高校数学I 仮説検定の仮定—比べる基準と観測結果を分けて実験を設計する｜武蔵野個別指導塾

表裏を記録する実験を設計し、基準の仮定、独立な反復、観測以上を数える向きを分けて考えてみてください。

よくあるのは、高1が自作の測定表や実験結果を復習し、観測してから都合のよい仮定に置き換える場面です。例えば、表が多く出た後に「もともと表が出やすいはず」と基準を変えると、最初に確かめたかった問いが見えなくなります。観測した事実と、比較のためにいったん置く仮定は別のものです。どちらをどの順で決めたかを記録して、判断の筋道をたどります。

問いの形を先に読む

仮説検定の考え方では、ある仮定が成り立つとして実験を繰り返し、実際の観測と同じ程度かそれ以上に偏った結果がどのくらい現れるかを調べます。ここでの実験結果は、現実の観測を何度もやり直したものではありません。仮定の下での比較用の結果です。

出方の1つは、主張から比較する仮定と数える方向を選ぶ問題です。「表が出やすい」という主張なら、表の回数が多い側に注目します。別の型では、仮定を再現するために1回の実験を何回の試行で構成するか、各試行を独立とするかを説明します。さらに、得られた集計表から、あらかじめ決めた範囲の度数を足して相対度数を求める型があります。

数の小さい問題でも、仮定、観測、比較の方向を混ぜると結論が変わります。以下では自作の設定と集計を使い、割合は分数で正確に扱います。実験で得た割合は、その仮定の下での結果の起こりやすさの見積もりであり、仮定自体が正しい確率ではありません。

比較用の世界を組み立てる

調べたい主張が「表が出やすい」なら、比較の出発点として「各試行で表と裏が同じ程度に出る」と仮定できます。これは調べたい主張を先に認めることではなく、それと比べるための基準です。実物が公平だと証明したことにもなりません。試行とは、ここでは硬貨を1回投げて表か裏を記録することです。

図1のように、まず基準と主張を分け、観測の前に数え方を決めます。表が多いという主張に対しては、多い側の観測値以上を数えると決められます。一方、表か裏かを問わず偏りを調べるなら、中央から観測値と同じ距離以上離れた両側を数えるという設計もあります。この2つは違う問いです。

図1の各欄を埋める順番が大切です。基準は表裏が同程度、主張は表が多い、数える方向は表の回数が観測値以上です。観測後に裏の多い側へ変えると、別の問いに答えることになります。実験前に判定の基準も決め、その値以下なら仮定を退けるといった条件を明記します。基準は問題ごとの取り決めで、唯一の普遍的な数字ではありません。

比較実験の1回分は、実際の観測と同じ回数の試行から作ります。各試行の結果が前の結果に左右されないと仮定することを、ここでは独立と呼びます。例えば表が出た回数に応じて次の表の出やすさを変える方法は、その独立の仮定に合いません。1回分を記録したら回数を0に戻し、同じ条件で次の1回分を作ります。

実験全体の回数を分母、決めた条件に入る実験の回数を分子にしたものが相対度数です。観測とちょうど一致する回数だけでなく、それ以上に偏る回数を含めるかを先に決めます。反復を増やすと相対度数の変動は小さくなる傾向がありますが、増やすたびに必ず同じ値へ近づくわけではありません。

実物の観測に記録漏れがあった場合も考えます。未記録を裏と決めつけると、表の回数と総試行数の両方が事実とずれます。記録を確認できなければ結論を保留し、仮定を変えて埋め合わせないことが必要です。反復用の道具が途中で止まった場合は、完了した回数と止まった理由を残し、予定した回数を分母にしません。条件が保たれた完了分を使えるかを確認し、判断できなければ再実行します。

基本例題：4回を1組にする

ある硬貨について、表が出やすいかを調べます。観測前に、各回は独立で表と裏が同程度に出ると仮定し、4回投げた表の回数が観測値以上となる割合を調べると決めました。割合が1/10以下なら仮定を退けるという基準も事前に決めます。実際の観測は4回中4回が表でした。

比較実験では、乱数の初期値を27とし、同じ条件の4回を1組として100組作りました。表の回数0、1、2、3、4に対応する組数は順に6、22、42、23、7でした。条件に入る相対度数を分数で求め、事前の基準による判断を述べてください。

図2のように、1組の中に4回の試行があり、100組はその組を繰り返したものです。表の回数ごとの度数を足すと100組になり、集計の分母と一致します。

観測値は4回なので、4回以上に入るのは表が4回の組です。表が3回の組は観測値以上ではありません。したがって、条件に入る組数は7、相対度数は次のとおりです。

7/100
1/10 = 10/100
7/100 < 10/100

事前の基準以下なので、この実験の結果に基づき基準の仮定を退けます。表が出やすいという見方を支持する材料になりますが、仮定が誤っている確率が93/100だとはいえません。仮定が成り立つ場合にも、まれな結果が現れる可能性が残るからです。

この設計を観測の場面に戻してみます。観測は4回で、比較の1組も4回です。観測の表4回と比較する表4回の組は7組で、全100組のうち7組という分子と分母が対応しています。もし観測が3回だったなら、同じ事前の方向では3回と4回を足します。ただし、観測後にその境目を都合よく選び直すことはしません。

標準例題：観測と一致する組との違い

ある札を戻して混ぜ、印のある面が上になるかを5回調べます。各回は独立で、印のある面とない面が同程度に出るという仮定を置きます。観測前に「印のある面が出やすい」という主張を調べ、印の回数が観測値以上の組を数え、相対度数が1/5以下なら仮定を退けると決めます。観測では5回中4回が印のある面でした。

初期値71の比較実験を100組行うと、印の回数0から5に対する組数は順に6、18、26、32、11、7でした。観測とちょうど一致する割合と、判断に使う割合をそれぞれ分数で求め、結論を述べてください。

一致するのは4回の11組です。一方、事前に決めた条件は4回以上なので5回の7組も加えます。

一致する割合 = 11/100
4回以上の組数 = 11 + 7 = 18
判断に使う割合 = 18/100 = 9/50
1/5 = 10/50
9/50 < 10/50

基準以下なので仮定を退けます。総数は6 + 18 + 26 + 32 + 11 + 7 = 100組で、5回を1組とした集計です。仮に一致する11組しか数えなくても今回の判定は同じですが、求めた量は違います。別の表では判定も変わり得るため、偶然の一致で手順を正当化できません。札を毎回戻さなければ、前の結果が次の条件を変える場合があり、この比較実験をそのまま使えません。

発展例題：片側と両側を設計から分ける

ある円盤の2つの面をA、Bと呼びます。3回回す観測に先立ち、各回は独立でAとBが同程度に出ると仮定します。Aが多いかを調べる設計Pでは、Aの回数が観測値以上の組を数えます。どちらかに偏るかを調べる設計Qでは、Aの回数が中央の1.5から観測値と同じ距離以上離れた組を数えます。どちらも相対度数が1/4以下なら仮定を退けると事前に決めます。

観測はAが3回でした。初期値83で100組の比較実験を行ったところ、Aの回数0、1、2、3の組数は順に13、38、33、16でした。両設計の相対度数を分数で求め、それぞれ判断してください。

Pでは観測値3以上を数えます。Qでは観測値3と中央1.5の距離は1.5です。回数0も中央から1.5離れ、1と2は0.5離れます。よってQに入るのは0と3です。

Pの割合 = 16/100 = 4/25
Qの組数 = 13 + 16 = 29
Qの割合 = 29/100
1/4 = 25/100
16/100 < 25/100 < 29/100

Pでは仮定を退け、Qでは退けません。3回の観測に対して両方とも3回を1組にし、13 + 38 + 33 + 16 = 100組を分母にしています。問いと数える範囲が違うので、異なる判断は矛盾しません。観測後に小さい方の割合を選ぶのではなく、調べたい主張に対応する設計を事前に選ぶ必要があります。

Qで退けないことは、AとBが同程度だと証明したことではありません。今回の基準では、仮定の下で観測程度の偏りが十分にまれとは判断しなかった、という意味です。また、100組という有限の実験では別の乱数列により組数が変わり得ます。境界に近い場合は、事前の方法に従って反復を増やすなど、見積もりの不確かさを考えます。

誤りを見つける場所

「標準例題で4回が11組だから、5回の7組を除いて判断する」という答えは、観測と一致する割合としては正しいものの、4回以上という条件には合いません。原因は、観測した値と、比較に入れる範囲を同じものとして扱ったことです。図3のように、観測値に線を引き、その線を含む右側の欄を集計して修正します。

図3では4回と5回の組数を足し、18組とします。ちょうど一致する11組の欄も範囲の一部ですが、範囲全体ではありません。逆に、問題が「ちょうど4回」を尋ねるなら7組を足さず、11組と答えます。問いの語に合わせて欄を選びます。

もう1つの誤りは、観測後に仮定を「表が多く出る」と取り換え、その下では珍しくないから問題なしとすることです。基準を変えると比較する相手が変わります。最初の仮定と観測を別々に書き、最初の問いに戻して判断します。仮定自体が現実に合うかを検討することは必要ですが、それは観測に合わせて無記録で差し替えることとは異なります。

実験用の道具が失敗した場合も、出力された数字を無条件に採用しません。例えば100組を予定して40組で停止したのに、成功した組数を100で割ると割合が小さくなります。途中までの40組の条件と記録が確認できなければ、割合を計算せず実験をやり直します。異常な入力や記録漏れに気づいたときも、0回として数えるのではなく、何が欠けたかを確かめます。

練習：先に設計、後で集計

次の5問はそれぞれ独立した自作の設定です。比較実験の各試行は独立で、2つの結果は同程度に出ると仮定します。割合は既約分数で答えてください。各問の基準と方向は観測前に決めたものです。

1. 色札を戻しながら4回引き、赤の回数が多いかを調べます。観測は赤3回、条件は3回以上、基準は1/3以下です。初期値91の100組で赤の回数0から4の組数は2、26、42、19、11でした。割合と判断を求めてください。
2. 2回の点灯を1組として、青が多いかを調べます。観測は青2回、条件は2回以上、基準は1/4以下です。初期値103の100組で青の回数0から2の組数は18、55、27でした。割合と判断を求めてください。
3. 5回の回転を1組として、白が多いかを調べます。観測は白4回、条件は4回以上、基準は3/20以下です。初期値117の100組で白の回数0から5の組数は1、16、43、26、12、2でした。一致する割合と条件に入る割合、判断を求めてください。
4. 3回の抽選を1組として、印のある結果が多いかを調べます。観測は印3回、条件は3回以上、基準は1/10以下です。初期値129の100組で印の回数0から3の組数は10、37、39、14でした。割合と判断を求めてください。
5. 4回の操作を1組として、右と左のどちらかへの偏りを調べます。観測は右4回、中央の2回から観測と同じ距離以上を数え、基準は1/10以下です。初期値141の100組で右の回数0から4の組数は2、26、44、24、4でした。割合と判断を求めてください。

練習の答えと解き方

1. 3回以上は3回と4回です。観測も比較の1組も4回で、全組数は2 + 26 + 42 + 19 + 11 = 100です。

条件に入る組数 = 19 + 11 = 30
割合 = 30/100 = 3/10
3/10 < 1/3

基準以下なので仮定を退けます。比較は3回を含むため、4回の11組だけを使いません。

2. 2回以上は2回の27組です。全組数18 + 55 + 27 = 100、観測と各組はともに2回です。

割合 = 27/100
1/4 = 25/100
27/100 > 25/100

基準を超えるので仮定を退けません。これは青とそれ以外が同程度だと証明したという意味ではありません。

3. ちょうど4回は12組、4回以上は12組と2組です。合計は1 + 16 + 43 + 26 + 12 + 2 = 100組で、各組の試行は観測と同じ5回です。

一致する割合 = 12/100 = 3/25
条件に入る組数 = 12 + 2 = 14
条件に入る割合 = 14/100 = 7/50
3/20 = 15/100
14/100 < 15/100

条件に入る割合は基準以下なので仮定を退けます。一致する割合と判断に使う割合の分子を区別します。

4. 3回以上は14組です。全組数は10 + 37 + 39 + 14 = 100で、観測も比較も3回を1組とします。

割合 = 14/100 = 7/50
1/10 = 10/100
14/100 > 10/100

基準を超えるので仮定を退けません。観測が3回でも、比較実験では14組に現れたという事実を読みます。

5. 中央2から観測4までの距離は2です。0も距離2なので、0回と4回を足します。全組数は2 + 26 + 44 + 24 + 4 = 100で、各組は観測と同じ4回です。

条件に入る組数 = 2 + 4 = 6
割合 = 6/100 = 3/50
1/10 = 5/50
3/50 < 5/50

基準以下なので仮定を退けます。右が多い側のみを数える問いとは異なり、左に同程度偏った0回も含めます。

要点を手元に残す

基準の仮定と調べたい主張を分けます。
観測前に比較方向と判定基準を決めます。
観測と同じ試行回数を1組にして独立に反復します。
条件に入る組数を完了した全組数で割ります。
退けないことは仮定の証明ではありません。

答えに迷ったときの点検

個別指導で確かめるなら、まず答案の余白に「仮定」「観測」「数える範囲」を別々に書いてもらいます。仮定の欄に観測した回数が入っていれば、比較のために置く条件と実際の結果を取り違えているかを確認します。次に1組に含まれる試行数と、組を反復した回数を指で追い、分母がどちらを表すか尋ねます。

集計表では、観測値の欄に印を付けた後、主張の方向に応じて隣の欄も含むか説明してもらいます。計算が合っていても、観測後に向きや基準を変えていれば判断の根拠は変わります。記録が欠けた場合には何を保留するかも言葉にすると、実験の結果を都合よく補わずに扱えます。仮定を固定して初めて、観測結果との距離を同じものさしで読めます。