高校数学II 正接の加法定理—分母の条件を確認して和と差の値を求める｜武蔵野個別指導塾

分母が0になる和や、元の正接が定義されない角を区別することが、値の有無を決める正接の加法定理です。

よくあるのは、高2が正接の加法定理に数を入れ、分母が0になった計算結果をそのままtanの値とする場面です。分母が0になったときは、割り算を続けることはできません。和の角が実際にどの向きを指し、その正接が定義されるかを調べる必要があります。

一方、公式に入れる前のtan αが定義されなくても、和の角の正接は定義されることがあります。使えない式と、値そのものが存在しないことは別の判断です。この違いを、公式の導き方から追います。

どの条件を先に見るか

正接の和や差の問題には、主に3つの型があります。1つ目は、2つの正接の値が与えられ、和または差の値を求める型です。分子に値を入れる前に、それぞれの正接が定義され、公式の分母も0でないかを調べます。

2つ目は、角そのものが与えられる型です。公式の入力となる角の正接が定義されなければ、式に代入できません。そのときも求める角の正弦と余弦から、正接があるかを調べられます。

3つ目は、文字を含む値で分母が0になる場合を分ける型です。分母が0になる条件を単なる計算上の注意として残すのでなく、和や差の角の余弦と結び付けます。正接がない理由まで説明すると、計算が途中で止まっても結論を出せます。

正接の商から公式へ

任意の角 θ に対し、cos θ が0でないとき、tan θ = sin θ/cos θ です。cos θ が0のときは、この商を定義しません。図1のように、和の公式は3つの余弦に関する条件を持ちます。

図1では、左の2条件が入力の正接の存在、右の条件が求める正接の存在を表します。まず正弦と余弦の加法定理を使うと、次の式が得られます。

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β

cos α、cos β、cos(α + β) がいずれも0でないとします。このとき、求める正接を上の2式の商で表し、分子と分母を0でない cos α cos β で割れます。

tan(α + β) = sin(α + β)/cos(α + β)
= (sin α cos β + cos α sin β)/(cos α cos β - sin α sin β)
= (tan α + tan β)/(1 - tan α tan β)

ここで、公式の分母が0でないことも、元の条件から保証されます。実際、cos α cos β が0でないので、次の関係があります。

1 - tan α tan β = cos(α + β)/(cos α cos β)

したがって、入力の2つの正接が定義されるとき、和の公式の分母が0であることと、cos(α + β) が0であることは同じです。その場合は和の正接が定義されません。0で割った商を、特別な数として扱うことはできません。

差の場合も同じ考え方です。cos α、cos β、cos(α − β) がいずれも0でないとき、正弦と余弦の差の公式から次を得ます。

tan(α - β) = (tan α - tan β)/(1 + tan α tan β)
1 + tan α tan β = cos(α - β)/(cos α cos β)

和では分母が引き算、差では分母が足し算です。分子と分母の符号を別々に記憶するより、余弦の加法定理に戻ると根拠をたどれます。なお、分母が0かどうかを調べる式自体もtan αとtan βの存在を前提とします。入力が定義されないときは、その式による判定に進まず、元の角を調べます。

基本例題：和の角を1つにする

0 < α < π/2、0 < β < π/2 とし、tan α = 1/2、tan β = 1/3 とします。tan(α + β) を分数の厳密値で求めてください。

両角は第1象限なのでcos α、cos βは正であり、入力の正接は定義されています。次に公式の分母を計算します。

1 - tan α tan β = 1 - (1/2)(1/3)
= 1 - 1/6
= 5/6

5/6は0でないため、和の角の余弦も0ではありません。図2のように、それぞれの傾きを足しても、和の正接の値が単純に5/6になるわけではありません。分母による調整まで含めます。

tan(α + β) = (1/2 + 1/3)/(1 - (1/2)(1/3))
= (5/6)/(5/6)
= 1

したがって答えは1です。元の条件への確認として、第1象限でtan α = 1/2なら、単位円上の座標は (2/√5, 1/√5) です。同様にβの座標は (3/√10, 1/√10) です。どちらも座標の二乗和が1で、縦座標を横座標で割ると指定された値に戻ります。

これらを正弦と余弦の和の公式に入れると、和の正弦と余弦はいずれも5/√50です。余弦が0でなく、商が1となるため、元の和の角についても答えを確認できます。図2の分母5/6はこの余弦を cos α cos β で割った値に対応します。

もし分子の5/6を答えにしてしまったら、和の正弦を求める段階と正接を求める段階が混ざっています。正接は正弦を余弦で割った値なので、分母を計算し、0でないことを確認してから割ります。

標準例題：差では符号と分母を分ける

0 < α < π/2、-π/2 < β < 0 とし、tan α = 2、tan β = -1/4 とします。tan(α − β) を分数の厳密値で求めてください。

両角の余弦は正です。差の公式では分母が 1 + tan α tan β となるので、負の値を含めて先に調べます。

1 + tan α tan β = 1 + 2(-1/4)
= 1 - 1/2
= 1/2

分母は0でなく、差の角の正接が定義されます。分子の引き算では、負の数を引くことに注意します。

tan(α - β) = (2 - (-1/4))/(1 + 2(-1/4))
= (9/4)/(1/2)
= 9/2

座標で元に戻してみます。αの座標は (1/√5, 2/√5)、βの座標は (4/√17, -1/√17) です。差の正弦は9/√85、余弦は2/√85なので、商は9/2です。それぞれの座標から元の正接2と-1/4も再現されます。

分母を 1 − 2(-1/4) とする誤りは、和の公式を差にそのまま持ち込んだものです。また、分子を 2 − 1/4 とするとβの負号を失います。演算の記号と、代入する数の符号を別々に書くと区別できます。

発展例題：公式が使えない理由を分ける

次の各場合について、指定された正接が定義されるかを判定し、定義される場合は分数または根号を用いた厳密値を求めてください。

(ア) 0 < α < π/2、0 < β < π/2、tan α = 2、tan β = 1/2 のときの tan(α + β)。

(イ) α = π/2、β = π/6 のときの tan(α + β)。

(ア) では、αとβは第1象限なので入力の正接が存在します。公式の分母は次のとおりです。

1 - tan α tan β = 1 - 2(1/2)
= 0

入力の余弦はどちらも0でないので、先ほどの関係から cos(α + β) = 0 です。よって tan(α + β) は定義されません。分子は5/2ですが、5/2を0で割って値を得ることはできません。

元の角の条件も確認します。αの単位円上の座標は (1/√5, 2/√5)、βの座標は (2/√5, 1/√5) です。和の余弦は2/5 − 2/5 = 0、和の正弦は1です。指定された各正接にも戻るので、和の角の動径は縦軸の正の向きであり、正接が定義されないという結論と一致します。

(イ) では cos α = 0 なので tan α は定義されず、正接の加法定理の右辺を作れません。しかし求める角は α + β = 2π/3 です。この角の余弦は-1/2で0ではありません。

tan(α + β) = sin(2π/3)/cos(2π/3)
= (√3/2)/(-1/2)
= -√3

和の角は第2象限にあり、正弦が正、余弦が負なので、答えの符号も適切です。入力の正接が存在しないことと、求める和の正接が存在しないことは一致するとは限りません。

誤答を分解して直す

図3の左側は、発展例題(ア)で分母が0になった後も計算を進める誤りです。右側は、入力が使えない例(イ)を和の角で調べ直す道筋です。

誤答は「分母が0だから答えは0」です。原因は、分母が0の割り算と、分子が0で分母が0でない割り算を混同したことにあります。後者なら商は0ですが、前者には商が定義されません。入力の正接がある場合は、図3のように和の余弦が0だと示し、正接は定義されないと結論します。

別の誤答は「tan α がないから tan(α + β) もない」です。原因は、公式の右辺を使う条件と、左辺の定義条件を同一視することです。入力が使えない場合は α + β を直接調べます。余弦が0でなければ、正弦を余弦で割って値を求められます。

逆に、分子が0でも分母が0でないかは必要です。たとえば入力が定義され、差の公式の分子が0なら、積は同じ数の二乗であり、分母は1以上です。このとき差の正接は0です。分子と分母のどちらが0かを読み違えず、まず割り算が成立するかを見ます。

練習問題

各問の角はラジアンです。値を求める問題では、分数または根号を用いた厳密値で答えてください。定義されない場合は、その理由も示してください。

1. 0 < α < π/2、0 < β < π/2、tan α = 1/4、tan β = 1/5 とします。tan(α + β) を求めてください。
2. 0 < α < π/2、0 < β < π/2、tan α = 3、tan β = 1/3 とします。tan(α + β) を判定してください。
3. -π/2 < α < 0、0 < β < π/2、tan α = -1/3、tan β = 1/2 とします。tan(α − β) を求めてください。
4. α = π/2、β = π/4 とします。tan(α − β) を判定し、存在すれば求めてください。
5. α、βの正接が定義され、tan α = t、tan β = -2 とします。tan(α − β) が定義されない実数 t を求め、それ以外の t で tan(α − β) を t の式で表してください。

練習問題の答えと解き方

1

第1象限の2角では入力の正接が定義されます。和の公式の分母は 1 − 1/20 = 19/20 で、0ではありません。

tan(α + β) = (1/4 + 1/5)/(1 - (1/4)(1/5))
= (9/20)/(19/20)
= 9/19

座標をそれぞれ (4/√17, 1/√17)、(5/√26, 1/√26) とすると、元の正接は1/4、1/5に戻ります。和の正弦と余弦はそれぞれ9/√442、19/√442であり、商も9/19です。

2

入力の正接は存在しますが、和の公式の分母は 1 − 3(1/3) = 0 です。よって和の余弦が0となり、tan(α + β) は定義されません。

α、βの座標を (1/√10, 3/√10)、(3/√10, 1/√10) とすれば、元の正接は3と1/3です。和の余弦は3/10 − 3/10 = 0、正弦は1となり、元の和の角でも結論を確認できます。

3

指定範囲では両方の余弦が正なので、入力の正接が存在します。差の公式の分母は 1 + (-1/3)(1/2) = 5/6 であり、0ではありません。

tan(α - β) = (-1/3 - 1/2)/(1 + (-1/3)(1/2))
= (-5/6)/(5/6)
= -1

対応する座標は (3/√10, -1/√10)、(2/√5, 1/√5) です。縦を横で割ると問題の値に戻ります。差の正弦は-5/√50、余弦は5/√50で、商は-1です。

4

cos α = 0 なので入力の tan α は定義されず、正接の差の公式は使えません。ただし、差の角は π/4 です。その余弦は√2/2で0ではありません。

tan(α - β) = tan(π/4)
= (√2/2)/(√2/2)
= 1

差の角を元の π/2 − π/4 に戻すとπ/4です。求めた正接は定義され、値は1です。入力が未定義であることだけを理由に、差の正接まで未定義とは判定できません。

5

入力の正接が定義されるため、差の余弦が0になる条件は、差の公式の分母が0になる条件と同値です。

1 + tan α tan β = 1 - 2t
1 - 2t = 0
 t = 1/2

したがって t = 1/2 のとき差の正接は定義されません。t ≠ 1/2 では分母が0でないので、次の式を使えます。

tan(α - β) = (t - (-2))/(1 + t(-2))
= (t + 2)/(1 - 2t)

t = 1/2 を元の差の余弦と入力の余弦の積の関係に戻すと、差の余弦が0です。また、入力の正接がともに定義される角はこの値でも存在します。たとえば第1象限のαをtan α = 1/2、第4象限のβをtan β = -2 と選べます。従って、除外した値は単なる計算上の空白ではありません。

覚えておくこと

和の分母は 1 − tan α tan β、差の分母は 1 + tan α tan β です。
入力の正接と求める角の正接が定義されるかを先に調べます。
入力が定義されるとき、分母0は求める角の余弦0と同値です。
入力が未定義なら、求める角を直接調べます。

つまずきの見分け方

計算が合わないときは、最初に「どの角の余弦が0でない必要があるか」を言葉にしてみます。αとβの条件だけを答えた場合は、和や差の余弦を確認する段階が抜けています。公式の分母と余弦の関係を書き、0になる場合を元の角へ戻しましょう。

個別指導では、符号を入れた分子の計算、分母が0かどうか、入力が未定義のときの別の調べ方を順に説明できるかを確かめます。途中で公式が使えなくなっても、角に戻れば判断は続けられます。割り算の条件を残すことが、正接の値の有無を決めます。