高校数学II 加法定理による値の計算—角の分け方と象限をそろえて厳密値を求める｜武蔵野個別指導塾

π/12を2つの特殊角の差で表し、符号と象限から厳密値を求める鍵は加法定理です。

よくあるのは、高2が差の公式を使う際に、sinの2項の引き算を逆にしてしまう場面です。計算を続ければ根号を含む数は出ますが、それが求める角の値とは限りません。たとえば正の鋭角のsinが負になったら、分けた角の順番から点検できます。角の表し方、公式への代入、値の符号という3つをつなぎ、答えを求めます。

どの値から始めるか

出方には大きく2つあります。1つ目はπ/12のように、そのままでは値を覚えていない角を、値のわかる角の和や差に直す型です。π/12 = π/3 − π/4と分ければ、π/3とπ/4のsinとcosを使えます。和と差のどちらでも表せる場合は、先に角の等式を通分して確かめてから公式を選びます。

2つ目は、角そのものではなくsin αなどの値と、αが属する範囲が与えられる型です。加法定理にはsinとcosの両方が現れるので、足りない値を相互関係で求めます。その際、二乗の値だけから符号は決まりません。角の範囲を見て、単位円の横座標と縦座標の符号を選びます。

値を求めた後も、和や差の角がどの範囲にあるかを見直します。象限が決まれば正負の点検ができます。ただし符号が合うことは、式の各項や根号の計算まで正しい証明にはなりません。公式の項ごとの対応と元の条件も確認します。

和と差の角に対応する項

αとβを実数の角とすると、正弦と余弦の加法定理は次の形です。角はラジアンで表します。ここでは公式を使って値を計算し、公式自体の導出は扱いません。

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β
cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β
cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β

sinの式では、最初の角にsinを付けた積が先です。差の場合は、そこから最初の角にcosを付けた積を引きます。cosの式では、cosどうしの積とsinどうしの積を並べ、和の角なら引き、差の角なら足します。図1のように、角の順と各項の符号を別々に追うと混同を減らせます。

図1の上段では、左の角αが各積の先にあります。差のsinは順序を入れ替えると符号が反対になるため、先にαとβを何にするか書いておくことが役立ちます。一方、差のcosは2項がともに加算され、角の順を入れ替えても値は変わりません。

既知の値が1つしかない場合は、sin²θ + cos²θ = 1を使います。ここでsin²θは(sin θ)²を意味し、cos²θも同様です。θが実数ならこの関係が成り立ちます。たとえばsin θ = 3/5からはcos²θ = 16/25ですが、cos θは4/5と-4/5のどちらも候補です。第2象限なら横座標は負なので、cos θ = -4/5と選びます。範囲が与えられなければ符号を勝手に決められません。

単位円では、横座標がcos、縦座標がsinです。和や差の角が負の場合にも、正の向きに1周を加えると同じ点に戻ります。そこから符号を点検できます。数値の近似は答えの代わりにはせず、根号と分数のまま整理します。

基本例題：差に分ける

問題。sin(π/12)を、根号と分数を用いた厳密値で求めてください。

π/12は第1象限の角です。答えのsinは正になるはずです。まず、値のわかる2つの角を引き算で結びます。

π/12 = 4π/12 - 3π/12
π/12 = π/3 - π/4

図2のように、π/3からπ/4を引くと、正の小さい角が残ります。逆順にすると-π/12なので、求める角と異なります。

差の公式で、αにπ/3、βにπ/4を代入します。各角は実数で、sinとcosはいずれも定義されています。

sin(π/12) = sin(π/3 - π/4)
= sin(π/3) cos(π/4) - cos(π/3) sin(π/4)
= (√3/2)(√2/2) - (1/2)(√2/2)
= (√6 - √2)/4

√6は√2より大きいので、得られた値は正です。これは図2の残る角が第1象限にあることと一致します。また、式の第1項がsin(π/3)を含むことを見れば、角の順を逆にした誤りも見つけられます。根号の中の6と2は異なるので、これ以上まとめて1つの根号にはしません。

同じ角はπ/4 − π/6とも表せます。この分け方ではsin(π/4) cos(π/6)からcos(π/4) sin(π/6)を引き、同じ答えになります。2通りの分解が同じ角へ戻ることは、符号と数値を点検する手掛かりです。

標準例題：値と象限から差を求める

問題。π/2 < α < π、0 < β < π/2、sin α = 3/5、cos β = 12/13とします。sin(α − β)とcos(α − β)を、それぞれ分数の厳密値で求めてください。

αは第2象限、βは第1象限です。まず加法定理に必要な残りの値を求めます。相互関係を使うと、cos²α = 16/25です。αの範囲ではcos α < 0なので、cos α = -4/5です。同じようにsin²β = 25/169で、βの範囲ではsin β > 0ですから、sin β = 5/13です。

これらは与えられた値に戻しても、(3/5)² + (-4/5)² = 1、(5/13)² + (12/13)² = 1を満たします。それぞれの符号も指定された象限に一致します。次に差の公式へ代入します。

sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β
= (3/5)(12/13) - (-4/5)(5/13)
= 36/65 + 20/65
= 56/65

cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β
= (-4/5)(12/13) + (3/5)(5/13)
= -48/65 + 15/65
= -33/65

第1項と第2項の符号をそれぞれ書いてから整理すると、負の数を引く操作が見えます。答えはsinが正、cosが負なので差の角は第2象限に対応します。実際、与えられた値からもα − βが第2象限であることを確かめられます。α − π/2のsinは-cos α = 4/5で、βのsinは5/13です。両角は第1象限にあり、4/5 > 5/13なのでα − π/2 > βです。またα < π、β > 0よりα − β < πです。したがってπ/2 < α − β < πとなり、符号が一致します。

発展例題：和の角の範囲も調べる

問題。0 < α < π/2、π < β < 3π/2、cos α = 5/13、sin β = -8/17とします。sin(α + β)、cos(α + β)を分数の厳密値で求め、α + βの属する象限を答えてください。

αは第1象限、βは第3象限です。相互関係からsin²α = 144/169、cos²β = 225/289となります。象限からsin α > 0、cos β < 0なので、sin α = 12/13、cos β = -15/17です。符号を選ぶ前に平方根を取ると、βについて正の値を誤って使う危険があります。

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
= (12/13)(-15/17) + (5/13)(-8/17)
= -180/221 - 40/221
= -220/221

cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β
= (5/13)(-15/17) - (12/13)(-8/17)
= -75/221 + 96/221
= 21/221

和の角は条件からπ < α + β < 2πです。この範囲でsinが負、cosが正なので、第4象限です。単に第1象限と第3象限の角を足すという情報だけでは、第3象限と第4象限のどちらかを決められません。求めた2つの符号と範囲を合わせて判定します。さらに、計算結果は220² + 21² = 221²を満たし、単位円上の座標としても整合します。

誤答の符号はどこで逆になったか

基本例題で、sin(π/3 − π/4)をcos(π/3) sin(π/4) − sin(π/3) cos(π/4)と書く誤りを考えます。計算自体を正しく進めても(√2 − √6)/4となり、負の値が出ます。正の角π/12のsinとしては合いません。

原因は、差の公式の2つの積を逆順に置き、引き算をそのままにしたことです。図3のように、先に角の順をα − βと固定し、第1項にはsin α cos βを対応させます。第2項はcos α sin βで、それを引きます。正しい値は(√6 − √2)/4です。

図3の上段はsin(β − α)に対応する形であり、単に見慣れない書き方をしただけではありません。逆順にすると角も逆になることを、sin(-θ) = -sin θと照らしてみます。答えの正負が期待と違ったら、平方根の符号だけでなく、この項順を先にたどってください。

逆に、符号が正しくても安心はできません。たとえば和のcosで2項を加えても、角によっては正の答えが出ます。そのときは象限だけでは誤りを検出できません。和のcosはcosどうしの積からsinどうしの積を引くと、公式との対応を行ごとに確認します。

練習問題

いずれも角はラジアンです。値は根号と分数による厳密値で答えてください。

1. cos(5π/12)を求めてください。
2. sin(7π/12)を求めてください。
3. 0 < α < π/2、π/2 < β < π、sin α = 8/17、sin β = 5/13とします。cos(α + β)を求めてください。
4. π < α < 3π/2、0 < β < π/2、cos α = -7/25、sin β = 12/13とします。sin(α − β)を求めてください。
5. 3π/2 < α < 2π、π/2 < β < π、sin α = -5/13、cos β = -8/17とします。sin(α + β)とcos(α + β)を求めてください。

練習の答えと解き方

1

5π/12 = π/4 + π/6です。和のcosでは2項を引きます。

cos(5π/12) = cos(π/4) cos(π/6) - sin(π/4) sin(π/6)
= (√2/2)(√3/2) - (√2/2)(1/2)
= (√6 - √2)/4

5π/12は第1象限なのでcosは正です。分子も正で、元の角の範囲に合います。分解した2角を通分して足せば、指定された5π/12へ戻ります。

2

7π/12 = π/3 + π/4です。和のsinでは2項を足します。

sin(7π/12) = sin(π/3) cos(π/4) + cos(π/3) sin(π/4)
= (√3/2)(√2/2) + (1/2)(√2/2)
= (√6 + √2)/4

7π/12は第2象限にあり、sinは正です。2角の和を通分すると7π/12となり、求めた式は問題の角に対応します。1を超える誤った値が出た場合も計算を見直します。

3

αは第1象限、βは第2象限です。相互関係と符号からcos α = 15/17、cos β = -12/13です。どちらも元のsinとの二乗和が1で、指定された範囲に合います。

cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β
= (15/17)(-12/13) - (8/17)(5/13)
= -180/221 - 40/221
= -220/221

α + βはπ/2より大きく、3π/2より小さい角です。その範囲ではcosが負なので、答えの符号は条件に合います。和の公式の2項を足すと値が変わるため、引き算も確認します。

4

αは第3象限なのでsin α < 0、βは第1象限なのでcos β > 0です。相互関係からsin α = -24/25、cos β = 5/13とわかります。元の値とそれぞれ二乗和が1になり、符号も範囲に合います。

sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β
= (-24/25)(5/13) - (-7/25)(12/13)
= -120/325 + 84/325
= -36/325

α − βはπ/2より大きく3π/2より小さい角ですが、それだけではsinの符号は一意に決まりません。求めた負の値はその範囲のうち第3象限側に対応します。与えられた数を各積へ戻し、負の数を引いたことも点検します。

5

αは第4象限なのでcos α > 0、βは第2象限なのでsin β > 0です。相互関係からcos α = 12/13、sin β = 15/17となります。与えられたsin αとcos βに戻すと、各二乗和は1です。

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
= (-5/13)(-8/17) + (12/13)(15/17)
= 40/221 + 180/221
= 220/221

cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β
= (12/13)(-8/17) - (-5/13)(15/17)
= -96/221 + 75/221
= -21/221

和は2πより大きく3πより小さい角です。1周引いた角は0とπの間にあり、得られたsinは正です。cosは負なので、1周引いた角は第2象限に対応します。2つの答えの二乗和も1となり、指定された2角の値から作った単位円の点として整合します。

覚えておくこと

角の等式を先に確かめ、和か差かを決めます。
sinの差は、最初の角にsinを付けた積から始めます。
未知の値は二乗和で求め、象限で符号を選びます。
答えを角の範囲と元の値に戻して点検します。

つまずきを見分ける

答えが合わないときは、まず分けた2角の和や差が元の角に戻るかを尋ねます。戻らなければ通分の段階を修正します。角は合っているのに符号が違うなら、公式の第1項と第2項を指し、それぞれがどの角のsinとcosからできたかを言葉にします。

与えられた値から別の値を求める問題では、平方根を取る前の二乗の式と、取った後の符号の根拠を分けて説明できるかを見ます。個別指導では、範囲を別の象限に変えたときに、どの値の符号が変わり、加法定理のどの項に影響するかまで確認できます。角の順と座標の符号が結び付けば、根号を含む計算も根拠を持って進められます。