高校数学II 点と直線の距離—垂線の長さの公式を導き絶対値と分母を確かめる｜武蔵野個別指導塾

垂線の長さから分母の平方根を導き、等距離や平行線の間隔を求める鍵は点と直線の距離です。

よくあるのは、高2が点と直線の距離を求める際、分母を直線の係数の二乗和のままにする場面です。分子に座標を代入するところまでは合っていても、長さの単位に戻す平方根が抜けると答えが変わります。公式の形を覚える前に、垂直な線分を作り、その長さを計算するところから追います。

要点（結論から）

• 分母はxとyの係数の二乗和の平方根です。
• 分子は点を代入した値の絶対値です。
• 等距離は各距離を作ってから等しく置きます。

どの条件を距離に直すか

点と直線の距離を直接求める問題では、直線を ax + by + c = 0 の形にそろえ、点の座標を代入します。直線上の点なら距離は0です。距離が負になることはないので、代入結果の符号も確かめます。

2本の直線から等距離にある点を扱うときは、それぞれの距離を等しく置きます。分母が違う場合は分子の絶対値だけを比べられません。絶対値の方程式を外すときには、正負の両方を調べます。

平行な2直線の間隔を求めるときは、一方の直線上に計算しやすい点を取り、他方までの距離を測ります。平行線上のどの点を選んでも垂直方向の間隔は変わりません。2直線が一致する場合は間隔が0となり、平行でなければこの方法で求めた数を2直線の間隔とは呼べません。

垂直な長さから公式を作る

直線 l を ax + by + c = 0、点を P(p, q) とします。ただし a と b は同時には0でないものとします。この条件により a² + b² は正で、後の割り算ができます。点と直線の距離とは、Pから l に引いた垂線の長さです。Pが l 上にある場合は距離を0とします。

図1のように、直線上の点を Q とし、横に b、縦に -a だけ移った点を R とします。QとRの直線の式への代入値は等しいのでRも l 上です。QとRは異なり、三平方の定理から QR = √(a² + b²) です。

図1の直角を、横と縦の差から確かめます。Qから横に a、縦に b 進む方向は、b と -a の方向に垂直です。例えば両方の成分が0でないとき、傾きの積は (-a/b)・(b/a) = -1 です。一方が0でも、それぞれ水平と垂直になるため同じ結論です。

Pから垂線を引き、その足を H とします。HからPへの横と縦の差は、ある実数 t を使って (at, bt) と表せます。Hの座標を (u, v) と置くと、p = u + at、q = v + bt です。Hは l 上なので au + bv + c = 0 です。したがって次のように変形できます。

ap + bq + c = a(u + at) + b(v + bt) + c
                = au + bv + c + (a² + b²)t
                = (a² + b²)t

三平方の定理で PH = √((at)² + (bt)²) = |t|√(a² + b²) です。上の式から |t| = |ap + bq + c|/(a² + b²) なので、距離 d は次の式になります。

d = |ap + bq + c|/√(a² + b²)

分子は直線の式にPを代入した値の絶対値、分母はxとyの係数の二乗和の平方根です。絶対値は垂線の向きの違いを取り除きます。分母が二乗和そのものではないのは、距離が差の二乗の和から平方根を取った長さだからです。

直線の式の両辺を0でない数 k 倍しても距離は変わりません。分子は |k| 倍され、分母も √(k²(a² + b²)) = |k|√(a² + b²) となるためです。式の見た目が違うときも、この性質で答えを照合できます。

直線が x = r という縦の形でも公式を使えます。x − r = 0 と書けば a = 1、b = 0 で、点 (p, q) からの距離は |p − r| です。横の差だけが距離となり、縦の座標 q は影響しません。反対に y = r なら距離は |q − r| です。傾きが定まらない直線でも一般形の係数は読めるので、無理に y = mx + n に変形する必要はありません。

公式を使えない式にも注意します。a = b = 0 のとき、c = 0 なら式はすべての点で成立し、c ≠ 0 なら成立する点はありません。いずれも1本の直線を表さず、分母も0です。文字を含む係数の問題では、代入する前にこの場合を除くか、別に検討します。

基本例題：代入する前に一般形へ

点 P(1, 2) と直線 3x + 4y − 1 = 0 の距離を根号を使わずに求めてください。

図2のように、直線の係数は3と4です。どちらも0ではなく、公式の分母は正です。Pの座標を順に代入します。

√(3² + 4²) = √25
                 = 5
|3・1 + 4・2 - 1| = |3 + 8 - 1|
                      = |10|
                      = 10
d = 10/5
  = 2

求める距離は2です。図2のPは直線上にないので、距離が正であることも合っています。実際に垂線の方向に2だけ進むと直線へ届きます。例えば Pから (-6/5, -8/5) 進んだ点は (-1/5, 2/5) で、その代入値は 3・(-1/5) + 4・(2/5) − 1 = 0 です。移動の長さは √((6/5)² + (8/5)²) = 2 です。

直線が y = mx + n なら mx − y + n = 0 と直してから係数を読みます。定数項 n は分子に入りますが、分母の係数には入りません。分母は方向を決めるxとyの係数から作られます。

標準例題：2直線から等距離の点

点 P(t, 1) が直線 x = 0 と直線 3x + 4y − 9 = 0 から等距離にあります。実数 t をすべて求め、分数で答えてください。

前者を x + 0y = 0 と見れば係数は同時に0ではありません。後者も同様です。それぞれの距離は |t| と |3t − 5|/5 です。条件を式にして絶対値を外します。

|t| = |3t - 5|/5
5|t| = |3t - 5|
5t = 3t - 5 または 5t = -(3t - 5)

最初の式から 2t = -5、t = -5/2 です。後の式から 8t = 5、t = 5/8 です。|A| = |B| は A = B または A = -B と同値なので、符号ごとに t の範囲を追加して解を捨てる必要はありません。

元の距離に戻します。t = -5/2 では x = 0 まで 5/2、もう一方までは |-15/2 − 5|/5 = 5/2 です。t = 5/8 では前者が 5/8、後者が |15/8 − 5|/5 = 5/8 です。両方が条件を満たします。

もし2本の直線の分母をそろえず |t| = |3t − 5| と置くと、異なる尺度の値を比べることになります。直線の式を定数倍しただけで答えが変わってしまうため、距離の等式として成立しません。

発展例題：平行線の間隔と係数の条件

実数 k について、2直線 2x − y + 3 = 0、4x + ky − 6 = 0 が異なる平行な直線となる k を求め、その間隔を根号で答えてください。

第1直線はyの係数が-1で零ではないので、y = 2x + 3と表せる直線です。第2直線のxの係数も4であり、どの k でも直線です。第1直線を2倍したときとx、yの係数がそろうことから、平行の条件は k = -2 です。

2(2x - y + 3) = 4x - 2y + 6
4x - 2y - 6 = 0

定数項が異なるので2直線は一致しません。第1直線を 2x − y + 3 = 0、第2直線を2で割った 2x − y − 3 = 0 とそろえると、係数は同じです。第1直線上の点 (0, 3) を第2直線の距離公式に代入します。

d = |2・0 - 3 - 3|/√(2² + (-1)²)
  = 6/√5
  = 6√5/5

よって k = -2、間隔は 6√5/5 です。点 (0, 3) が第1直線に属することは 2・0 − 3 + 3 = 0 で確かめられます。反対に第2直線上の (0, -3) から第1直線までを測っても |3 + 3|/√5 = 6/√5 です。

係数をそろえないまま定数項の差だけを取ると、同じ直線の式を何倍したかによって値が変わります。まずxとyの係数を同一にし、その差を係数の長さ √(a² + b²) で割ります。一致する場合は定数項の差も0です。平行でない場合には直線は交わるので、一定の間隔という意味では扱えません。

間違いを図で戻す

点 P(1, 2) と直線 3x + 4y − 1 = 0 について、分子10を求めた後、10/(3² + 4²) = 2/5 とする誤答を考えます。図3のように、係数3と4が作る直角三角形の斜辺は25ではなく5です。25はその長さの二乗です。

図3で縦と横をそれぞれ4と3とすると、斜辺の二乗は 3² + 4² = 25、斜辺は正の数なので5です。分母を5に修正すれば距離は 10/5 = 2 です。平方根を落としたままでは、直線の式を2倍して分母が4倍、分子が2倍になり、距離が半分になるという不都合も起きます。

別の誤りは、分子が負だったときに負の距離を答えることです。絶対値の中の符号は直線のどちら側かに関係しますが、距離は向きを持たない長さです。代入後に絶対値を計算し、最後に0以上か確認します。

手を動かす5問

答えは分数または根号を用いて正確に表してください。直線の式を求める問では一般形で答えてください。

1. 点 (2, -1) と直線 5x − 12y + 4 = 0 の距離を求めてください。
2. 点 (s, 2) が直線 x + 2y − 1 = 0 上にあるとき、実数 s と点から直線までの距離を求めてください。
3. 点 (u, 0) が直線 x = 0 と直線 4x + 3y − 10 = 0 から等距離にあるとき、実数 u をすべて求めてください。
4. 平行な2直線 3x + 4y + 8 = 0、6x + 8y − 14 = 0 の間隔を求めてください。
5. 点 (0, 2) からの距離が3で、直線 y = 1 に平行な直線をすべて求めてください。

5問の解答と照合

1の解答

係数5と-12は同時に0ではありません。公式に座標を代入します。

d = |5・2 - 12・(-1) + 4|/√(5² + (-12)²)
  = |10 + 12 + 4|/√169
  = 26/13
  = 2

答えは2です。直線の式を2倍すると分子52、分母26となり、同じ2に戻ります。代入値が正でも、長さに直す絶対値は式に残しておくと符号の取り違えを防げます。

2の解答

直線上にある条件へ座標を代入します。

s + 2・2 - 1 = 0
s + 3 = 0
s = -3

したがって点は (-3, 2) です。元の直線に代入すると -3 + 4 − 1 = 0 なので所属しています。距離公式の分子も0であり、距離は0です。垂線の長さを正と決めつけると、この直線上の例を落とします。

3の解答

2つの距離は |u| と |4u − 10|/5 です。係数の二乗和はそれぞれ1と25で、いずれも正です。

5|u| = |4u - 10|
5u = 4u - 10 または 5u = -4u + 10
u = -10 または u = 10/9

u = -10 では距離は両方10です。u = 10/9 では、もう一方の距離は |40/9 − 10|/5 = 10/9 です。よって答えは -10、10/9 です。負の値も座標として許され、距離が負になるわけではありません。

4の解答

第2直線を2で割って 3x + 4y − 7 = 0 とします。第1直線上の点 (0, -2) を使います。

d = |3・0 + 4・(-2) - 7|/√(3² + 4²)
  = 15/5
  = 3

答えは3です。選んだ点は 3・0 + 4・(-2) + 8 = 0 を満たします。逆に第2直線上の (1, 1) から第1直線までを計算すると |3 + 4 + 8|/5 = 3 で、一致します。

5の解答

求める直線は y = h と置けます。y = 1 と平行であることは、横方向に延びる形から確認できます。点 (0, 2) からの距離は |2 − h| なので、

|2 - h| = 3
2 - h = 3 または 2 - h = -3
h = -1 または h = 5

答えは y + 1 = 0、y − 5 = 0 です。各直線までの距離は順に |2 + 1| = 3、|2 − 5| = 3 です。どちらも y = 1 とは一致せず、指定の条件を満たします。片側だけを考えるともう一方を落とします。

要点を短く

• 分母はxとyの係数の二乗和の平方根です。
• 分子は点を代入した値の絶対値です。
• 等距離は各距離を作ってから等しく置きます。
• 平行線は係数をそろえ、直線上の点で間隔を確かめます。

どこで止まったかを見分ける

分母に25と書いた人には、係数が3と4のとき、それぞれを辺とする直角三角形の斜辺がいくつか尋ねます。5と答えられれば、二乗和から長さに戻る操作を公式と結び直せます。25と答えた場合は三平方の定理で斜辺の二乗と斜辺を別の行に書きます。

等距離で解が1つしか出ない人には、絶対値を外す前の式に戻って、正と負の両方の関係を言葉にしてもらいます。個別指導では、直線の係数が同時に0でないか、求めた値を元の距離へ戻せるかも一緒に確認します。点が直線上にあるときの0も、距離公式が受け止める答えです。