高校数学II 2倍角の公式—加法定理から導き与えられた値に合う形を選ぶ｜武蔵野個別指導塾

cos 2θを余弦だけで表す形と正弦だけで表す形を使い分けます。tan θが存在してもtan 2θを定義できない場合まで確かめます。

よくあるのは、高2の生徒がcos 2θを見て、cos θの値をそのまま2倍する場面です。例えばθ = π/3ならcos θ = 1/2ですが、cos 2θ = cos(2π/3) = -1/2です。2倍になるのは角であり、三角関数の値とは限りません。角を2回分にしてから値を読むことと、値を2倍することを区別すると、式の意味が見えてきます。

要点（結論から）

• 2倍角は角を2倍し、値を2倍する操作とは区別します。
• sin 2θは2 sin θ cos θです。
• cos 2θは差の形と、一方の二乗で表す2形を使い分けます。

どの情報から2倍角へ進むか

問題の出方は大きく3つあります。第1に、sin θとcos θの両方が与えられ、sin 2θを求める型です。積を2倍するので、両方の符号が結果に反映されます。第2に、sin θまたはcos θの一方が与えられ、cos 2θを求める型です。このときは二乗和の関係を利用した形を選ぶと、もう一方の値を平方根で求めずに済みます。

第3に、tan θからtan 2θを求める型です。こちらは分母が0にならないかという条件が加わります。分数の計算ができない場合は、元の角に戻ってtan 2θが定義されるかを調べます。式を暗記して数を入れる前に、何が与えられ、何が求められているかを並べてみましょう。

加法定理の同じ角を重ねる

θは任意の実数とし、角はラジアンで表します。sin θとcos θはどの実数の角でも定義されます。以下のsin²θは(sin θ)²、cos²θは(cos θ)²という意味です。加法定理の2つの角をともにθにすると、次のようになります。

sin(θ + θ) = sin θ cos θ + cos θ sin θ
sin 2θ = 2 sin θ cos θ
cos(θ + θ) = cos θ cos θ - sin θ sin θ
cos 2θ = cos²θ - sin²θ

図1のように、加法定理の2つの角を同じθにしてから、同じ積をまとめます。左辺の2は角に付いています。右辺の2は2つの等しい積をまとめた係数です。この2の役割は同じではありません。

cosの式にはさらに選択肢があります。すべての実数θについてsin²θ + cos²θ = 1なので、まずsin²θを1 − cos²θに置き換えます。

cos 2θ = cos²θ - (1 - cos²θ)
cos 2θ = 2 cos²θ - 1

逆にcos²θを1 − sin²θに置き換えると、次の形になります。

cos 2θ = (1 - sin²θ) - sin²θ
cos 2θ = 1 - 2 sin²θ

この3形は同じ値を表します。両方の値を知っているなら差の形、cos θを知っているならcos²θの形、sin θを知っているならsin²θの形が使いやすいでしょう。後の2形では与えられた値の符号が二乗で消えます。ただし、sin 2θを求めるときは積の符号が残るため、同じ判断をしてはいけません。

正接は分母の確認が必要です。cos θ ≠ 0かつcos 2θ ≠ 0のとき、tan θとtan 2θが定義されます。sin 2θをcos 2θで割り、さらに分子と分母を0でないcos²θで割ると、次の式です。

tan 2θ = (2 sin θ cos θ)/(cos²θ - sin²θ)
tan 2θ = (2 tan θ)/(1 - tan²θ)

cos θ ≠ 0のもとでは、cos 2θ = cos²θ(1 − tan²θ)です。したがって分母が0でない条件はtan θ ≠ 1かつtan θ ≠ -1と言い換えられます。tan θが定義されていても、tan 2θが定義されるとは限りません。またcos θ = 0の場合はこの分数形を使えませんが、2θの正接が定義される場合があります。公式が使えないことと、求める値そのものが存在しないことは別に調べます。

基本例題：cosの値から形を選ぶ

問題　0 < θ < π/2、cos θ = 3/5とします。cos 2θを分数で求めてください。

角は第1象限にあり、条件は単位円の座標として実現します。求めるのはcosの2倍角で、与えられた値もcosなので、cos 2θ = 2 cos²θ − 1を選びます。図2のように、与えられた横座標を二乗してから2倍し、1を引きます。

cos 2θ = 2 cos²θ - 1
cos 2θ = 2・(3/5)² - 1
cos 2θ = 18/25 - 1
cos 2θ = -7/25

答えは-7/25です。元の条件からsin θは正で、sin²θ = 1 − 9/25 = 16/25なのでsin θ = 4/5です。元の差の形へ戻しても9/25 − 16/25 = -7/25となります。単位円の横座標3/5と縦座標4/5は二乗和が1で、指定された第1象限にも合っています。

ここでcos 2θを2・(3/5) = 6/5とすると、単位円の横座標の範囲を超えます。範囲を超えれば明らかな誤りですが、範囲内に収まっても正しいとは限りません。角を2倍しているのか、値を2倍しているのかを式に戻って確かめる必要があります。

標準例題：象限から積の符号を決める

問題　π/2 < θ < π、sin θ = 5/13とします。sin 2θとcos 2θをそれぞれ分数で求めてください。

第2象限ではsin θ > 0、cos θ < 0です。sin 2θには両方の値が要りますから、まず二乗和からcos θを求めます。平方根の正負は第2象限という条件で決めます。

cos²θ = 1 - sin²θ
cos²θ = 1 - 25/169
cos²θ = 144/169
cos θ = -12/13

したがって、積の形を用います。

sin 2θ = 2 sin θ cos θ
sin 2θ = 2・(5/13)・(-12/13)
sin 2θ = -120/169

cos 2θには、与えられたsin θをそのまま使える形を選びます。

cos 2θ = 1 - 2 sin²θ
cos 2θ = 1 - 2・(5/13)²
cos 2θ = 119/169

答えはsin 2θ = -120/169、cos 2θ = 119/169です。元の座標(-12/13, 5/13)は二乗和が1で第2象限にあります。2θはπと2πの間なので、sin 2θが負という符号も範囲に合います。cosについても差の形に戻すと144/169 − 25/169 = 119/169です。2θが第3象限か第4象限かを範囲だけで決めず、計算した座標を見て判断します。

発展例題：正接が定義されるかを先に調べる

問題　次の各条件でtan 2θを求めてください。値が存在しない場合はその理由を示し、存在する場合は分数で答えてください。

(ア) cos θ ≠ 0、tan θ = -3/4

(イ) θ = 3π/4

(ウ) θ = π/2

(ア)ではtan θが定義され、1 − tan²θ = 1 − 9/16 = 7/16 ≠ 0です。したがってcos 2θも0でなく、正接の公式を使えます。

tan 2θ = (2・(-3/4))/(1 - (-3/4)²)
tan 2θ = (-3/2)/(7/16)
tan 2θ = -24/7

元の条件を確かめるため、cos θ ≠ 0からsin θ = (-3/4) cos θとおくと、二乗和よりcos²θ = 16/25、sin²θ = 9/25です。よってcos 2θ = 7/25、sin 2θ = -24/25となり、その商は-24/7です。tan θが同じ2つの動径のどちらでも、両方の符号が同時に反転するため結果は変わりません。

(イ)ではtan θ = -1なので、分数形の分母は0です。実際に2θ = 3π/2で、cos 2θ = 0ですからtan 2θは定義されません。0で割った値を答えにせず、元の定義まで戻します。

(ウ)ではcos θ = 0なのでtan θは定義されず、tan θによる公式を使えません。しかし2θ = πでcos 2θ = -1、sin 2θ = 0です。したがってtan 2θ = 0です。公式の適用条件が失われた場合も、求める角の正接を直接調べれば答えが出ます。

誤答をどう直すか

図3のように、cos 2θを2 cos θと置く誤りは、2がかかる対象を取り違えています。θ = π/3なら左辺は-1/2、誤った右辺は1です。1つの反例で、すべてのθについて成り立つ式ではないとわかります。修正するときは、まずcos(θ + θ)と書いて加法定理を使います。

別の誤りは、tan θ = 1のときに分母0の式を無理に計算することです。原因は、正接がcosを分母に持つことを忘れる点にあります。cos θ ≠ 0でtan θ = 1ならcos 2θ = cos²θ(1 − tan²θ) = 0なので、tan 2θは定義されません。一方、cos θ = 0ではtan θ自体が使えないため、同じ分母の判定に進めません。2θを直接調べる道に切り替えます。

さらに、sin θだけを知ってcos 2θを求める場面で、cos θの符号を根拠なく決める誤りもあります。cos 2θ = 1 − 2 sin²θなら符号を決める必要はありません。しかしsin 2θは符号によって変わるので、必要な場合には角の範囲が与えられているかを確認します。情報不足を計算の勢いで埋めないことも条件判断です。

練習問題

角はラジアンとします。値は分数または整数による厳密値で答え、定義されない場合は理由も示してください。

1. 0 < θ < π/2、sin θ = 7/25のとき、cos 2θを求めてください。
2. π < θ < 3π/2、cos θ = -8/17のとき、sin 2θを求めてください。
3. cos θ ≠ 0、tan θ = 2/5のとき、tan 2θを求めてください。
4. θ = π/4のとき、tan θとtan 2θをそれぞれ調べてください。
5. 3π/2 < θ < 2π、sin θ = -5/13のとき、sin 2θとcos 2θを求めてください。

練習問題の解答と解説

1

sin θが与えられているので、cos 2θ = 1 − 2 sin²θを使います。θは第1象限で、与えられた正の値は条件に合います。

cos 2θ = 1 - 2・(7/25)²
cos 2θ = 1 - 98/625
cos 2θ = 527/625

答えは527/625です。第1象限なのでcos θ = 24/25です。座標の二乗和は1であり、差の形でも576/625 − 49/625 = 527/625となります。与えられた縦座標に戻しても矛盾しません。

2

第3象限ではsin θ < 0です。二乗和と符号から次のように求めます。

sin²θ = 1 - cos²θ
sin²θ = 1 - 64/289
sin²θ = 225/289
sin θ = -15/17

sin 2θ = 2・(-15/17)・(-8/17)
sin 2θ = 240/289

答えは240/289です。元の座標(-8/17, -15/17)は第3象限で二乗和が1です。2θは2πと3πの間にあり、正弦が正という答えとも合います。負の値どうしの積を正にする点を確認しましょう。

3

cos θ ≠ 0で、1 − tan²θ = 1 − 4/25 = 21/25 ≠ 0なので公式を使えます。

tan 2θ = (2・(2/5))/(1 - (2/5)²)
tan 2θ = (4/5)/(21/25)
tan 2θ = 20/21

答えは20/21です。元の条件からsin θ = (2/5) cos θ、二乗和からcos²θ = 25/29です。したがってsin 2θ = 20/29、cos 2θ = 21/29となり、その商も20/21です。元の比2/5から出発した値に戻して照合できます。

4

θ = π/4ではsin θ = cos θ = √2/2なので、tan θ = 1です。ところが2θ = π/2でcos 2θ = 0ですから、tan 2θは定義されません。分数形の分母も1 − 1² = 0となり、直接の判定と一致します。

5

第4象限なのでcos θ > 0です。与えられたsin θから、cos²θ = 1 − 25/169 = 144/169、cos θ = 12/13です。

sin 2θ = 2・(-5/13)・(12/13)
sin 2θ = -120/169
cos 2θ = 1 - 2・(25/169)
cos 2θ = 119/169

答えはsin 2θ = -120/169、cos 2θ = 119/169です。元の点(12/13, -5/13)は第4象限で二乗和が1です。2θは3πと4πの間なので、正弦が負という符号も角の範囲に合います。余弦は差の形でも144/169 − 25/169 = 119/169です。

要点

• 2倍角は角を2倍し、値を2倍する操作とは区別します。
• sin 2θは2 sin θ cos θです。
• cos 2θは差の形と、一方の二乗で表す2形を使い分けます。
• tanの分数形はcos θ ≠ 0かつ1 − tan²θ ≠ 0で使います。
• 公式が使えない場合は、元の角で求める値の定義を調べます。

つまずきを見分けるには

まずcos 2θと2 cos θの違いを、具体的な角を使って説明できるか確かめます。次にsin θだけが与えられたとき、cos 2θなら符号を決めずに進める理由と、sin 2θならcos θの符号が必要な理由を比べます。式を選ぶ段階で止まるのか、平方根の符号で止まるのかを分けると、直す場所が見えます。

個別指導で確認するなら、正接の分母が0の例と、そもそもtan θが定義されない例を並べ、どの角のcosを調べているか言葉にしてもらいます。その後で元の定義へ戻して答えを照合します。角と値、それぞれの役割が見えれば、2倍角の式を条件に合わせて選べます。