高校数学II 2倍角を含む方程式—同じ角の式へそろえ零になる因子も拾う｜武蔵野個別指導塾

sin 2θを展開した後、零になり得るsin θを因子として残します。cos 2θを二次式に替えた解も、余弦の範囲と照合できます。

よくあるのは、高2がsin 2θを展開した後、両辺をsin θで割って計算を進める場面です。残った式から角を求める手順が正しくても、sin θが0となる角は割った時点で調べる対象から消えています。計算を短くする前に、0になりうる式を見つけ、その場合も元の方程式に戻して確かめましょう。

どの形にそろえるか

2倍角と元の角が混じる方程式では、まず2θの関数をθの関数に直します。sin 2θは2 sin θ cos θとなるので、もう一方の項にsin θがあれば、移項してsin θをくくれます。積が0なら少なくとも一方の因子が0です。この形なら、割り算で消える可能性のある解も並べて調べられます。

一方、cos 2θとcos θが混じるときは、cos 2θ = 2 cos²θ − 1を使うとcos θの二次方程式にできます。ここでcos²θは(cos θ)²を表します。sin θにそろえたいときはcos 2θ = 1 − 2 sin²θが便利です。sin²θも(sin θ)²の意味です。どちらを選ぶかは、式の残りにある関数を見て決めます。

最後に角の区間と端点を点検します。途中で得た値が三角関数の取りうる範囲に入らない場合、対応する角はありません。二次方程式の解を得たことと、もとの角が存在することは別の確認です。

積が0になる道筋

すべての実数θで、2倍角の関係はsin 2θ = 2 sin θ cos θです。また、cos 2θ = 2 cos²θ − 1とcos 2θ = 1 − 2 sin²θも成り立ちます。方程式を解くときは、これらを使う前後で等式が同値になるように移項し、因数分解します。

図1のように、積が0になる道は左右の因子に分かれます。どちらかが0なら積は0であり、どちらも0でなければ積も0ではありません。両方の枝に同じ角が現れたときは、答えに1回書きます。

図1ではsin θ = 0の枝も残っています。sin θで割る操作は、その値が0でない場合にしか許されません。割りたい場合は先にsin θ = 0を別に調べ、残りのsin θ ≠ 0で割る必要があります。因数分解ならその場合分けを積の形で表せます。

例えばsin θ = 0となる角は、単位円で縦座標が0の位置です。指定区間が0 ≤ θ < 2πならθ = 0, πです。2πも同じ位置ですが、右端を含まないので答えには入れません。角の位置が同じでも、指定された数の範囲に入るかは別に判断します。

基本例題：共通因子を残す

問題　0 ≤ θ < 2πで、sin 2θ = sin θを解きなさい。答えはπを用いて区間内の角をすべて列挙します。

まず2倍角を展開し、右辺を左辺へ移します。すべての変形は実数θについて成り立ち、0になる可能性のある式で割りません。

sin 2θ = sin θ
2 sin θ cos θ = sin θ
2 sin θ cos θ - sin θ = 0
sin θ(2 cos θ - 1) = 0

したがってsin θ = 0、または2 cos θ − 1 = 0です。前者からθ = 0, πを得ます。後者はcos θ = 1/2なので、単位円の横座標を調べるとθ = π/3, 5π/3です。図2のように、横座標が1/2となる2点と、縦座標が0となる2点を別々に拾います。

図2で軸上の点と縦の線上の点は重なりません。よって答えはθ = 0, π/3, π, 5π/3です。元の式に戻すと、0とπでは両辺が0です。π/3では両辺が√3/2、5π/3では両辺が-√3/2となります。4つとも指定区間内にあり、2πは含まれません。

答えを一つ見つけて終わらず、各因子の条件から区間内の位置を探すことが大切です。sin θ = 0の枝を調べずに後半だけ解くと、代入すれば成立する0とπを失います。

標準例題：余弦の二次式に直す

問題　0 ≤ θ < 2πで、cos 2θ = -cos θを解きなさい。答えはπを用いて区間内の角を列挙します。

cos θにそろえるため、cos 2θ = 2 cos²θ − 1を使います。t = cos θとおけば、単位円の横座標なので-1 ≤ t ≤ 1です。

2 cos²θ - 1 = -cos θ
2 cos²θ + cos θ - 1 = 0
2t² + t - 1 = 0
(2t - 1)(t + 1) = 0

よってt = 1/2またはt = -1です。どちらも-1以上1以下なので角に戻せます。cos θ = 1/2からθ = π/3, 5π/3、cos θ = -1からθ = πです。後者は単位円の左端の1点であり、同じ角を2回数えません。

原式で確認すると、π/3と5π/3ではcos 2θ = -1/2、-cos θ = -1/2です。πでは両辺が1です。答えはθ = π/3, π, 5π/3です。二次方程式を解いた後にtの範囲を見ることで、計算上の値と角として実現する値を区別できます。

発展例題：範囲外の値を除く

問題　0 ≤ θ < 2πで、cos 2θ = 3 cos θ − 1を解きなさい。答えはπを用いて区間内の角を列挙します。

再びt = cos θと置きます。-1 ≤ t ≤ 1であることを記録してから、2倍角の式を代入します。

2 cos²θ - 1 = 3 cos θ - 1
2t² - 3t = 0
 t(2t - 3) = 0

t = 0またはt = 3/2ですが、3/2はcos θの範囲外です。したがってcos θ = 0からθ = π/2, 3π/2を得ます。この2つではcos 2θ = -1、3 cos θ − 1 = -1なので原式に戻しても成立します。

もしt = 3/2を角に戻そうとしても、単位円に横座標3/2の点はありません。二次方程式の解が誤りなのではなく、置換した変数には範囲があるということです。逆に範囲内の値については、指定区間に対応する角があるかをさらに調べます。

誤答から戻る：割る前の枝を残す

基本例題で次のように進めたとします。

2 sin θ cos θ = sin θ
2 cos θ = 1
θ = π/3, 5π/3

2行目への移行はsin θ ≠ 0なら正しいものの、sin θ = 0かもしれない状態で割っています。そのため答えが足りません。図3のように、分岐の片方が消えた状態です。消えた枝を調べるとθ = 0, πが得られ、どちらも元の式を満たします。

図3の修正では、まず左辺を0にそろえて積を作ります。因子を0と置く2つの条件をそれぞれ解き、その和集合を答えにします。別の修正方法として、最初にsin θ = 0を扱い、sin θ ≠ 0のときに限って割ることもできます。ただし後者では、割った後の候補がsin θ ≠ 0を満たすかも確認します。

また、二乗を含む式で平方根を取る場合には符号の両方を調べ、二乗によって得た候補は元の式に代入します。変形後の式を満たすことだけでは、元の条件を満たすとは限らないためです。答えの確認は最後に付け足す作業ではなく、途中の操作で増減した候補を整理する作業です。

計算の順序を選ぶ

cos 2θには複数の形がありますが、どの形も同じ角に対して等しい式です。cos θの一次項が隣にあればcosの二次式を選び、sin θの一次項が隣にあればsinの二次式を選ぶと、未知数を1種類にできます。選択を誤ってもすぐに間違いとは限りませんが、異なる関数が残ると次の整理が必要です。まず何を一つの文字に置くかを決めてから公式を選ぶと、変形の目的を見失いません。

解の個数を数える前に

因数分解が終わったら、各枝を独立に解く一方で、最後に重複を取り除きます。例えばsin θ = 0とcos θ = 1が同時に現れる方程式なら、θ = 0は両方の枝に属します。それぞれの枝で見つけた回数を足すと同じ角を二重に数えるので、角の一覧を作ってから重なりを消します。0と2πも単位円上では同じ点ですが、角としては異なる数です。区間が0 ≤ θ ≤ 2πなら両端をそれぞれ調べ、原式を満たせば両方を答えます。

反対に、因子の一方に対応する角がないこともあります。cos θ = 2という条件が現れた場合、余弦の値の範囲を超えるため、その枝からは角が出ません。他方の因子が0となる角まで捨てる必要はありません。積が0になる条件は各枝の和集合なので、片方が空でも残りの枝が答えを持つことがあります。

式の両辺に共通する関数が見えても、移項前に約分する必要はありません。まず片側を0にそろえ、積に直すと、解を落とさない理由が見える形になります。展開と因数分解の符号が不安なら、積をもう一度展開して移項後の式に戻るか確かめます。その後で各角を原式に代入すれば、式の処理と角の読み取りを別々に点検できます。

問題文が区間を指定するときは、一般角を出した後に整数を適切に選ぶ方法もあります。ただし、整数を選ぶ段階で端点の不等号を確認しなければ、正しい一般角からも範囲外の角を拾ってしまいます。単位円上の位置と指定された数の区間は、両方を使って答えを絞ります。

練習問題

いずれも0 ≤ θ < 2πとし、答えはπを用いて該当する角をすべて列挙してください。必要なら解なしと答えます。

1. sin 2θ = -sin θを解きなさい。
2. sin 2θ = √2 sin θを解きなさい。
3. cos 2θ = cos θを解きなさい。
4. cos 2θ = 1 + sin θを解きなさい。
5. cos 2θ = 4 cos θ − 3を解きなさい。

練習の答えと解き方

1

2倍角を展開し、左辺に移します。

2 sin θ cos θ = -sin θ
sin θ(2 cos θ + 1) = 0

sin θ = 0からθ = 0, πです。cos θ = -1/2からθ = 2π/3, 4π/3です。答えはθ = 0, 2π/3, π, 4π/3です。0とπでは原式の両辺が0です。残る2つでは、左辺と右辺がそれぞれ-√3/2、√3/2で一致します。

2

同じように共通因子を残します。

2 sin θ cos θ = √2 sin θ
sin θ(2 cos θ - √2) = 0

sin θ = 0からθ = 0, πです。cos θ = √2/2からθ = π/4, 7π/4です。答えはθ = 0, π/4, π, 7π/4です。後の2つを原式へ戻すと、両辺は順に1、-1です。軸上の2つも両辺が0となり、区間内に入ります。

3

cos θ = tとします。-1 ≤ t ≤ 1を踏まえ、2倍角を置き換えます。

2t² - 1 = t
2t² - t - 1 = 0
(2t + 1)(t - 1) = 0

t = -1/2, 1はともに範囲内です。答えはθ = 0, 2π/3, 4π/3です。0では両辺が1、残る2つでは両辺が-1/2です。2πでは同じ値を取りますが、指定区間の右端を含まないため入りません。

4

sin θ = tとします。-1 ≤ t ≤ 1であり、cos 2θ = 1 − 2 sin²θを選びます。

1 - 2t² = 1 + t
2t² + t = 0
t(2t + 1) = 0

t = 0, -1/2です。sin θ = 0からθ = 0, π、sin θ = -1/2からθ = 7π/6, 11π/6です。これが答えです。前の2つでは原式の両辺が1、後の2つでは両辺が1/2です。cosの式でもsinの二次式に直せるのは、残りの項がsin θだからです。

5

cos θ = tと置き、-1 ≤ t ≤ 1で考えます。

2t² - 1 = 4t - 3
2t² - 4t + 2 = 0
2(t - 1)² = 0

t = 1です。区間内ではθ = 0だけが対応します。原式に代入すると両辺が1であり、答えはθ = 0です。重解ということは二次式の因子が重なることを示しますが、角を2回書くことは意味しません。

覚えておくこと

2倍角を元の角の関数にそろえます。
積の因子が0になる場合をそれぞれ調べます。
置換した値の範囲と角の区間を確認します。
候補を元の方程式へ戻します。

つまずきを見分ける

式を見てすぐに公式を選べないときは、残っている項に下線を引き、それと同じ関数にそろえられるかを説明してみましょう。sin 2θから積が現れた場合には、どの因子が0になりうるかを先に声に出すと、割り算の条件が見えます。二次式が解けるのに角が出ない場合は、置換した値の範囲と単位円上の座標を対応させて点検します。

個別指導で確かめるなら、因数分解の各枝を自力で書けるか、区間の端を含むか、最後に原式へ戻せるかを順に見ます。正答の個数だけで判断せず、落とした枝とその理由をたどります。零の因子を残す一行が、解の見通しを変えます。