1組で札を12回戻しながら引きます。実際には緑が9回でした。緑が9回、10回、11回、12回の組は、順に30組、12組、5組、3組で、全体は1000組です。緑が9回以上の割合が1/20以下なら仮定を退けます。割合と境界での判断を答えてください。
4. 赤と白が同じくらい出ると仮定した独立な組の実験で、赤が観測以上に出た組は、集計Cでは600組中54組、集計Dでは600組中66組でした。割合が1/10以下なら仮定を退けます。両方の割合と判断を答え、違いの理由を述べてください。
5. 表と裏が同じくらい出ると仮定した独立な組を800組調べ、表が観測以上に出たのは64組でした。基準は1/8以下です。割合と判断を求め、「仮定が誤りである確率はこの割合だ」という文を直してください。

練習の答えと道筋

1. 6回以上には7回も入れます。

組数 = 15 + 3
     = 18
割合 = 18/300
     = 3/50
1/10 = 5/50
3/50 < 5/50

300組に戻すと18組が条件に入り、282組が5回以下です。基準以下なので仮定を退けます。ただし、同じくらい出るという仮定が必ず誤りだと証明したわけではありません。

2. 観測以上の組数は問題にまとめて与えられています。

割合 = 108/400
     = 27/100
1/5 = 20/100
27/100 > 20/100

400組中108組が該当し、292組は左が5回以下です。基準を超えるので仮定を退けません。左右が同じくらい出ると証明されたのではなく、今回の観測ではその仮定を退ける根拠が十分でなかったと書きます。

3. 9回に一致する組だけでなく、10回以上も加えます。

組数 = 30 + 12 + 5 + 3
     = 50
割合 = 50/1000
     = 1/20

1000組のうち50組が条件を満たし、950組は緑が8回以下です。割合は基準と等しいため、「以下」という規則では仮定を退けます。等号を含むかは、判断の前に与えられた規則で確かめます。

4. 同じ分母のまま基準と比べます。

Cの割合 = 54/600
        = 9/100
Dの割合 = 66/600
        = 11/100
1/10 = 10/100

Cは基準以下で仮定を退け、Dは基準を超えて退けません。Cの非該当は546組、Dの非該当は534組で、それぞれ600組に戻ります。独立な反復で数えた組の割合は揺れるため、基準近くでは判定が異なることがあります。実験回数と割合を一緒に示します。

5. 分子と分母を8で割り、さらに約分します。

割合 = 64/800
     = 8/100
     = 2/25
1/8 = 25/200
2/25 = 16/200
16/200 < 25/200

該当64組と非該当736組で800組です。基準以下なので仮定を退けます。割合の正しい意味は「表と裏が同じくらい出る仮定の下で、表が観測以上に出た組の割合が2/25だった」です。仮定が誤りである確率は、この集計だけでは求められません。

判断を残すための要点

• 仮定と、観測以上に数える方向を先に決めます。
• 割合は仮定の下の結果の割合で、仮定の正誤の確率ではありません。
• 基準以下かどうかを、等号も含めて比べます。
• 退けないことは正しさの証明ではなく、退けても偶然の可能性は残ります。
• 反復の回数と割合を添え、境界付近の揺れを伝えます。

どこで言葉が変わったかを確かめる

解答が止まったら、まず観測値と反復実験の各組の値を別の欄に書きます。次に、観測以上にあたる組へ印を付け、合計を総組数で割れているかを見ます。個別指導では、分子に一致した組しか入れていないのか、基準との比較で等号を落としたのか、割合の意味を文にする段階で仮定と結果を入れ替えたのかを順に確かめます。

計算が合っていても、最後に「証明された」と書けば判断の範囲が広がります。どの条件の下で何を数え、どの基準で何を退けたかを、数式の隣に短く書き戻します。仮説検定の結論は、その条件を残して初めて正確に伝わります。