中3の平方根の定期テスト—計算は合うのに大小比較で落とすときのワークの分け方｜武蔵野個別指導塾

計算欄と比較欄を分け、負の数で向きが逆になる箇所から平方根を比べ直します。

計算が合っていても大小比較を落とすなら、計算問題を増やす前に、比較を求める設問をワークから別枠に集めます。正解を書き写すのではなく、どの形にそろえ、どこで不等号の向きを決めたかを残します。まず学校で使用を認められたワークと授業ノートを開き、計算と比較の印を分けてください。比較の途中で計算が崩れた問題は、両方に印を付けて構いません。

よくあるのは、計算の頁には丸、比較の頁にはばつが並ぶ中3の夜という場面です。お子さまは同じ平方根の問題なのに、なぜ片方だけ間違えたのかつかめず、計算の頁をもう一周しようとします。そこで頁数を増やす前に、答えを出す作業と、2つの値の順番を決める作業を分けて見ます。

丸とばつの位置から作業を分ける

計算の設問では、式を変形した結果が求められます。比較の設問では、2つの数の位置関係を判断して、不等号などで表します。途中の変形が正しくても、負の数の順番を逆にすれば比較の答えは違います。逆に、比べ方の方針が合っていても、変形の途中を誤れば最後の向きは正しく決まりません。

図1のように、答案を見るときはまず設問が要求するものを分け、比較の答案では途中の形と向きを別々に確かめます。計算の丸は変形の手がかりにはなりますが、比較の判断まで済んだ印ではありません。

例えば √7 と √11 を比べるとき、どちらも正なので、根号の中の 7 と 11 の順番を使えます。7 は 11 より小さいため √7 < √11 です。この例で最後の不等号を逆に書いた場合、根号の中の順番は読めたのか、それとも最後に記号を書き違えたのかを尋ねます。途中の数字に印があれば、判断の場所が見えます。

一方、途中の計算に誤りがある答案は、比較の向きだけを直して終えません。正しい形に直した後、最初の2つの数に戻って向きを判断し直します。何が原因かまだ決められないときは「途中未確認」と書き、授業ノートの該当箇所に戻します。ばつの理由を急いで一種類に決める必要はありません。

ワークの余白に「計算」「比較」と小さく書き、設問ごとに印を付けます。計算式の後に大小を答える問題は、変形と比較の両方を見ます。式が合っていて記号が違うなら比較の枠に残し、式が違えば計算の枠にも残します。印が両方に付くことは、問題を重複して数えるためではなく、次に戻る場所を見失わないためです。

比較の枠を作り、順に試す

最初に、学校の範囲表と授業で使ったワークを手元に置きます。学校で指定された範囲を確認し、今回扱う比較の設問に付箋を付けます。範囲表が手元にない場合は、範囲を推測して問題を除かず、確認が済むまで保留にします。答案や名前を外へ送る必要はありません。

次に別の紙を3つの欄に分けます。「元の数」「そろえた形」「向きと理由」です。元の数は見間違いを防ぐために書き、負号や根号を含めて原本と照合します。そろえた形には、授業で学んだ方法を使った途中の式を残します。最後の欄には不等号と、その向きを決めた理由を短く書きます。

図2のように、正の数どうしは同じ根号の形にして比べられます。例えば 3 と √10 では、3 を √9 と表すと 9 < 10 です。両方が正なので 3 < √10 と戻せます。元の数とそろえた形をつなげて書くことで、√9 を答えの数そのものと取り違えずに済みます。

この手順では、まず正の数どうしで形をそろえる練習をします。根号の中が違う形、整数と根号の形というように、見た目が違うものを分けて扱います。授業で習った方法がノートにあるか確認し、同じ問題を解き直したら、元の数と変形後が等しいかを指で追います。答えが合っていても、形をそろえた理由を言えなければ途中を残して再度確かめます。

次は符号に注目します。正の数と負の数なら、正の数が大きいと先に判断できます。両方が負の場合は、正の部分で比べた後、そのまま不等号を書かず、数直線の位置を考えます。授業ノートの記号の使い方に合わせ、左側に小さい数、右側に大きい数を書く方法で確認します。

途中の判定では、正誤の丸だけでなく「変形」「向き」「書き写し」のどこで止まったかを付箋に記します。変形に不安があればその行を教科書や授業ノートで照合します。変形は合うが向きが逆なら、比較の枠に戻し、正負を見て数直線で判断します。元の数を書き間違えた場合は、元の設問との照合からやり直します。

終える条件は、選んだ比較問題の解答を隠して設問を読み、そろえた形と向きの理由を自分の言葉で残せることです。答えの記号が合っても理由が前の解答の暗記なら、数や並びが違う問題で確認します。間違いが残る場合は、無理に完了とせず、止まった行と次に見る資料を書いて区切ります。時間が足りないときも、途中の印があれば次に同じ場所から再開できます。

比較の記録を使い直す

別枠の紙には、問題番号と、学校の資料のどこに元の問題があるかも添えます。問題文を大量に写す必要はありません。戻るときに、元の数の符号と左右の順を確かめられる程度の目印があれば足ります。ワークに直接書き込めない場合も、別紙の欄を使えば、原本を見ながら自分の判断を残せます。

解き直しの際は、前回の答えの欄を隠して元の問題を読みます。最初に正負を見て、形をそろえる必要があるかを決め、それから途中を書きます。前回と答えが一致した場合も、理由が違っていないかを見ます。前回の記号を覚えていて、なぜその向きになるか言えなければ、別の設問で試します。

一方、前回と違う答えになった場合は、どちらかをすぐ消さず、各行を比べます。元の数が違うのか、変形が違うのか、それとも正しい変形からの向きが違うのかを順に探します。解答を見ても違いが見つからなければ、2つの途中式を残して質問します。自分で見つけた誤りと、説明を聞いて確かめたい箇所を区別できれば、次の授業で聞くことが具体的になります。

紙の欄は広く取り、途中の修正を隣に書ける余白も残します。前の判断と直した判断が並ぶと、次に同じ間違いをしたときに違いを探せます。

比較の枠に集める問題は、正解したものを除くための一覧ではありません。正解していても理由が曖昧なもの、間違えたが原因が見つかったもの、資料を確認するまで保留するものを区別します。たとえば元の数を正しく写したのに最後の向きで迷ったなら、次回は数直線の確認から始められます。資料が不足している場合は、解けなかった理由を本人の理解不足と決めつけず、必要な資料をそろえる作業を先に置きます。

負号と書き写しで起きる別の失敗

1つ目は、正の部分の比較をそのまま負の数に移す失敗です。例えば √5 < √8 だからといって、-√5 < -√8 とすると順番が逆です。負の数では、0 からの距離が大きい方が左にあります。したがって -√8 < -√5 です。正の部分の順を決めた後、負号を付けた数の位置をもう一度見ます。

直す際には、最初に「両方とも負」と書き、0 を境にした数直線を短く描きます。厳密な位置を測る必要はなく、正の部分の大小から、どちらが 0 から遠いかを示します。遠い負の数を左に置き、元の順番に合わせて不等号を書きます。途中の正の比較と最終答案が逆向きになる理由を声に出せると、記号だけを覚えるより確認しやすくなります。

2つ目は、比較の方針が合っていても、元の数の負号や根号を写し落とす失敗です。例えば -2 と √3 を比べる設問を、2 と √3 と写すと、正負の判断自体が変わります。元の設問では -2 は負、√3 は正なので -2 < √3 です。変形する前の書き写しを照合すれば、この場合は根号の中を比べる作業に進む前に判断できます。

直すときは答えを消す前に、原本の負号と写した負号にそれぞれ印を付けます。符号が違えば元の数を正しく書き直し、比較の理由も新しく書きます。正しい答案を横に置いたまま記号をなぞると、最初に何を見落としたかが残りません。原本を閉じる前に元の数を照合し、最後に答えの左右も照合する順番にします。

この2つはどちらも負号が関わりますが、戻る場所が違います。負の数の順番を逆にしたなら数直線へ、写し落としたなら元の設問へ戻ります。原因が両方あるときは、先に元の数を正し、その後で向きを決めます。途中で混乱した答案をそのまま使って向きを直しても、元の数が違えば設問への答えにならないからです。

止まった行から戻る

図3のように、うまく進まないときは、最初に元の数、次に変形、最後に向きを見ます。戻る場所を決めたら、その行より前を不用意に消さず、何が変わったかを見比べます。元の数が正しく写せた場合は次の行へ、変形が正しい場合は符号と数直線へ進みます。

授業ノートの説明が途中で途切れていて、変形の根拠が見つからない場合は、答えを推測して先に進めません。設問と止まった行を手元に残し、教科書の該当箇所を探します。それでも判断できなければ、学校の授業や1対1の授業で、その行が等しいと言える理由を尋ねます。資料が読めない、ワークが見当たらない場合も、別の問題を勝手に同じ設問とみなさず、元の資料を確認できるまで保留です。

答えが合った場合にも、理由の確認は残ります。途中を飛ばして記号だけ書けたなら、数の符号とそろえた形を説明してみます。反対に答えが合わない場合は、解答を見た後に数字を覚えてしまうことがあります。元の問題を閉じて少し間を置き、学校の資料から別の比較問題を選んで、同じ欄に記録してください。答えが違う場合は、誤った行に戻り、正しかった行まで全部消す必要はありません。

確かめる小問

• 問題: 4 と √15 の大小を、不等号で表してください。
• 答え: √15 < 4 です。4 は正で √16 と表せ、15 < 16 だからです。
• 戻る所: 4 を √16 と表せなかったら、正の整数とその2乗の関係を授業ノートで確かめます。向きを迷ったら、そろえた後の 15 と 16 の順番と元の左右を照合します。

家での準備についての質問

計算が合っていれば比較の枠は省いてよいですか

比較の設問で向きまで正しく決められるかを見てから決めます。計算が合うことと、2つの数の順番を記号にすることは別の作業です。比較の枠で理由を残せるようになれば、その範囲の比較練習をいったん終えられます。新しい形で止まったら、その設問を枠に戻します。

保護者はどこまで準備すればよいですか

お子さまが使ってよいワーク、授業ノート、範囲表を机に並べられるようにする程度で十分です。答えの向きを先に教える代わりに、元の数と途中のどちらを確認したいかを聞きます。資料が見つからなければ、探す場所を一緒に確認し、範囲を推測して選ばないようにします。

時間が足りず全部を直せないときはどうしますか

比較のばつから、止まった場所の違う問題を選び、元の数と途中の行を残します。途中までで区切る場合は、次に見るノートの頁や、先生に尋ねる行を書いておきます。空欄のまま急いで正答を写すより、未確認の箇所が見える形にしておくと再開できます。

授業で尋ねる行を用意する

学校や1対1の授業では、問題全体を「平方根が苦手」とまとめる代わりに、元の数、そろえた形、迷った不等号を持っていきます。例えば正の数どうしの比較は進められたが、負号を付けた後の向きで止まった、と伝えます。途中を残しておけば、変形と比較のどちらを確認するか決めやすくなります。

学校の解答と自分の方法が違う場合は、自分の途中式の各行が成り立つかを確認します。学校で扱っていない方法を急いで採り入れるより、授業で習った表し方に戻し、その方法で説明できるかを尋ねます。聞いた後は別の数で同じ判断を試し、説明を写して終わらせずに向きを決めます。

比較の枠を閉じるとき

計算の丸と比較のばつを分けたら、元の数、そろえた形、向きの理由を順に確かめます。正負や書き写しで止まった行があれば、該当する資料へ戻します。選んだ問題を自分の理由で判断でき、残った疑問の行も記録できたところで、今回の比較の枠を閉じます。