高校数学II 半角の公式—二乗の式から角の範囲を調べ平方根の符号を選ぶ｜武蔵野個別指導塾

π < θ < 3π/2を半分にすると、半角は第2象限に移ります。二乗から平方根を取る符号と、半角の正接が存在する条件を結び付けます。

θが第3象限にあると聞いて、sin(θ/2)にも負の符号を付けたくなることがあります。しかし、例えばπ < θ < 3π/2なら、両端を2で割るとπ/2 < θ/2 < 3π/4です。半分の角は第2象限にあり、正弦は正です。元の角の位置は出発点で、符号を決める場所は半分の角です。平方根を付ける前に範囲を書き直す習慣を作りましょう。

要点（結論から）

• 二乗の公式で大きさを求め、半角の範囲で符号を決めます。
• 範囲を2で割り、軸上の0も別に点検します。
• 正接は元の余弦と、使う公式の分母をそれぞれ確認します。

どのように使うか

半角の公式が役立つ場面は大きく3つあります。1つ目は、cos θが与えられていて、半分の角の正弦や余弦を厳密に求める場面です。まず二乗の値を求め、次にθ/2の位置から符号を決めます。二乗の値がわかることと、元の値が正か負かがわかることは別です。

2つ目は、π/8のように、2倍すると値を知っている角になる場合です。2倍した角をθと見れば、元の角がθ/2になります。角を半分にする向きと、計算に使う角を2倍する向きを取り違えないようにしましょう。

3つ目は半角の正接です。正接には分母があり、公式の形によって必要な条件も違います。分母が0ならその形は使えません。さらに、元のtan(θ/2)自体が定義されるかを別に確かめます。式の形だけを覚えて分数に数を入れると、この2つの確認が抜けやすくなります。

二乗から半分の角へ

以下、sin²xは(sin x)²、cos²xは(cos x)²を表します。正弦と余弦はすべての実数角で定義され、sin²x + cos²x = 1です。加法定理から得られる2倍角の式にx = θ/2を入れると、次の2つの形が得られます。

cos θ = 1 - 2 sin²(θ/2)
sin²(θ/2) = (1 - cos θ)/2

cos θ = 2 cos²(θ/2) - 1
cos²(θ/2) = (1 + cos θ)/2

どちらも二乗についての等式です。したがって、それぞれの値は平方根に正負を付けた候補から選びます。右辺が0なら値は0で、正負を選ぶ必要はありません。cos θは-1以上1以下なので根号の中は負になりません。

sin(θ/2) = ±√((1 - cos θ)/2)
cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ)/2)

ここでの±は、いつでも2つとも答えるという意味ではありません。θの範囲からθ/2の範囲を求め、単位円の縦座標で正弦、横座標で余弦の符号を見ます。軸上なら0になるかどうかを直接調べます。図1のように、例えばπから3π/2までの開区間を半分にすると、半角はπ/2から3π/4までの開区間です。

図1では元の角が第3象限でも、半角の正弦は正、余弦は負です。範囲に端が含まれるときは、2で割った後もその端を含めて軸上の値を確認します。また、θを2πだけ変えてもcos θは変わりませんが、θ/2はπだけ変わり、正弦と余弦の符号は反転します。cos θの値だけから符号までは決まらない理由です。

正接については、cos(θ/2)が0でないとき、定義から次が成り立ちます。

tan(θ/2) = sin(θ/2)/cos(θ/2)
tan²(θ/2) = (1 - cos θ)/(1 + cos θ)

最後の分母が0でないことはcos(θ/2)が0でないことと同じです。平方根を使う場合も、半角の象限から正接の符号を選びます。さらに2倍角のsin θ = 2 sin(θ/2) cos(θ/2)を用いると、次の形も得られます。

tan(θ/2) = sin θ/(1 + cos θ)

これは1 + cos θが0でないときに使えます。また、sin θが0でないときには次の形も使えます。

tan(θ/2) = (1 - cos θ)/sin θ

後者は分母がsin θなので、元の正接が定義されても使えない場合があります。例えばθ = 0ではtan(θ/2) = 0ですが、後者は0/0です。一方、θ = πでは半角の余弦が0で、元の正接自体が定義されません。両者を同じ「分母が0」として処理せず、元の式に戻って区別します。

基本例題：半角の位置を先に決める

π < θ < 3π/2、cos θ = -3/5とします。sin(θ/2)、cos(θ/2)、tan(θ/2)をそれぞれ根号と分数を用いた厳密値で求めてください。

図2のようにθは第3象限、θ/2は第2象限です。問題の範囲を2で割って確かめます。

π/2 < θ/2 < 3π/4

図2に示した範囲では半角の正弦は正、余弦は負です。まず正弦の二乗を求めます。

sin²(θ/2) = (1 - cos θ)/2
= (1 + 3/5)/2
= 4/5

正の平方根を選び、sin(θ/2) = 2√5/5です。同様に余弦は次のようになります。

cos²(θ/2) = (1 + cos θ)/2
= (1 - 3/5)/2
= 1/5

こちらは負なのでcos(θ/2) = -√5/5です。余弦が0でないため、正接は定義されます。

tan(θ/2) = (2√5/5)/(-√5/5)
= -2

答えを2倍角へ戻すと、cos²(θ/2) − sin²(θ/2) = 1/5 − 4/5 = -3/5です。また、半角は第2象限なので、得られた正・負・負という符号も範囲と一致します。元の角が第3象限にあることからsin θは負で、2 sin(θ/2) cos(θ/2) = -4/5という結果とも合います。

標準例題：特殊角から厳密値へ

π/8の正弦、余弦、正接を根号と分数を用いた厳密値で求めてください。

π/8は第1象限にあり、正弦と余弦はともに正です。2倍した角π/4についてcos(π/4) = √2/2を使います。

sin²(π/8) = (1 - √2/2)/2
= (2 - √2)/4
sin(π/8) = √(2 - √2)/2

cos²(π/8) = (1 + √2/2)/2
= (2 + √2)/4
cos(π/8) = √(2 + √2)/2

正接を求めるには、1 + cos(π/4)が0でないことを確認し、sin(π/4) = √2/2を使います。

tan(π/8) = (√2/2)/(1 + √2/2)
= √2/(2 + √2)
= √2 - 1

2倍角に戻すと余弦の二乗から正弦の二乗を引いた値は√2/2です。積の2倍も√2/2となり、2倍した角π/4の正弦と一致します。π/8は第1象限なので、正接の正の値も位置に合います。根号が複雑でも、先に符号を決めておけば変形の途中で迷いにくくなります。

発展例題：同じ余弦でも範囲が違う

0 < θ < 4π、cos θ = 1/2とします。sin(θ/2)、cos(θ/2)、tan(θ/2)の組を、可能な組すべてについて根号と分数を用いた厳密値で求めてください。

単位円でcos θ = 1/2となる角を指定範囲に並べます。0と4πは含まず、そのどちらでも余弦は1です。

θ = π/3, 5π/3, 7π/3, 11π/3

半角は順にπ/6、5π/6、7π/6、11π/6です。したがって符号は順に、正弦と余弦の組で、正正、正負、負負、負正です。二乗の値はどの場合も同じです。

sin²(θ/2) = (1 - 1/2)/2
= 1/4
cos²(θ/2) = (1 + 1/2)/2
= 3/4

半角の余弦はいずれも0でないため正接も求まります。順に答えを書くと、次の4組です。

(1/2, √3/2, √3/3)
(1/2, -√3/2, -√3/3)
(-1/2, -√3/2, √3/3)
(-1/2, √3/2, -√3/3)

各組で余弦の二乗から正弦の二乗を引くと1/2に戻ります。さらに、対応するθを2倍前の範囲に戻すと4つとも0と4πの間です。同じcos θでも、元の角が1周を越える場合には半角の位置が変わります。θの象限を1周分だけで判定すると後半の2組を失います。

誤答を直す：符号と分母を分ける

基本例題で「θが第3象限だからsin(θ/2)も負」として-2√5/5とするのは誤りです。図3のように、まず元の範囲を2で割り、半角の位置に移してから縦座標の符号を調べます。

原因は、θとθ/2の象限を同じものとして扱ったことです。図3の順序で、π < θ < 3π/2からπ/2 < θ/2 < 3π/4を得れば、正弦が正だとわかります。二乗の計算が正しくても、その後の平方根の符号を間違えることがあります。値の二乗だけを照合するのではなく、角の位置まで戻してください。

もう1つの誤りは、θ = 0で(1 − cos θ)/sin θを計算して0/0を0とすることです。0/0は値を表しません。この形が使えない理由はsin θ = 0だからです。元のtan(θ/2)はtan 0 = 0で、こちらは定義されます。θ = πなら半角はπ/2なので、元の正接も定義されません。分母が0になったら式変形を続けず、元の角で定義を点検することが修正の出発点です。

練習問題

各問で、値は根号と分数を用いた厳密値で答えてください。角を列挙する場合はπを用い、指定区間内のものをすべて挙げてください。

1. 0 < θ < π/2、cos θ = 5/13のとき、sin(θ/2)とcos(θ/2)を求めてください。
2. π/2 < θ < π、cos θ = -7/25のとき、tan(θ/2)を求めてください。
3. 3π/2 < θ < 2π、cos θ = 4/5のとき、sin(θ/2)とcos(θ/2)を求めてください。
4. 0 ≤ θ < 4π、cos θ = -1のとき、θを列挙し、それぞれのtan(θ/2)が定義されるか答えてください。
5. 0 ≤ θ < 4π、cos θ = 0のとき、sin(θ/2)とcos(θ/2)の組を可能なものすべて求めてください。

練習の解答と解説

1

0 < θ/2 < π/4なので正弦も余弦も正です。

sin²(θ/2) = (1 - 5/13)/2
= 4/13
cos²(θ/2) = (1 + 5/13)/2
= 9/13

よって、sin(θ/2) = 2√13/13、cos(θ/2) = 3√13/13です。二乗の差は9/13 − 4/13 = 5/13で、元の余弦に戻ります。両方が正という条件も半角の範囲に合います。

2

π/4 < θ/2 < π/2なので正接は正で、半角の余弦は0ではありません。

tan²(θ/2) = (1 + 7/25)/(1 - 7/25)
= 16/9
tan(θ/2) = 4/3

正接が4/3で半角が第1象限なら、正弦と余弦はそれぞれ4/5、3/5です。二乗の差は9/25 − 16/25 = -7/25となり、元の条件に戻ります。正負の候補のうち負は角の範囲と合わないため除きます。

3

3π/4 < θ/2 < πです。半角は第2象限なので正弦は正、余弦は負です。

sin²(θ/2) = (1 - 4/5)/2
= 1/10
cos²(θ/2) = (1 + 4/5)/2
= 9/10

答えはsin(θ/2) = √10/10、cos(θ/2) = -3√10/10です。二乗の差は9/10 − 1/10 = 4/5です。また積の2倍は-3/5で、θが第4象限にあることとも整合します。元の角の正弦が負であっても半角の正弦は正です。

4

単位円で余弦が-1となるのは、指定範囲ではθ = π、3πです。半角は順にπ/2、3π/2で、どちらも余弦が0です。したがって両方とも正接は定義されません。端の0は余弦が1、含まれない4πも余弦が1なので候補ではありません。どちらのθも2倍角に戻せば余弦が-1となり、指定範囲内にあります。

5

余弦が0となる指定範囲の角はπ/2、3π/2、5π/2、7π/2です。半角は順にπ/4、3π/4、5π/4、7π/4です。各象限の符号を使うと、求める組は次の4組です。

(√2/2, √2/2)
(√2/2, -√2/2)
(-√2/2, -√2/2)
(-√2/2, √2/2)

どの組でも二乗の差は0です。半角を2倍した4つの角はすべて指定範囲内にあり、単位円の縦軸上に戻ります。端点0では余弦が1、除かれる4πでも余弦は1なので、境界に候補はありません。

要点

• 二乗の公式で大きさを求め、半角の範囲で符号を決めます。
• 範囲を2で割り、軸上の0も別に点検します。
• 正接は元の余弦と、使う公式の分母をそれぞれ確認します。
• 結果を2倍角と元の範囲に戻して照合します。

つまずきの見分け方

二乗の計算が合っているのに値の符号が違うときは、θの範囲をθ/2の範囲に直す行を声に出して説明できるかを確かめます。範囲は正しいのに符号が違う場合は、単位円の横座標と縦座標のどちらを読んでいるかを見直します。軸を含む範囲では、象限の符号表だけでなく端点の値も調べます。

個別指導で確認するなら、同じcos θの値を保ったままθの範囲を2πずらし、半角の値がどう変わるかを説明してもらうと、符号を決める場所が見えます。正接ではθ = 0とθ = πを比べ、使おうとする分数の分母と元の正接の定義を別々に判定できるかを確かめます。答えが出た後も、2倍角に戻す計算と指定された範囲の確認までを一続きにします。