高校数学C 正三角形の第三頂点—回転の二方向から候補を求めて向きを選ぶ｜武蔵野個別指導塾

2点を結ぶ辺から両側の候補を求め、向きと距離で選ぶ手順をたどり、正三角形の第三頂点を探ります。

よくあるのは、理系高3が正三角形の頂点を片側だけ求めるという場面です。図に1つ描けた点は確かに条件を満たしていても、辺の反対側にもう1点あるかもしれません。さらに、頂点をたどる向きが指定されると、2つの候補から一方を選ぶ必要があります。複素数の式にするときは、まず回転の中心と、そこから見た辺の向きを決めます。

何を固定して何を選ぶか

辺の両端 A、B が与えられて第三頂点 C を求める問題では、A から B へ向かう線分を A のまわりに 60°回します。反時計回りと時計回りの両方があるため、向きの指定がなければ候補は2点です。図に描いた一方が正しくても、それだけでは候補を数え終えていません。

別の型では、A、B、C の順に反時計回りに並ぶという条件が加わります。この場合は A から B への方向を基準にし、C がその左側にある候補を選びます。A と B の順を入れ替えると、基準方向も反転します。図の紙面で単に「上側」と覚えると、斜めの辺で判断を誤ります。

もう一つは、第三頂点が与えられた式や別の条件を満たすかを判定する型です。まず両方向の候補を式で出し、その後で追加条件に代入します。回転式を立てる前に片方を消すと、条件に合う解を取り逃がすことがあります。

60°の回転を辺に掛ける

点 A、B、C に対応する複素数をそれぞれ a、b、c とし、A と B は異なるとします。A から B への向きと長さを表す複素数は b − a です。原点中心に反時計回りに 60°回す複素数は

u = cos(π/3) + i sin(π/3)
  = (1 + √3 i)/2

です。|u| = 1 なので長さは変わりません。時計回りの 60°には u の共役 v = (1 − √3 i)/2 を使います。したがって、第三頂点の候補は

c = a + u(b - a)
c = a + v(b - a)

です。最初に a を引いて回転の中心を原点に移し、回転後に a を足して戻しています。a が 0 とは限らないので、b に直接 u を掛ける式とは区別します。

図1のように、同じ辺 AB から2方向へ回した点を C₊、C₋ とします。A から B を見て左側が C₊、右側が C₋ です。向き付き角 BAC はそれぞれ π/3、-π/3 ですが、三角形の内角はいずれも π/3 です。向き付き角は 2π の整数倍だけ異なる値を同じ向きとして扱います。

この式が必要十分であることも確かめます。正三角形なら AC = AB で、辺 AB から辺 AC への向きは反時計回りか時計回りに 60°です。よって c − a は u(b − a) または v(b − a) です。逆にどちらかの式が成り立てば、|u| = |v| = 1 なので AC = AB です。また u − 1 = (-1 + √3 i)/2、v − 1 = (-1 − √3 i)/2 も絶対値が1ですから、BC = |c − b| = AB です。3辺が等しく、確かに正三角形です。

a = b の場合は b − a = 0 となり、両式とも c = a を返します。しかし3点が重なって三角形にならないため、この場合は正三角形の第三頂点はありません。商 (c − a)/(b − a) を使う場合にも、分母が0でないという同じ条件が必要です。候補が2点に分かれる理由は u と v が異なり、b − a が非零だからです。

座標で向きを点検する方法もあります。b − a = p + qi、c − a = r + si とすると、ps − qr が正なら C は A から B へ向かう左側、負なら右側です。これは AB を水平右向きに回して考えたときの上下に対応します。正三角形の候補では値が0にならず、符号を使って向きを判定できます。

基本例題：水平な辺の両側

点 A、B を表す複素数が a = 1 + i、b = 5 + i です。AB を1辺とする正三角形の第三頂点を表す複素数を、根号を含む形で求めてください。向きの指定はありません。

A と B は異なり、b − a = 4 です。反時計回りの候補を c₊ とすると、順に

c₊ = a + u(b - a)
   = 1 + i + ((1 + √3 i)/2)・4
   = 1 + i + 2 + 2√3 i
   = 3 + (1 + 2√3)i

となります。時計回りの候補 c₋ は

c₋ = a + v(b - a)
   = 1 + i + ((1 - √3 i)/2)・4
   = 1 + i + 2 - 2√3 i
   = 3 + (1 - 2√3)i

です。答えはこの2つです。図2のように両候補は AB の中点の上下にあり、A から B へは右向きなので、上が反時計回りです。

図2の2点を距離でも確かめます。AB = 4 です。上側の候補からは c₊ − a = 2 + 2√3 i、c₊ − b = -2 + 2√3 i です。それぞれの絶対値の二乗は 4 + 12 = 16 なので、AC₊ = BC₊ = 4 です。下側でも虚部の符号が変わるだけで、2つの距離の二乗は16です。どちらも元の「AB を1辺とする」という条件に戻ります。

ここで 3 + 2√3 i と答えると、中心を戻すときの i が抜けています。回転するのは点 B の位置そのものではなく、差 b − a です。計算の途中に a + を残すと、平行移動を忘れにくくなります。

標準例題：斜めの辺と反時計回り

点 A、B を表す複素数を a = 2 − i、b = 4 + 2i とします。A、B、C の順に反時計回りとなる正三角形 ABC の頂点 C を表す複素数を、根号を含む形で求めてください。

A と B は異なり、b − a = 2 + 3i です。求める C は、A から B への方向を反時計回りに 60°回した先です。積を実部と虚部に分けます。

c - a = ((1 + √3 i)/2)(2 + 3i)
      = (2 + 3i + 2√3 i - 3√3)/2
      = (2 - 3√3)/2 + ((3 + 2√3)/2)i
c = (6 - 3√3)/2 + ((1 + 2√3)/2)i

最後の行では a = 2 − i を戻しました。向きを元の配置で確認します。p = 2、q = 3、r = (2 − 3√3)/2、s = (3 + 2√3)/2 なので、

ps - qr = 2・(3 + 2√3)/2 - 3・(2 - 3√3)/2
        = 13√3/2 > 0

です。C は AB の左側にあり、指定の反時計回りを満たします。また AB² = 2² + 3² = 13 です。回転倍率は1、さらに |u − 1| = 1 なので AC² = BC² = 13 です。向きと3辺をともに元の問題へ戻せました。

斜めの辺では C の虚部が B より大きいかどうかだけでは左右を判定できません。向きの判定は、A から B へ向かう方向を基準にすることが分かれ目です。時計回りと指定されたら u を v に変え、同様に符号が負であることを調べます。

発展例題：追加条件で候補を選ぶ

点 A、B を表す複素数が a = -2 + 2i、b = 2 + 2i です。AB を1辺とする正三角形の第三頂点 C のうち、原点からの距離が小さい点を表す複素数を、根号を含む形で求めてください。

向きが直接指定されていないので、先に両候補を作ります。b − a = 4 より、

c₊ = -2 + 2i + 4(1 + √3 i)/2
   = (2 + 2√3)i
c₋ = -2 + 2i + 4(1 - √3 i)/2
   = (2 - 2√3)i

です。原点からの距離はそれぞれ |2 + 2√3|、|2 − 2√3| です。√3 > 1 なので後者は 2√3 − 2、前者は 2 + 2√3 です。前者から後者を引くと4で正ですから、求める点は c = (2 − 2√3)i です。

選んだ点について c − a = 2 − 2√3 i、c − b = -2 − 2√3 i です。両方の絶対値の二乗は 4 + 12 = 16、AB² も16です。また原点からの距離は他の候補より4小さいため、追加条件も満たします。距離を比べる際に虚部 2 − 2√3 をそのまま距離とせず、絶対値を取ることが必要です。

別の解き方では、候補が AB の中点から上下へ等しい距離にあることを利用できます。ただし中点が実軸より上にあるだけで、下側の点の虚部が正とは限りません。原点との距離を比べる最後の段階で絶対値を外す向きを確認します。

片方しか出ない答案を直す

次のような答案を考えます。「a と b が異なるので、c = a + u(b − a)。よって第三頂点はこの点です」。この式自体は反時計回りの候補を正しく表しています。誤りは、その条件だけで時計回りの候補を排除しているところです。

図3のように、AB の両側で3辺の長さが等しくなります。問題に向きの条件がなければ、v を掛けた候補も書きます。向きの条件があれば2候補のうちどちらを選んだかを説明し、残りを除く根拠を示します。

別の誤りは c = ub とすることです。これは原点を中心に B を回した点であり、A を中心に回した点とは一般に一致しません。たとえば基本例題では ub は 5 + i を原点のまわりに回しますが、求めたいのは A からの差 4 を回す操作です。a + u(b − a) と書き、引く中心と戻す中心が同じかを点検します。

さらに、a = b でも形式的な式をそのまま答えにすると、重なった3点を三角形と誤認します。先に A と B が異なるかを調べ、異ならなければ三角形が存在しないと結論します。図だけでは重なりに気づきにくい場合も、差 b − a を計算すれば確認できます。

練習：5つの条件を読み分ける

次の各問では、複素数を根号を含む a + bi の形で答えてください。該当する点がない場合は、その理由を答えてください。

1. a = -3、b = 3 のとき、AB を1辺とする正三角形の第三頂点をすべて求めてください。
2. a = 1 − 2i、b = 1 + 2i のとき、A、B、C の順に時計回りとなる正三角形の C を求めてください。
3. a = -1 + i、b = 1 + 3i のとき、AB を1辺とする正三角形の第三頂点のうち、実部が大きい点を求めてください。
4. a = 2 + 3i、b = 2 + 3i のとき、AB を1辺とする正三角形の第三頂点を求めてください。
5. a = -4 − i、b = 2 − i のとき、AB を1辺とする正三角形の第三頂点のうち、虚部が正の点を求めてください。

練習の答えと確かめ方

1. 向きを指定しない場合

b − a = 6 で、両端は異なります。2方向を計算すると、

c₊ = -3 + 6(1 + √3 i)/2 = 3√3 i
c₋ = -3 + 6(1 - √3 i)/2 = -3√3 i

です。答えは 3√3 i、-3√3 i です。どちらも A、B との差の絶対値の二乗は 3² + (3√3)² = 36 で、AB² = 36 と一致します。実部が0の上下2点は異なり、どちらも元の辺を持ちます。

2. 時計回りを選ぶ場合

b − a = 4i です。時計回りの係数 v を掛けます。

c = 1 - 2i + ((1 - √3 i)/2)・4i
  = 1 - 2i + 2i + 2√3
  = 1 + 2√3

答えは 1 + 2√3 です。A から B は上向きで、C は右側にあるので時計回りです。c − a = 2√3 + 2i、c − b = 2√3 − 2i の絶対値の二乗はいずれも 12 + 4 = 16、AB² も16です。距離と向きの両方を満たします。

3. 実部で候補を比較する場合

b − a = 2 + 2i です。両方向を計算します。

c₊ = -1 + i + (1 + √3 i)(1 + i)
   = -√3 + (2 + √3)i
c₋ = -1 + i + (1 - √3 i)(1 + i)
   = √3 + (2 - √3)i

実部は -√3 と √3 なので、答えは √3 + (2 − √3)i です。選んだ点の A からの差は (1 + √3) + (1 − √3)i、B からの差は (√3 − 1) − (1 + √3)i です。それぞれの絶対値の二乗は 8 となり、AB² = 2² + 2² = 8 に一致します。もう一方の実部が小さいことも選択条件へ戻して確認しました。

4. 端点が重なる場合

b − a = 0 なので A と B は同じ点です。長さ0の線分を1辺とする正三角形はできず、該当する第三頂点はありません。回転式から c = a を得ても3点が一致し、三角形という元の条件を満たしません。商を作って判断する方法も分母が0になるため使えません。

5. 虚部の符号で選ぶ場合

b − a = 6 ですから、

c₊ = -4 - i + 6(1 + √3 i)/2
   = -1 + (-1 + 3√3)i
c₋ = -4 - i + 6(1 - √3 i)/2
   = -1 + (-1 - 3√3)i

です。√3 > 1 より -1 + 3√3 > 0、-1 − 3√3 < 0 です。答えは -1 + (-1 + 3√3)i です。選んだ点と A、B との差はそれぞれ 3 + 3√3 i、-3 + 3√3 i で、絶対値の二乗はともに36です。AB² = 36 なので辺の条件も満たします。

手元に残す要点

• A と B が異なることを先に確かめます。
• b − a に (1 ± √3 i)/2 を掛け、a を戻します。
• 指定がなければ両側、指定があれば基準方向から選びます。
• 各候補を距離と向きの条件へ戻します。

答案で片側しか出ていないときは、回転の符号を書き落としたのか、向きの条件で選んだのかを区別して読みます。個別指導では、まず生徒に A から B への矢印とその左側を描いてもらい、次に c − a = u(b − a) の各差がどの線分を表すかを確かめます。a = b の場合も尋ねると、公式を使う前提まで理解しているか見えます。両側の候補と元の条件を結び直すことで、正三角形の答えの個数が定まります。