高校数学II 加法定理の証明—二点間距離と関連角から和と差の公式を導く｜武蔵野個別指導塾

単位円上の2点を同じだけ回転させ、距離の二乗を比べて余弦の差の公式を導きます。負の角と関連角から正弦の式へつなぎます。

よくあるのは、高2が加法定理を証明しようとして、途中で証明したい公式そのものを使ってしまう場面です。たとえば2点の距離を出すために、まだ示していない cos(α − β) の展開式を使えば、答えに戻る道を一周しただけになります。単位円の座標、距離、回転で長さが変わらないことを出発点にすると、この循環を避けられます。符号が違う公式も、角を反転する対称性から順に導きます。

何を手がかりに証明するか

問いの型は大きく3つあります。1つ目は、単位円上の2点の座標から距離を求め、2点の角の差との関係を示すものです。このとき、同じ線分の長さを座標と回転後の位置で表し、等しいと置きます。2つ目は、得られた差の式から和の式を導くものです。負の角に対する座標の対称性を使い、どの符号が変わるかを追います。3つ目は、cos の式を sin の式へ移すものです。直角から測った角の座標を交換してつなぎます。

いずれも、公式の形を知っているだけでは証明になりません。特に「回転後の点の座標」を先に積の式で書くと、実は導きたい定理を使っているおそれがあります。回転後の角を α − β と表すところまでは、回転角の足し引きという幾何の事実です。その点の座標を (cos(α − β), sin(α − β)) と書くのは単位円の定義です。積への展開を認めるのは、距離を比較してからです。

角はすべてラジアンで表します。α と β は、特に範囲を付けない限り任意の実数です。図では見やすい位置を選びますが、証明はその位置に限りません。

単位円と回転で保たれる距離

原点 O、半径1の円を考えます。正の横軸からの回転角が t の点は、定義により (cos t, sin t) です。sin²t は (sin t)²、cos²t は (cos t)² を表します。円の方程式から、どの実数 t についても cos²t + sin²t = 1 です。ここでは分母が現れず、軸上の点も含めて使えます。

図1のように P を角 α、Q を角 β の点とします。2点を原点のまわりに同じ角 -β だけ回すと、Q は正の横軸上の A = (1, 0) に移り、P は角 α − β の点 R に移ります。両端を同じ回転で移すので線分の長さは変わらず、PQ = RA です。回転は図形を剛体として動かす操作であり、点どうしの距離を保ちます。この性質は三角関数の積の公式を使わない幾何の事実です。

α が β より小さければ α − β は負ですが、負の回転を含めて動径の角を測れます。2点が重なる場合も距離は0です。角が1周を超える場合も回転後の動径で点を定められるので、特別な三角形を描く必要はありません。どの象限に点があっても座標による距離の式が使えることが、この証明の強みです。

もう1つの準備は単位円の対称性です。角 t の点を横軸に関して反転すると角 -t の点になるので、cos(-t) = cos t、sin(-t) = -sin t です。また、角 t の座標を入れ替えると角 π/2 − t の点になるため、cos(π/2 − t) = sin t です。これらは円の反射で確かめる関連角の関係であり、加法定理の展開式を使っていません。

基本例題：距離を二通りに表す

問題。α、β を任意の実数とします。P = (cos α, sin α)、Q = (cos β, sin β) とし、両点を -β だけ回した点をそれぞれ R、A とします。PQ² と RA² をそれぞれ座標で表し、cos(α − β) を cos α、sin α、cos β、sin β の積を用いて表してください。文字のまま等式を答えます。

図2では線分の両端を同じ回転で移しています。A は (1, 0)、R は (cos(α − β), sin(α − β)) です。図の α と β は位置関係を示す例であり、以下の計算では任意の角を扱います。

まず、回転前の2点間距離の二乗を求めます。座標の差の二乗の和なので、平方根の符号を考えずに比較できます。

PQ² = (cos α - cos β)² + (sin α - sin β)²
     = cos²α - 2 cos α cos β + cos²β + sin²α - 2 sin α sin β + sin²β
     = 2 - 2(cos α cos β + sin α sin β)

最後の行で、α と β のそれぞれに対し二乗和が1であることを使いました。次に回転後を同じ方法で計算します。

RA² = (cos(α - β) - 1)² + (sin(α - β))²
    = cos²(α - β) - 2 cos(α - β) + 1 + sin²(α - β)
    = 2 - 2 cos(α - β)

回転は距離を保つので、右辺どうしが等しくなります。両辺から2を引き、0でない -2 で割ります。

2 - 2(cos α cos β + sin α sin β) = 2 - 2 cos(α - β)
cos α cos β + sin α sin β = cos(α - β)

これが余弦の差の公式です。距離を求める部分には差の公式を入れていません。むしろ2つの距離を等しく置いた結果として、その式が出ています。P と Q が同じ点のときも両方の二乗距離は0になり、等式に矛盾はありません。任意角についての説明とこの計算を合わせて、特殊な図から一般の式へ進めます。

標準例題：差から和へ移す

問題。任意の実数 u、v について、余弦の差の公式と負の角の対称性を使い、cos(u + v) を u と v の三角関数の積で表してください。途中で余弦の和の公式を既知として使わず、文字のまま答えます。

差の公式はどの実数にも成り立つので、β に -v を入れられます。u + v を u − (-v) と見て、まず差の公式に当てはめます。

cos(u + v) = cos(u - (-v))
           = cos u cos(-v) + sin u sin(-v)
           = cos u cos v - sin u sin v

負の角にしたとき、cos の値は変わらず sin の値だけ符号が反対になるため、2つの積の間が引き算になります。式の中に -v を残してから対称性を適用すると、符号がどこから生じるかを追えます。和を直接展開する式を最初に書く必要はありません。

確かめとして u = π/2、v = π/2 を代入します。左辺は cos π = -1、右辺は 0・0 − 1・1 = -1 です。これは一例であって一般の証明の代わりではありませんが、積の間を誤って足し算にした式なら右辺が1となり、この条件で誤りが見つかります。

発展例題：余弦から正弦の差と和へ

問題。任意の実数 u、v について、cos(π/2 − t) = sin t と余弦の差の公式を使い、sin(u + v) と sin(u − v) をそれぞれ積の和または差で表してください。文字のまま等式を答え、使用した関連角の符号も示します。

まず sin(u + v) を余弦に移します。π/2 − u の余弦は sin u、正弦は cos u です。後者も単位円の座標の入れ替えから得られます。差の公式には α = π/2 − u、β = v を入れます。

sin(u + v) = cos(π/2 - (u + v))
           = cos((π/2 - u) - v)
           = cos(π/2 - u) cos v + sin(π/2 - u) sin v
           = sin u cos v + cos u sin v

この式は、直角から引いた角の関係と、すでに証明した余弦の差から得ました。次は v を -v に置き換えます。負の角の cos と sin の符号をそれぞれ処理します。

sin(u - v) = sin u cos(-v) + cos u sin(-v)
           = sin u cos v - cos u sin v

差では2つ目の積が負になります。u = 0 とすると、導いた式は sin(-v) = -sin v に戻ります。これは単位円で横軸に反転したときの縦座標と一致します。u や v が軸上の角であっても割り算はしていないので、そのまま成立します。

導出の順を整理すると、距離から cos の差、負の角から cos の和、直角との関係から sin の和、さらに負の角から sin の差です。この順序であれば、証明前の展開を別の名前で使うことを避けられます。正接の式や倍角の応用はここでは導入せず、4つの式の根拠に集中します。

誤答を見つけ、使った根拠を戻す

誤答の例は、P を -β 回転した直後に、その横座標を「cos α cos β + sin α sin β」と書いてから距離を比較するものです。その等式こそ示したい余弦の差の公式です。図3のように、回転後の横座標はまず定義に従って cos(α − β) と置き、積の式には距離の比較を終えてから移ります。

原因は、図を見て知っている公式を無意識に使うことです。回転後の角を α − β と呼ぶことと、その余弦を積に展開することを区別してください。前者は回転角の合成と座標の定義、後者は証明の結論です。書いた式の一行ごとに「定義」「距離」「二乗和」「回転」「対称性」のどれを使ったかを添えると、循環が見えます。

別の誤答は、cos の和でも sin の和でも積の間を同じ符号にすることです。cos の和では負の角にした sin が反転し、sin の和では直角から引く操作が先に入るため、符号の現れ方が異なります。公式の並びを丸暗記する前に、どの角に負を付けたかを戻って確認します。u = v = π/2 のように値がはっきりする点で誤りを検出できますが、正しさの根拠は一般角での導出に置きます。

さらに、図で2点が第1象限にあることを、証明の条件と取り違える場合があります。回転と距離の等式は象限を限定しません。逆に図の見た目から α > β と決めてしまうと、負の差や軸上の点を説明できません。角の向きを決めた定義と回転の性質が、どの位置にも使えるかを言葉で確認します。

練習問題

次の5問はそれぞれ独立です。角の値はラジアンで、数値を求めるものは分数・根号を用いた厳密値で答えてください。証明問題は、使う根拠がわかる等式で答えます。

1. 単位円上の P、Q の角をそれぞれ 2π/3、π/6 とします。2点の座標から PQ² を求め、両点を -π/6 だけ回した後の位置からも同じ値を確かめてください。
2. 単位円上の P、Q の角をそれぞれ -π/3、π/3 とします。座標から PQ² を求め、回転後の角の差を用いた距離と照合してください。
3. cos の差の公式と負の角の対称性を使い、cos(x + y) + cos(x − y) を積の形にしてください。x、y は任意の実数です。
4. 余弦の差の公式と関連角を使い、sin(x − y) を x、y の三角関数の積で表してください。x、y は任意の実数です。最初に sin(x − y) を余弦で書き直してください。
5. 次の主張が任意の実数 x、y について成り立つかを調べてください。「cos(x − y) = cos x cos y − sin x sin y」。成り立たなければ、x = π/3、y = π/6 で両辺の厳密値を示し、正しい符号を距離の式から説明してください。

練習の解答と確かめ

1. 直角を隔てる2点

単位円の座標は P = (-1/2, √3/2)、Q = (√3/2, 1/2) です。距離の式を使うと、次のようになります。

PQ² = ((-1 - √3)/2)² + ((√3 - 1)/2)²
    = (4 + 2√3)/4 + (4 - 2√3)/4
    = 2

回転後、Q は (1, 0)、P は角 2π/3 − π/6 = π/2 の点 (0, 1) です。その距離の二乗も (0 − 1)² + (1 − 0)² = 2 です。元の角の指定に戻しても差は π/2 なので、直角を隔てる2点という場面と答えが合っています。

2. 負の角と正の角

P = (1/2, -√3/2)、Q = (1/2, √3/2) です。横座標が同じなので、縦の差から距離を得られます。

PQ² = (1/2 - 1/2)² + (-√3/2 - √3/2)²
    = (-√3)²
    = 3

両点を -π/3 回転すると Q は (1, 0)、P の角は -2π/3 です。P の移動先は (-1/2, -√3/2) なので、距離の二乗は (-3/2)² + (-√3/2)² = 3 です。負の差でも回転の向きを保持しており、元の2点が横軸の上下にあるという条件にも合います。

3. 2つの余弦を足す

x、y は任意の実数なので差の公式と、そこから導いた和の式を適用できます。

cos(x + y) + cos(x - y)
= (cos x cos y - sin x sin y) + (cos x cos y + sin x sin y)
= 2 cos x cos y

符号が反対の sin の積が消えます。たとえば x = 0 なら元の和は cos y + cos(-y) であり、答えの 2 cos y と一致します。共通の2倍を忘れていないかも、この元の和で確認できます。

4. 直角から測る

任意の実数 x、y に関連角の関係を用い、余弦の差の公式へつなげます。

sin(x - y) = cos(π/2 - (x - y))
           = cos((π/2 - x) - (-y))
           = cos(π/2 - x) cos(-y) + sin(π/2 - x) sin(-y)
           = sin x cos y - cos x sin y

最後に sin(-y) の負号を残すのが要点です。x = y なら元の角は0で、答えも同じ2つの積の差になって0です。差が0の場面に戻すと符号の取り違えを点検できます。

5. 誤った符号への反例

指定された角では x − y = π/6 です。主張の左辺は √3/2 ですが、右辺は次の値です。

cos(π/3) cos(π/6) - sin(π/3) sin(π/6)
= (1/2)(√3/2) - (√3/2)(1/2)
= 0

左右が異なるので、主張は任意の角には成り立ちません。距離の二乗を展開すると、cos の積にも sin の積にも係数 -2 が付きます。回転後の式と等しく置き -2 で割ると、2つの積は足し算になります。指定の角でも正しい右辺は √3/4 + √3/4 = √3/2 となり、角の差 π/6 の余弦に戻ります。

覚えておくこと

• 2点を同じ角だけ回すと距離が変わりません。
• 距離の二乗の比較から cos の差の式を得ます。
• 負の角では cos は変わらず sin は符号が反対です。
• 直角からの差で sin と cos を結びます。
• 図の位置に限らず、任意角と軸上の点まで根拠を確認します。

つまずいた場所を見分ける

回転後の座標を積で書いてしまう人には、まず回転後の角と単位円の定義を分けて尋ねます。角を言えるのに座標の根拠が「公式だから」になるなら、距離を比較する前に結論を使っています。座標の差を二乗できないときは、横と縦の差をそれぞれ書き、二乗和を使う箇所までを切り分けます。

個別指導で確かめるときは、図の点を別の象限や軸上へ移し、同じ説明が成り立つ理由を本人の言葉で追います。次に β を負にした式を一行ずつ書き、sin の符号が変わる場所を指せるか見ます。最後に反例を元の式へ代入し、数値が違えば主張全体を否定できることと、一例が合うだけでは一般の証明にならないことを区別します。証明の順序を守ると、加法定理の符号にも理由が残ります。