中学受験の算数 周期算—くり返しのまとまりと余りから位置を決める｜武蔵野個別指導塾

40番目の色がまとまりの最後になる理由と、17箱の玉の合計に残りの2箱分を足す手順を追ってみましょう。

よくあるのは、小5のお子さまが色の並びを順に数え、割り算の余りが0になったところで、最初の色を答えてしまう場面です。割り切れたということは、同じ並びがちょうど終わったということです。次のまとまりの最初に進むには、そこからもう1つ数えなければなりません。紙に短い並びを書いて、区切りの前と後を見比べてみましょう。

どんな問いに分けられるか

周期算（しゅうきざん）では、同じ順番でくり返す並びを使います。たとえば、色紙を決まった順に並べて、遠くの番号にある色をたずねる問題があります。はじめの数個を書けば、並び方はわかりますが、番号が大きいと1つずつ数えるうちにずれることがあります。そこで、同じ並びが何個で一周するかを先に見つけます。

別の型は、数字が順に並ぶとき、あるところまでの合計を求める問題です。この場合は位置だけでは足りません。1まとまりの合計と、完成したまとまりの個数を求め、最後の不完全な部分を足します。余りが0なら不完全な部分はありません。

さらに、最初の位置からではなく、途中から数え始める問いもあります。始める場所を新しい1番目として並びを書き直すと、同じ考え方を使えます。何を1番目と数えるかが変わるので、問題の言葉に印を付けてから表を作りましょう。

まとまりと余りの対応

くり返す最も短い並びを1まとまりとします。その中にある個数を周期（しゅうき）と呼びます。赤、青、黄、緑の順で色が続くなら、周期は4です。図1のように4個で区切ると、5番目は次のまとまりの先頭に戻ります。

図1の1番目から4番目までの順番を、次の5番目から8番目にもそのまま当てはめます。1番目と5番目はどちらも赤、2番目と6番目はどちらも青です。色の名前を数字に置き換えても、同じ順番でくり返すなら考え方は変わりません。

求めたい番号を周期で割ると、商（しょう）は完成したまとまりの数、余りはその後に進んだ個数を表します。たとえば10番目なら、10 ÷ 4 = 2 余り2です。2まとまりで8個が終わり、その先に2個進むので、まとまりの2番目である青です。

一方、12 ÷ 4 = 3で余りは0です。3まとまりが完成したところが12番目なので、まとまりの4番目の緑です。余り0を「何もない色」と考えるのではなく、「残りを付け足さない、最後まで終えた場所」と読みます。13番目なら12個が終わった後に1個進むので、初めて赤に戻ります。

表を書くときは、番号と並びの両方を書きます。数を0から始めると、1番目から数える問題とは対応が変わります。答えを出したら、その番号が直前のまとまりの終わりから何個先か、もう一度たしかめます。

数え始めを決めておく

周期を割る数に使う前に、問題が示す最初のものを1番目に置きます。並びの途中を出発点にする問題では、それまでのものを数に含めません。新しい出発点から先を少し書き出して、まとまりの形を作り直します。元のまとまりの長さが同じでも、先頭の色や数は変わります。

たとえば、赤、青、黄、緑と続く列の3番目から数え直すなら、新しい順番は黄、緑、赤、青です。元の1番目に戻すまで待つ必要はありません。出発点にある黄を新しい1番目として数えます。求めるものが「何番目」なのか、それとも「何個目」なのかを確かめ、最初のものを1個として数えるかを問題の条件に合わせましょう。

表で区切りを確かめる

番号が小さいうちは、縦に番号、横に色を書き、4個ごとに区切る方法も使えます。4番目と8番目はどちらも緑で、5番目と9番目はどちらも赤です。区切りの直前と直後を並べると、割り切れた場所が最後であることを目で追えます。表は答えを見つけるためだけでなく、割り算が表していることを確かめる道具にもなります。

番号が大きくなると表を最後まで伸ばすのは大変です。初めの2まとまりで規則を確認したら、まとまりの長さで割って先へ進みます。割り算の後に余りが周期より小さいことも見てください。余りが周期と同じ大きさ以上なら、もう1まとまり作れるので、割り算をやり直します。

基本例題：包みの色を決める

赤、青、黄、緑の順に色紙をくり返して並べます。1番目は赤です。38番目と40番目はそれぞれ何色ですか。

まず4色が1まとまりです。図2のように、4個ずつ区切ってから、最後に何個進むかを見ます。長い列を全部書かなくても、最初の4個と割り算の結果を対応させられます。

38番目について、38 ÷ 4 = 9 余り2です。9まとまりに入る個数は、4 × 9 = 36個です。36番目で9まとまりが終わり、37番目は次のまとまりの赤、38番目はその次の青です。したがって38番目は青です。

40番目について、40 ÷ 4 = 10で余り0です。4 × 10 = 40個なので、40番目は10まとまり目の最後です。まとまりの最後は緑ですから、40番目は緑です。41番目なら次のまとまりの赤になります。40番目と41番目を並べて見ると、区切りをまたぐときに色が変わることがわかります。

割り算の答えを使う前に、4 × 9 + 2 = 38、4 × 10 = 40と元の番号に戻してみます。前者の余り2は2番目に対応し、後者では最後まで数え終わっています。余りだけに目を向けず、商が表す完成したまとまりにも目を向けると、0の場合を見失いにくくなります。

合計を求めるときの分かれ目

箱に入れる木の玉の数を、1箱目から順に2個、5個、3個、2個、5個、3個とくり返します。最初の17箱に入れる玉は、合わせて何個ですか。

この問いは17箱目の数だけでは答えられません。まず1まとまりは3箱で、その玉の合計は2 + 5 + 3 = 10個です。次に箱の数を分けます。

17 ÷ 3 = 5 余り2

3 × 5 = 15箱

3箱のまとまりが5組あるので、その15箱には10 × 5 = 50個入ります。残る2箱は、次のまとまりの最初から2箱です。順に2個と5個なので、2 + 5 = 7個を足します。

50 + 7 = 57個

したがって最初の17箱の合計は57個です。15箱で区切った後、16箱目が2個、17箱目が5個です。最後の2箱を5個と3個にしないよう、残りは必ず次のまとまりの先頭から読みます。

もし18箱までなら、18 ÷ 3 = 6で余り0です。6まとまりの合計10 × 6 = 60個で終わり、さらに1箱分を足しません。17箱の57個に18箱目の3個を足しても60個です。余りがあるときは残りを足す、余り0のときは完成したまとまりで止める、という分かれ目を確かめられます。

合計の式が表す範囲

箱の問題では、50個という数は最初の15箱に入った玉の数です。17箱すべての数ではないので、残りの2箱を加えます。反対に、57個を出した後で17箱目の5個をもう一度足すと、同じ箱を二重に数えることになります。式の横に「1箱目から15箱目」「16箱目から17箱目」と範囲を書くと、重なりや抜けがないかを調べられます。

合計を直接並べて確認する方法もあります。最初の3箱で10個、次の3箱でも10個です。5組で50個になり、続く2箱の7個を合わせます。まとまりの個数を数える計算と、まとまりに入る玉の個数を数える計算は単位が違います。3は箱、10は玉の個数であることを意識して式を読みましょう。

余り0を先頭にしてしまったら

基本例題の40番目を「赤」と答えたとします。40 ÷ 4 = 10までは合っていますが、余り0を次のまとまりの始まりと読み替えたことが原因です。図3のように40番目は10組目の最後にあり、赤に戻るのは41番目です。

直すには、4 × 10 = 40と書き、10組を最後まで並べた位置に印を付けます。その最後の色は緑です。さらに1つ進むと41番目の赤になるので、2つの場所を混ぜずにすみます。

合計の問いで、17 ÷ 3の余り2を見て最後の2種類を足す誤りもあります。余りは完成したまとまりの後に続く箱の数ですから、先頭の2個と5個を使います。15箱目の次が16箱目であることを書き添えれば、残りの読み違いを直せます。

また、1まとまりの長さを間違えると、その後の計算が正しくても答えはずれます。はじめの数個だけで決めず、区切りの後に同じ順序が続くかを問題の条件と照らしましょう。たとえば赤、青、赤、黄の並びは、赤と青の2個ではくり返せません。3番目は赤でも、4番目が青ではなく黄だからです。

練習：区切ってから答える

次の4問は、先に問題をまとめて読み、各自で表や式を書いてみましょう。色や数の順番を変えずに、まとまりの終わりに小さな区切りを入れると考えやすくなります。

1. 星、丸、三角の順に印をくり返します。1番目は星です。26番目の印は何ですか。
2. 白、灰、黒、橙、青の順に札をくり返します。1番目は白です。45番目の札は何色ですか。
3. 花を1列目から順に4本、1本、3本、4本、1本、3本と植えます。最初の14列に植える花は合わせて何本ですか。
4. 鈴を大、小、小、大、小、小の順に並べます。最初の鈴を1番目とします。8番目を新しい1番目として、そこから11個目の鈴は大、小のどちらですか。

答えと考え方

1. 答えは丸です。1まとまりは星、丸、三角の3個です。26 ÷ 3 = 8 余り2なので、8まとまりの24個が終わった後に2個進みます。25番目が星、26番目が丸です。3 × 8 + 2 = 26と番号にも戻せます。

2. 答えは青です。5色で1まとまりなので、45 ÷ 5 = 9です。余り0は9まとまり目の最後を示します。5 × 9 = 45で、最後の色は青です。次の46番目が白であることも、区切りを見て確かめます。

3. 答えは37本です。3列の合計は4 + 1 + 3 = 8本です。14 ÷ 3 = 4 余り2なので、12列分は8 × 4 = 32本です。残る13列目と14列目には、先頭から4本、1本を植えます。32 + 4 + 1 = 37本です。3 × 4 + 2 = 14列となり、対象の列数にも戻ります。

4. 答えは小です。もとの8番目は、8 ÷ 3 = 2 余り2より小です。そこからの並びは、小、小、大の順にくり返します。新しい1番目から数えて11 ÷ 3 = 3 余り2なので、新しい並びの2番目は小です。もとの番号でも8番目を含めて11個数えると、8 + 10 = 18番目です。18 ÷ 3 = 6で余り0なので、もとの並びの最後の小と一致します。

始める場所をずらした問題では、初めの鈴を数に含めるため、もとの番号には11ではなく10を足します。新しい並びと元の並びの両方で同じ鈴に着くかを確認すると、数え始めのずれを見つけられます。

練習の途中で答えが合わなかったときは、最初の数個を実際に書き、1まとまりの最後と次の先頭を別の印で囲みます。割り算の商に周期をかけ、余りを足した結果が問題の番号に戻るかも確認します。合計なら、完成した部分と残りの部分を足す前に、それぞれが何個分かを数えます。この順に調べれば、計算の誤りと、並びの読み取りの誤りを区別できます。

覚えておくこと

• 同じ順序が続く最短のまとまりを見つけます。
• 番号を周期で割り、余りがあれば先頭からその個数だけ進みます。
• 余り0は完成したまとまりの最後です。
• 合計は完成分に、残りを先頭から足します。

ご家庭で声をかけるなら

お子さまが答えを間違えたときは、すぐに割り算をやり直す前に、書いた図のどこが1まとまりで、どこまで数え終わったかを説明してもらってください。まとまり自体が違うのか、合っていても余りの位置を読み違えたのかで、次に必要な一手が変わります。

余り0で止まった場合は、まとまりの最後に指を置き、その次に1つ進んだ場所も指してもらいます。合計で止まった場合は、完成した箱や列を囲み、残りを先頭から何個取るかだけたずねます。答えを先に言わず、その図と式が元の個数に戻るかを一緒に確かめると、区切りの意味を自分の言葉にしやすくなります。表にした番号と式の結果を指でたどることも役立ちます。周期の終わりと次の始まりには、はっきりした境目があります。