中3の相似の定期テスト—図の向きが変わると対応する辺を取り違える答案の直し方｜武蔵野個別指導塾

回転した三角形の頂点を対応順に並べ、辺の比を直す練習から見失いをほどき、辺の対応を追います。

相似な三角形の比の式が合わないときは、数字を入れ直す前に、対応する頂点を順番に書き出します。たとえばAとP、BとQ、CとRが対応するなら、ABに対応する辺はPQです。辺の長さを見て似た数字を選ぶのではなく、両端の頂点を対応させてから式に移します。手元に学校で使うことを認められた答案、解答、授業ノートを用意し、どこで順番が入れ替わったかを調べましょう。

よくあるのは、回転した三角形で比の式だけ間違えた中3の答案を見直す場面です。図には相似と書けているのに、別々の向きの辺を並べた式に赤い印があります。計算だけをやり直しても同じ辺を選べば、同じ場所に戻ってしまいます。答案に残った頂点の順番と辺の順番を分けて見ると、直す場所が見えてきます。

頂点の順番から答案を読み解く

図1のように、三角形ABCと三角形PQRが相似で、AとP、BとQ、CとRが対応する例を考えます。右の三角形は左と向きが違いますが、対応は上下や左右の位置で決まりません。ここでは対応が与えられているものとして、頂点をA、B、Cと進むとき、もう一方をP、Q、Rと進みます。相似の記号を使えば、△ABCと△PQRの順番がこの対応を表します。

AからBへの辺は、対応先のPからQへの辺に当たります。同じようにBCはQR、CAはRPに対応します。辺の向きが紙の上で同じかどうかは判断の根拠になりません。斜めに見える辺と横に見える辺でも、両端の頂点が対応していれば対応する辺です。

答案では、まず相似な三角形の名前を確認します。名前の順が正しいのに辺の組が違えば、頂点から辺へ移すところを直します。名前の順から違っていれば、角の印や授業で示された根拠に戻ります。三角形の名前も辺の組も正しいのに答えが合わない場合は、比の式への数値の代入や計算を別に点検します。どの段階でずれたかを残すと、全部を最初から解き直す必要があるか判断しやすくなります。

たとえばABとPQを対応させた後に、BCとPRを並べると、Bに当たるQが抜けてしまいます。見た目が近い辺を選んだのか、頂点の順を途中で変えたのかを答案の印で見ます。相似の根拠がまだ定まっていない場合は、この辺の表を完成扱いにしません。どの角が対応するのか、学校の解答やノートの印に戻って確かめます。

元の図から練習用の組を作る

最初に、学校の範囲表と授業ノートを開き、今回扱う図と解答を照合します。利用を認められた資料から、相似な三角形と対応が読み取れる問題を選びます。答案の画像や生徒の名前を外部に渡す必要はありません。手元の紙で、問題の図と解答の頂点の順を見比べます。

次に、選んだ2つの三角形を別の紙に大きく写します。辺の長さを探す前に、対応する角の印を同じ形で付けます。図の位置を変える練習では、三角形の形と頂点の名前の関係を保ちます。元の紙にある条件や角の印まで消すと、対応を決める情報が失われる場合があります。練習用の紙にも、判断に必要な印を残してください。

図2のように対応を2行に書き、同じ列の頂点を組にします。上の行をA、B、C、下の行をP、Q、Rとしたら、辺は隣り合う2列を取って作ります。ABとPQ、BCとQR、CAとRPです。表の最後と最初を結ぶCAにも、最後と最初を結ぶRPが対応します。辺の名前は端点を逆に書いても同じ辺ですが、比の中ではどちらの三角形を先にしたかをそろえます。

ここで、ABが6、PQが9、BCが4、QRが6という自作の数を入れてみます。対応する辺の比はAB: PQが6:9、BC: QRが4:6で、どちらも2:3です。AB: BCとPQ: QRのように、各三角形の中で同じ順に辺を比べても6:4と9:6で等しくなります。どちらの書き方でも、対応と順番をそろえることが条件です。数を代入する前に文字の式を作り、元の図の両端に指を置いてから数字を書きます。

練習用の紙では、右の三角形を回転させた図を作ります。回した後もP、Q、Rの各文字を同じ頂点に付け、角の印も一緒に動かします。元の図を隠して対応表を書き、元に戻して答えと照らします。正しい順に頂点を書けたら、表から辺の組を3組作り、最後に比の式へ進みます。回転前と回転後で答えの対応が変わらなければ、向きに頼らず読めたかを確かめられます。

途中で手が止まったら、式を埋める前に止まった欄へ印を残します。頂点の対応が不明なのか、頂点から辺を作れないのか、数を入れる順番がわからないのかで戻り先が違うからです。解答を見た後は印を消さず、別の紙でもう一度その欄から書きます。答えを見て写した表と、隠して自分で作れた表を区別しておきます。

この作業を終える目安は、必要な根拠がある図で対応する頂点と辺を自分で並べ、式の両側で順序がそろっていると説明できることです。数字の答えが合っていても辺の対応を説明できなければ、表の段階に戻します。一方、対応は合っていて計算だけが違うときは、その違いを区別して残します。似た図を何枚も増やす前に、どの行が自力で書けたかを確認してください。

裏返した図と重なった図で試す

裏返しの例では、三角形DEFと三角形UVWが相似で、DとU、EとV、FとWが対応するとします。片方を裏返して見せると、紙の上で左回りにたどった順と右回りにたどった順が逆に見えます。それでもDEの対応先はUV、EFの対応先はVW、FDの対応先はWUです。見た目の回る向きをそろえて文字を読むと、対応先の順まで反転させてしまうことがあります。

直すときは、まずDの印と同じ印のUを探します。次にEとV、FとWを順に確かめ、DEFの下にUVWを書きます。裏返した図を紙に写す場合も、文字と角の印を頂点と一緒に移してください。どの印がどの頂点につくか迷うなら、元の図と写した図を並べ、1組ずつ指で押さえます。見た目を合わせるために文字を付け直すと別の図になり、練習の答えも変わります。

重なりの例では、大きな三角形GHJの辺GH上にK、辺GJ上にLがあり、KLはHJに平行とします。小さい三角形GKLと大きい三角形GHJの対応は、GとG、KとH、LとJです。共通の頂点Gを2つの行に書くと、GKとGH、KLとHJ、LGとJGの組が見えます。重なったままの図ではGKがGHの一部なので、同じ辺だと見誤りやすくなります。

紙の余白に小さい三角形と大きい三角形を分けて描き、それぞれの頂点名を付けると、対応をたどりやすくなります。平行の印と元の位置を見比べ、分けた図の文字が移動していないか点検します。例えばGKが3、GHが6、KLが2、HJが4なら、GK:GHとKL:HJはともに1:2です。共通のGがあることと、同じ長さであることは別です。どちらの三角形の辺を先に書いたかを式の両側でそろえます。

対応が決まらないときに戻る場所

図3のように、対応の根拠、頂点の表、辺の組、数の順に戻り先を分けます。解答の数字が違っただけでは、どの段階が原因かは決まりません。まず文字だけの式を見て、各辺の両端を表に戻します。辺の組が正しければ、数字を元の図から写すときに違う辺を読んでいないか調べます。

角の印が見当たらず、対応する頂点を決める根拠も読み取れない場合は、形が似て見えるという理由で表を埋めません。問題文の条件、授業ノートの印、解答の説明を順に確認します。コピーが切れて条件が欠けた紙なら、元の資料を手元で開き直します。資料がそろわないときは、その図を未確認として分け、別の根拠が明らかな図で練習を続けます。

相似な三角形であっても、図が対称的だったり、必要な情報が足りなかったりすると、見た目だけで対応を一意に決められない場合があります。相似であることと、どの頂点がどの頂点に対応するかを混同しないでください。学校の資料で確かめても決め手が見つからないときは、候補を複数書き、根拠を質問する場所を残します。

時間が足りず最後まで直せないときは、1つの図について頂点の対応と辺の組までを先に残します。計算が途中でも、次に開いたときにどこから再開するかがわかります。解答を見ても表が作れない場合は、三角形を分けて描き、対応する角の印を写すところまで戻ります。手順のどこで止まったかを記録しておけば、次の説明を求めるときにも使えます。

自分で確かめるための問い

三角形MNOと三角形XYZがこの順に相似です。MNが8、NOが10、XYが12のとき、NOに対応する辺はどれで、その長さはいくつでしょうか。まず頂点を2行に並べ、辺の組を作ってから式を書いてください。

答えはYZ、長さは15です。MとX、NとY、OとZが対応するので、NOの両端はYとZに移ります。MN:XYは8:12で2:3ですから、NO:YZを10:15とすると同じ比になります。XZを選んだ場合はNとYの列、長さを別の値にした場合は小さい三角形から大きい三角形への順と代入を見直します。先ほどの例とは文字も数も異なるので、表から組を作れるか確かめられます。

練習の答えが合ったときも、別の道筋で確かめられます。たとえばMNとXYを指でたどった後、NとYを起点にNOとYZへ進みます。共通する頂点の対応が途中で変わっていなければ、2組の辺が同じ表から作られていることを確認できます。逆に、辺の名前を先に暗記してしまうと、別の文字の図に変わったときに手が止まることがあります。表を見ずに答えた後、表に戻して理由を点検してください。

答えが違った場合には、すぐに正しい数字を上書きせず、最初に選んだ辺を残します。NOに対応する辺を取り違えたのか、対応は合っていて比を逆にしたのかを比較するためです。元の答えに線を引き、隣に直した組と理由を書けば、次回はその場所から確かめられます。長さの計算に不安が残った場合も、頂点の対応が合っていたことを記録してから計算を見直します。

質問が残るときの整理

図を回すと文字を見失います。どうすればよいですか

紙を動かす前に、頂点と角の印を対応させておきます。回した後は元の図に戻し、同じ頂点に同じ文字が付いているかを照合します。頭の中だけで回しにくいときは、三角形を写した紙を実際に動かすと、位置の変化と文字の関係を追えます。書き直した図が不正確なら、対応の練習より先に元の図との違いを直します。

辺の長さが書かれていないと表は作れませんか

長さがなくても、対応する頂点を決める条件があれば辺の組を表にできます。むしろ数字を隠して組を作ると、数の大小や図の向きに引っ張られた選択に気づけます。ただし、対応の根拠まで隠してしまった場合は別です。必要な条件を戻してから取り組み、推測で空欄を埋めたものと区別します。

保護者はどこまで準備すればよいですか

お子さまが使ってよい答案、解答、授業ノートを並べる場所を用意し、欠けた紙がないか一緒に確認できます。答えの組を先に示すより、どの行から再開したいかを尋ねて、本人が表を書く余白を残します。資料の使用範囲が不明なら、学校に確かめるためのメモを作ります。答案を外部に送る作業は必要ありません。

授業で見せるために残すもの

学校や1対1の授業で尋ねるときは、元の図と、自分で書いた頂点の表、選んだ辺の組を並べます。正解の式だけを持っていくより、どの頂点をどう対応させたかを示すと、説明してほしい箇所が伝わります。角の印の意味が不明ならその印を、重なりを分けたときに迷ったなら分けた図を指して尋ねます。

解答と自分の表が違う場合は、どちらの順で三角形の名前を書いたかも確認します。表が逆向きでも、両側の比を一貫して逆にしていれば同じ関係を表せます。質問の後には、説明された対応をいったん隠し、元の図からもう一度表を作ります。再現できなければ、どの角を手がかりにしたかを続けて尋ねます。

最後に、直した答案の横へ、対応する頂点の列と辺の組を残します。向きの変わった図でも、根拠から頂点を並べ、両端をたどって式に移せれば、その図の復習は一区切りです。数字が合ったかに加えて、辺を選んだ道筋まで確かめて終えましょう。