高校数学II 2次方程式の作成—変換した二つの解の和と積から式を作る｜武蔵野個別指導塾

元の2解を移動、逆数、二乗で変換したときの和と積を求め、解の重なりまで含めて方程式を組み立てます。

よくあるのは、高2の高校生が二乗した二つの解が同じになる場合を落とすという場面です。元の解が異なれば、二乗後も異なると考えたくなります。しかし、一方が他方に -1 を掛けた数なら、二乗すると同じ値になります。新しい解の和と積を求める方法なら、この重なりも含めて方程式を作れます。元の解を求める必要があるか、逆数を取れるかも順に点検しましょう。

要点（結論から）

• 新しい2解の和 S と積 P から、x² − Sx + P = 0 を作ります。
• 逆数を取る前に、元の解の積が零でないか調べます。
• 二乗和は元の和の二乗から積の2倍を引きます。

何を変えて何を作るか

問題の出方には、元の2解に同じ数を加える型、2解の逆数を取る型、2解をそれぞれ二乗する型があります。いずれも新しい2解を先に決め、その和と積を係数へ戻す点が共通です。元の方程式の係数を書き換えるだけでは、どの操作が各解に作用したのか見失いやすくなります。

逆数の型では、計算を始める前に元の解がどちらも零でないことを確かめます。二乗の型では、元の2解が異なっていても結果が重なることに注意します。また、係数を含む問題では、元の式が本当に2次方程式であるかを最初に確かめます。ここでは複素数の解も含めて扱い、図は解と係数の対応を表します。

数学IIの範囲にある2次方程式の解と係数の関係を使い、変換後の解から方程式を作ります。求める式の最高次係数を1と指定すれば、同じ解を持つ定数倍の式との区別も明確です。

和と積を橋にする

2次方程式 ax² + bx + c = 0 の係数 a, b, c は実数で、a ≠ 0 とします。重解を含めた2解を α, β とおけば、解と係数の関係から

α + β = -b/a
αβ = c/a

です。実数解に限らず、複素数の解でも成立します。重解のときも同じ値を2回数えます。新しい2解を u, v とすると、その2解を持ち x² の係数が1である方程式は、因数を展開して

(x - u)(x - v) = 0
x² - (u + v)x + uv = 0

となります。和の前にはマイナスが付くことに気をつけます。u = v のときも左辺は (x − u)² ですから、式は2次のままです。

図1のように、元の2解から新しい2解へ移り、その和と積を使って式へ進みます。元の式の係数を直接変えるのではなく、解にどの操作を施したかを真ん中に置きます。

図1の流れは、個々の解が根号を含んでも使えます。たとえば新しい解が α + t, β + t なら、和は α + β + 2t、積は αβ + t(α + β) + t² です。積では両方の括弧を掛けるため、t² も必要です。

逆数の場合は αβ ≠ 0 が条件です。このとき和は (α + β)/(αβ)、積は 1/(αβ) です。積が零なら少なくとも一方の解が零で、求められない逆数があります。二乗の場合は、和が (α + β)² − 2αβ、積が (αβ)² です。和を二乗した式には 2αβ が含まれるので、それを引いて調整します。

基本例題：同じ数を加える

方程式 x² − 5x + 3 = 0 の2解を α, β とします。α + 2, β + 2 を2解とする、x² の係数が1の2次方程式を求めましょう。

元の式の最高次係数は1なので、解と係数の関係を使えます。元の2解の和と積は次のとおりです。

α + β = 5
αβ = 3

図2のように各解へ2を加えてから、新しい和と積を別々に作ります。和に加わる2は1回ではなく2回です。

図2の対応を式に直します。新しい和を S、積を P とすると、

S = (α + 2) + (β + 2)
  = α + β + 4
  = 5 + 4
  = 9
P = (α + 2)(β + 2)
  = αβ + 2(α + β) + 4
  = 3 + 2・5 + 4
  = 17

したがって求める方程式は x² − 9x + 17 = 0 です。和が9なので、一次の係数は -9 です。元の式の定数項3に2を足す操作では、積に現れる交差項を表せません。

別の確かめ方として、新しい解を x とすると元の解は x − 2 です。元の方程式の文字に x − 2 を入れると、

(x - 2)² - 5(x - 2) + 3 = 0
x² - 4x + 4 - 5x + 10 + 3 = 0
x² - 9x + 17 = 0

となり、同じ式に戻ります。移動後の文字から元の文字へ戻すため、代入するのは x + 2 ではなく x − 2 です。この逆向きの確認は、和と積で求めた係数の符号を点検するときに役立ちます。

標準例題：逆数を取れるか先に調べる

方程式 2x² − 7x + 4 = 0 の2解を α, β とします。1/α, 1/β を2解とする、x² の係数が1の2次方程式を求めましょう。

まず2次の係数は2で零ではありません。解と係数の関係から、

α + β = 7/2
αβ = 2

です。積が2で零ではないため、α も β も零ではありません。ここで初めて両方の逆数を使えます。新しい和と積を求めると、

1/α + 1/β = (α + β)/(αβ)
              = (7/2)/2
              = 7/4
(1/α)(1/β) = 1/(αβ)
              = 1/2

したがって、求める式は x² − (7/4)x + 1/2 = 0 です。両辺を4倍した 4x² − 7x + 2 = 0 も同じ解を持ちますが、指定された最高次係数は1なので前者を答えます。

元の条件へ戻して検算します。新しい解を x とすると、x ≠ 0 で元の解は 1/x です。元の式に代入し、零でない x² を掛けると次のようになります。

2(1/x)² - 7(1/x) + 4 = 0
2 - 7x + 4x² = 0
x² - (7/4)x + 1/2 = 0

最後の式の定数項は零でないので、x = 0 は解に紛れ込みません。逆数の条件と変形後の式の両方を点検できました。

もし元の定数項が零であれば、解の積も零です。そのときは零の逆数が存在しないため、指定された2つの逆数を解とする式は作れません。途中で零による割り算が現れた後に計算を続けても、失われた条件は回復しません。

発展例題：二乗で解が重なる

実数 k について、方程式 x² − 2kx − 9 = 0 の2解を α, β とします。α², β² を2解とする、x² の係数が1の方程式を k を用いて求め、重解となる k の値も求めましょう。

元の式は k の値によらず2次です。解と係数の関係から、

α + β = 2k
αβ = -9

です。新しい2解の和と積は、

α² + β² = (α + β)² - 2αβ
           = (2k)² - 2・(-9)
           = 4k² + 18
α²β² = (αβ)²
       = (-9)²
       = 81

したがって求める方程式は x² − (4k² + 18)x + 81 = 0 です。重解となる条件を調べるには、新しい2解が等しい条件 α² = β² に戻ります。

α² - β² = 0
(α - β)(α + β) = 0

元の式の判別式は 4k² + 36 で、実数 k に対して正です。よって元の2解は異なり、α − β ≠ 0 です。したがって α + β = 0、つまり 2k = 0 から k = 0 です。

逆に k = 0 なら元の式は x² − 9 = 0 で、2解は3と -3 です。二乗するとどちらも9となり、新しい方程式は (x − 9)² = 0 です。元の2解が異なることを確認したうえで、二乗後の一致まで確かめられます。

判別式からも確かめられます。新しい式の判別式を D とすると、

D = (4k² + 18)² - 4・81
  = 16k⁴ + 144k²
  = 16k²(k² + 9)

実数 k なら k² + 9 > 0 ですから、D = 0 となるのは k = 0 です。判別式を使う方法でも、重解の原因を解の符号まで説明するには、元の2解へ戻ることが有効です。

二乗後の式の定数項81は、2解の積を二乗した結果です。元の積が負でも、二乗後の積は正になります。一方、和は元の和を二乗するだけでは求まりません。この2つの式を混同しないよう、まず新しい解を α² と β² と書いてから、それぞれの和と積を計算します。

また、重解を持つ方程式を作るとき、異なる解の値が1種類だからといって一次式 x − 9 = 0 にしてはいけません。指定は2次方程式で、9を2回数えるため (x − 9)(x − 9) = 0 とします。逆に、同じ値を2回数えたからといって異なる実数解が2個あるとは言えません。値の種類と重複度を分けて読むことが必要です。

誤答をたどって直す

発展例題で「元の判別式が正だから、二乗した解も異なる」と判断すると、k = 0 を落とします。図3のように、異なる数3と -3 は二乗によって同じ9へ移ります。

図3では矢印が2本とも同じ値を指しています。誤りの原因は、異なる入力が変換後も異なるという保証を、二乗に持ち込んだことです。差の積への分解に戻れば、α = β のほか α = -β でも二乗が一致するとわかります。

もう一つの誤りは、和の二乗をそのまま二乗和とすることです。たとえば上の発展例題で (α + β)² = 4k² として終えると、交差項 2αβ = -18 を取り除いていません。元の k = 0 の場合、新しい解は9と9なので和は18です。誤った式では和が0となり、具体的な値への代入で矛盾が見つかります。

逆数でも、式の形だけを見て分母を入れ替える前に積を調べます。片方が零のときは逆数の2解という条件自体が成立しません。変形の途中で止まった理由を、元の解の条件へ言い直すことが修正の第一歩です。

練習：解を変えた後の式を作る

各問で、求める2次方程式の x² の係数は1とします。重解は同じ値を2回数えます。

1. x² − 4x + 1 = 0 の2解にそれぞれ3を加えた数を2解とする方程式を求めてください。
2. x² + 3x − 2 = 0 の2解からそれぞれ1を引いた数を2解とする方程式を求めてください。
3. 3x² + 5x − 2 = 0 の2解の逆数を2解とする方程式を求めてください。
4. x² − 6x + 2 = 0 の2解をそれぞれ二乗した数を2解とする方程式を求めてください。
5. 実数 a に対して x² − ax − 16 = 0 の2解をそれぞれ二乗した数を2解とする方程式を求め、その方程式が重解となる a の値を求めてください。

答えと解き方

1. 元の解の和は4、積は1です。新しい和は 4 + 6 = 10、新しい積は 1 + 3・4 + 9 = 22 です。答えは x² − 10x + 22 = 0 です。新しい解から3を引いて元の式に入れると、(x − 3)² − 4(x − 3) + 1 = x² − 10x + 22 となります。

2. 元の解の和は -3、積は -2 です。新しい和は -3 − 2 = -5、新しい積は -2 − (-3) + 1 = 2 です。答えは x² + 5x + 2 = 0 です。元の解は新しい解に1を加えた数なので、(x + 1)² + 3(x + 1) − 2 = x² + 5x + 2 と戻して確かめます。

3. 元の解の和は -5/3、積は -2/3 です。積が零ではないため逆数を取れます。新しい和は (-5/3)/(-2/3) = 5/2、積は -3/2 です。答えは x² − (5/2)x − 3/2 = 0 です。元の式の x に 1/x を代入して x² を掛けると 3 + 5x − 2x² = 0 となり、整理すると同じ答えです。

4. 元の解の和は6、積は2です。新しい和は 6² − 2・2 = 32、積は 2² = 4 です。答えは x² − 32x + 4 = 0 です。実際、元の解は 3 + √7 と 3 − √7 であり、二乗した値は 16 + 6√7 と 16 − 6√7 です。その和は32、積は 16² − (6√7)² = 4 となり、求めた式に対応します。

5. 元の解の和は a、積は -16 です。二乗した解の和は a² + 32、積は256なので、答えは x² − (a² + 32)x + 256 = 0 です。元の判別式は a² + 64 > 0 ですから、元の解は異なります。二乗後に重なる条件は元の2解の和が零となる a = 0 です。実際、元の解は4と -4、新しい解はともに16で、答えの式は (x − 16)² = 0 に戻ります。

要点

• 新しい2解の和 S と積 P から、x² − Sx + P = 0 を作ります。
• 逆数を取る前に、元の解の積が零でないか調べます。
• 二乗和は元の和の二乗から積の2倍を引きます。
• 異なる2解の和が零なら、その二乗を解とする方程式は重解をもちます。

つまずきを見分けるには

解答が合わないときは、まず新しい2解を文字で書いてみてください。和が正しいのに定数項が違うなら、2つの括弧の積を展開し、交差項と定数同士の積を点検します。一次の係数の符号が違うなら、「係数は和にマイナスを付けたもの」と声に出し、因数の積へ戻します。

個別指導で確かめるなら、「元の解が零のとき逆数は何か」「3と -3 を二乗した後の2解は何か」と問い、答えと理由をそれぞれ式にしてもらいます。新しい解を作る操作と、そこから係数を決める操作が区別できれば、重なりも除外条件も見落としにくくなります。方程式を作る道筋は、変換後の2解を丁寧に数えるところから始まります。