高校数学II 交点を通る直線の方程式—二つの式の組合せと表せない直線を点検する｜武蔵野個別指導塾

二直線の式を組み合わせ、係数を固定すると抜ける1本も調べる直線束の考え方をたどります。

よくあるのは、高2が二直線の式の一方の係数を固定して交点を通る直線を表し、条件に合う1本を落としてしまう場面です。式に文字を入れると多くの直線を一度に扱えますが、その文字がどの係数を動かし、どの直線を表せないかを見ておく必要があります。交点の計算を省ける利点と、最後に必要な確認を一緒に考えます。

交点を使う問いの形

二直線の交点を通り、さらに別の点を通る直線を求める問題では、まず交点の座標を連立方程式で求める方法があります。交点ともう1点が異なれば、その2点を通る直線は1本です。一方、交点を通ることを式の組合せで先に保証し、もう1点を代入して係数を決める方法もあります。

別の形では、交点を通り、指定された直線に平行または垂直な直線を求めます。このときは組合せた式のxとyの係数に注目します。傾きで計算すると縦の直線を扱えないので、係数を比べる方法が便利です。条件に合う直線が固定した係数の方法から抜ける場合は、抜けた元の直線を別に調べます。

さらに、もう1点が交点そのものになる場合には、その点を通る条件は新しい制約になりません。答えが1本に決まらない場合も、計算の失敗として捨てずに、与えられた条件へ戻って判断します。

式の組合せが通る点と、その範囲

異なる1点で交わる二直線を L = 0、M = 0 とします。ここでL、Mはそれぞれxとyの一次式で、各式のxとyの係数は同時に0ではありません。交点をPとすると、PではLとMがともに0です。したがって、実数a、bに対して aL + bM もPで0になります。

図1のように、係数の組を変えるとPを通るさまざまな直線が現れます。ただし a = b = 0 では式全体が0になり、平面上のどの点でも成り立つので直線ではありません。この組を除きます。また、二直線が1点で交わるという前提のもとでは、a、bが同時に0でなければ一次の項が同時に消えることはなく、式は直線を表します。

なぜこれでPを通るどの直線も表せるのでしょうか。Pを原点に移した座標を使い、L = Ax + By、M = Cx + Dy と考えます。交わる二直線なので AD − BC は0ではありません。Pを通る任意の直線を ux + vy = 0 とすると、

aA + bC = u
aB + bD = v

を満たすa、bが一組に決まります。実際に消去すると a = (uD − vC)/(AD − BC)、b = (Av − Bu)/(AD − BC) です。u、vは同時に0ではないため、a、bも同時に0ではありません。よって任意の直線が組合せで表せます。これは、交点を通ることの確認だけでなく、表し漏れがないことの証明です。

計算を短くするには L + kM = 0 と置くことがよくあります。これはaが0でない場合に式全体をaで割り、k = b/a と置いた形です。a = 0 の場合、bは0でないので直線はM = 0です。この1本はどの実数kでも表せません。逆に M + kL = 0 と置けば、今度は L = 0 が抜けます。係数の固定は便利ですが、抜ける側は式の書き順で変わります。

二直線が平行で交点を持たないときや、一致して交点が1点に定まらないときには、上の説明をそのまま使えません。まず交点がただ1点あるかを点検し、必要なら連立方程式で確かめます。

基本例題：別の点を通す

直線 L: x + y − 3 = 0 と M: x − y − 1 = 0 の交点を通り、点 Q(4, 3) を通る直線を、方程式で求めてください。

2式を足すと 2x − 4 = 0 ですから、交点はP(2, 1)です。異なる2直線が1点で交わり、QもPとは異なります。図2のように、求める直線はPとQを通る1本です。

まず L + kM = 0 と置きます。Qを代入すると、各式の値は L = 4、M = 0 です。

4 + k・0 = 0
4 = 0

これを満たすkはありません。ここで解なしと結論するのは早すぎます。この形で抜ける M = 0 を調べると、QはM上にあり、PもM上にあります。したがって答えは x − y − 1 = 0 です。

確かめとしてPを代入すると 2 − 1 − 1 = 0、Qを代入すると 4 − 3 − 1 = 0 です。異なる2点を通る直線は1本ですから、ほかの答えはありません。失敗した式の 4 = 0 は、求める直線が存在しないことではなく、固定した係数の範囲に存在しないことを示しています。

別の置き方 M + kL = 0 ならQの代入で 0 + 4k = 0 となり、k = 0から同じ答えに達します。ただしこちらでは L = 0 が抜けるので、一般には最後の点検が必要です。交点を直接求め、PとQの座標から式を作る方法も使えます。両方の座標差は2なので傾きは1、y − 1 = x − 2 から同じ式を得ます。

標準例題：平行条件で係数を決める

直線 L: x + 2y − 5 = 0 と M: 2x − y − 5 = 0 の交点を通り、直線 3x + y + 2 = 0 に平行な直線を、方程式で求めてください。

連立して交点を確認します。Mから y = 2x − 5 をLに代入します。

x + 2(2x - 5) - 5 = 0
5x - 15 = 0
x = 3
y = 1

交点はP(3, 1)です。L + kM = 0 を整理すると次のようになります。

x + 2y - 5 + k(2x - y - 5) = 0
(1 + 2k)x + (2 - k)y - 5 - 5k = 0

指定された直線と平行であるためには、xとyの係数が (3, 1) に比例します。その条件は次の式です。

1 + 2k = 3(2 - k)
1 + 2k = 6 - 3k
5k = 5
k = 1

k = 1 を代入すると 3x + y − 10 = 0 です。抜けた M = 0 の係数 (2, -1) は (3, 1) に比例しないため、別の答えにはなりません。

L + M の定数項は -10 です。答えは 3x + y − 10 = 0 です。Pを代入すると 9 + 1 − 10 = 0 となり、指定直線とは定数項が異なる平行な直線です。係数を決めた後に定数項まで戻して確かめると、この種の計算違いを発見できます。

発展例題：条件が制約にならない場合

直線 L: 2x + y − 4 = 0 と M: x − 2y + 3 = 0 の交点を通り、点 R(t, 2t − 4) を通る直線について、実数tの値に応じて本数を求めてください。1本の場合はその方程式も示してください。

まず交点を求めます。Lから y = 4 − 2x をMに代入します。

x - 2(4 - 2x) + 3 = 0
5x - 5 = 0
x = 1
y = 2

P(1, 2)が交点です。R = P となるには t = 1 かつ 2t − 4 = 2 が必要ですが、t = 1 では後者が -2 = 2 となりません。したがってRはどの実数tでもPと異なり、直線は常に1本です。

係数の抜けも含めて求めます。RでのL、Mの値はそれぞれ 4t − 8、11 − 3t です。したがって、

(11 - 3t)L - (4t - 8)M = 0

と置けば、Rで左辺は0です。係数が同時に0になるには t = 2 と t = 11/3 が同時に必要で、不可能です。よってこの式は常に直線を表します。展開すると、

(11 - 3t)(2x + y - 4) - (4t - 8)(x - 2y + 3) = 0
(30 - 10t)x + (5t - 5)y - 20 = 0
(6 - 2t)x + (t - 1)y - 4 = 0

これが求める方程式です。展開の定数項は -4(11 − 3t) − 3(4t − 8) = -20 です。Pを代入すると 6 − 2t + 2t − 2 − 4 = 0、Rを代入しても (6 − 2t)t + (t − 1)(2t − 4) − 4 = 0 です。

この例では両方の係数を残したので、LやMそのものになる場合も同じ式に含みます。例えば t = 2 ではMに掛かる係数が0になり、残った5L = 0は元のLと同じ直線を表します。係数の組が同時に0にならない理由も示すことで、0 = 0を直線として混ぜる危険を避けられます。

誤答を直す：係数が決まらないとき

L: x + y − 2 = 0、M: x − y = 0 の交点を通り、点 S(1, 1) を通る直線を考えます。誤答は「L + kM = 0 にSを代入すると 0 = 0 なので、kが決まらず直線は存在しない」です。

図3のようにSは2本の交点そのものです。両方の式に代入するとそれぞれ0であり、Sを通るという条件は最初の条件と重なっています。kが決まらないことは、条件を満たす直線がないことではなく、指定された形のどのkも条件を満たすことを意味します。

修正すると、Sを通る直線は無数にあります。L + kM = 0 の各直線に加え、抜けている M = 0 も含みます。0 = 0 と 0 = 5 の違いを見てください。前者はその式がどのkでも成立し、後者はどのkでも成立しません。後者でも、抜けた直線が条件を満たす可能性は残ります。

練習：係数と抜ける直線を調べる

次の5問では、直線の答えは方程式で示してください。本数を問う場合は理由も記してください。

1. x + y − 4 = 0 と x − y − 2 = 0 の交点を通り、点 (0, 2) を通る直線を求めてください。
2. 2x + y − 5 = 0 と x − y − 1 = 0 の交点を通り、点 (5, 4) を通る直線を求めてください。
3. x + 2y − 7 = 0 と 3x − y = 0 の交点を通り、x軸に平行な直線を求めてください。
4. x + y − 6 = 0 と 2x − y − 3 = 0 の交点を通り、点 (3, 3) を通る直線の本数を求めてください。
5. x − 2y + 1 = 0 と 2x + y − 7 = 0 の交点を通り、直線 x + 3y − 2 = 0 に垂直な直線を求めてください。

練習の解答と確認

1

2式を足して 2x − 6 = 0、x = 3、y = 1 なので交点は (3, 1) です。L + kM = 0 とし、(0, 2)を代入します。

-2 - 4k = 0
k = -1/2

2L − M = 0 として整理すると x + 3y − 6 = 0 です。交点では 3 + 3 − 6 = 0、指定点では 0 + 6 − 6 = 0 です。抜けるMに指定点を代入すると -4 なので、別の答えはありません。

2

2式から y = x − 1、2x + x − 1 − 5 = 0 となり、交点は (2, 1) です。L + kM に (5, 4)を代入すると 9 + k・0 = 0 となり、実数kでは成立しません。

抜けるMに (5, 4)を代入すると 5 − 4 − 1 = 0 です。答えは x − y − 1 = 0 です。交点でも 2 − 1 − 1 = 0 で、2点は異なるため直線は1本です。

3

第2式から y = 3x です。第1式へ代入すると x + 6x − 7 = 0、x = 1、y = 3 です。x軸に平行な直線ではyが一定なので、答えは y − 3 = 0 です。

組合せでも L + kM のxの係数を0にすると 1 + 3k = 0、k = -1/3 です。3L − M = 0 を整理して 7y − 21 = 0 となります。抜けるMはx軸に平行でなく、答えに交点を戻すと 3 − 3 = 0 です。

4

2式を足すと 3x − 9 = 0、x = 3 です。第1式から y = 3 となり、指定点は交点と同じです。よって条件は1点を通ることに尽き、直線は無数にあります。

例えば x = 3 と y = 3 は異なる直線で、どちらも両方の条件の点を通ります。L + kM の形でも各実数kが許され、抜けた M = 0 も条件に合います。

5

第1式から x = 2y − 1 です。これを第2式へ代入します。

2(2y - 1) + y - 7 = 0
5y - 9 = 0
y = 9/5
x = 13/5

指定直線の傾きは -1/3 なので、垂直な直線の傾きは3です。求める式は次のようになります。

y - 9/5 = 3(x - 13/5)
y = 3x - 6
3x - y - 6 = 0

交点を代入すると 39/5 − 9/5 − 6 = 0 です。傾きの積も -1 なので垂直条件を満たします。指定直線と答えのどちらも縦の直線ではないことを、傾きを使う前に確認しています。

覚えておくこと

交点では2つの一次式がともに0です。
係数を両方残せば交点を通る直線を表せますが、同時に0にはできません。
片方を1に固定したら、もう一方の元の直線を別に調べます。
代入後の矛盾と恒等式を区別し、最後に元の条件へ戻します。

立ち止まる場所を見つける

「このkの式に入らない直線はどれですか」と自分に問い、固定した係数が0の場合を指で隠してみてください。次に、追加の点を両方の元の式に代入します。両方0なら交点そのもので、条件は1本を選びません。一方だけ0なら、その元の直線が答えになる可能性があります。

個別指導では、交点が1点に定まること、係数の組が同時に0でないこと、求めた式に交点と追加の条件を戻せることを順に確かめます。答えが出ない計算にも、表し方の範囲を見直す手がかりがあります。直線束の式は、抜けた1本を調べて初めて使い切れます。